《数值分析》课程实验报告Word文档格式.docx
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l=zeros（w,w）;
fork=1:
n+1v=1;
forj=1:
n+1if（k~=j）v=conv（v,poly（x（j）））/（x（k）-x（j））;
endendl（k,:
）=v;
endc=y*l;
end第二步：
然后在matlab命令窗口输入：
x=[0.40.550.650.80,0.951.05];
y=[0.*****0.*****0.*****0.901.001.*****];
lagran（x,y）回车得到：
ans=121.6264-422.7503572.5667-377.2549121.9718-15.0845由此得出所求拉格朗日多项式为p（x）=121.6264x5-422.7503x4+572.5667x3-377.2549x2+121.9718x-15.0845第三步：
在编辑窗口输入如下命令：
y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718*x-15.0845;
plot（x,y）命令执行后得到如下图所示图形，然后x=0.596;
y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718*x-15.084y=0.6262得到f（0.596）=0.6262同理得到f（0.99）=1.0547
（2）12345670.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001试构造Lagrange多项式，和分段三次插值多项式，计算的,值。
结果为,）实验步骤：
第一步定义function[c,l]=lagran（x,y）w=length（x）;
end定义完拉格朗日M文件第二步：
x=[1234567];
y=[0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001];
ans=0.0001-0.00160.0186-0.11750.4419-0.96830.9950由此得出所求拉格朗日多项式为p（x）=0.0001x6-0.0016x5+0.0186x4-0.1175x3+0.4419x2-0.9683x+0.9950第三步：
y=0.0001*x.^6-0.0016*x.^5+0.0186*x.^4-0.1175*x.^3+0.4419*x.^2-0.9683*x+0.9950;
plot（x,y）命令执行后得到如下图所示图形，然后x=1.8;
y=121.6264*x.^5-422.7503*x.^4+572.5667*x.^3-377.2549*x.^2+121.9718*x-15.084y=0.1650得到f（0.596）=0.6262同理得到f（6.15）=2.3644五、实验结论插值是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点，它是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
实验二函数逼近与曲线拟合一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。
t（分）051015202530354045505501.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64二、要求1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为；
3、打印出拟合函数，并打印出与的误差，；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出曲线拟合图。
三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系四、实验步骤：
第一步先写出线性最小二乘法的M文件functionc=lspoly（x,y,m）n=length（x）;
b=zeros（1:
m+1）;
f=zeros（n,m+1）;
m+1f（:
k）=x.^（k-1）;
enda=f＇*f;
b=f＇*y＇;
c=a＼b;
c=flipud（c）;
第二步在命令窗口输入：
lspoly（[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55],[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64],2）回车得到：
ans=-0.00240.20370.2305即所求的拟合曲线为y=-0.0024x2+0.2037x+0.2305在编辑窗口输入如下命令：
x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];
y=-0.0024*x.^2+0.2037*x+0.2305;
plot（x,y）命令执行得到如下图五、实验结论分析复杂实验数据时,常采用分段曲线拟合方法。
利用此方法在段内可以实现最佳逼近,但在段边界上却可能不满足连续性和可导性。
分段函数的光滑算法,给出了相应的误差分析.给出了该方法在分段曲线拟合中的应用方法以及凸轮实验数据自动分段拟合。
实验三数值积分与数值微分一、问题提出选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算
（1）
（2）（3）（4）二、要求1、编制数值积分算法的程序；
2、分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；
3、分别取不同步长，试比较计算结果（如n=10,20等）；
4、给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。
三、目的和意义1、深刻认识数值积分法的意义；
2、明确数值积分精度与步长的关系；
3、根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。
四、实验步骤第一步：
编写各种积分的程序复合梯形程序如下：
functionI=TX（x,y）n=length（x）;
m=length（y）;
ifn~=merror（＇ThelengthsofXandYmustbeequal＇）;
return;
endh=（x（n）-x
（1））/（n-1）;
a=[12*ones（1,n-2）1];
I=h/2*sum（a.*y）;
复合Simpson程序如下：
functions=simpr1（f,a,b,n）h=（b-a）/（2*n）;
s1=0;
s2=0;
10x=a+h*（2*k-1）;
s1=s1+feval（f,x）;
endfork=1:
（10-1）x=a+h*2*k;
s2=s2+feval（f,x）;
ends=h*（feval（f,a）+feval（f,b）+4*s1+2*s2）/3;
endRomberg程序如下：
functionI=Romber_yang（fun,a,b,ep）ifnargin4ep=1e-5;
end;
m=1;
h=b-a;
I=h/2*（feval（fun,a）+feval（fun,b））;
T（1,1）=I;
while1N=2^（m-1）;
h=h/2;
I=I/2;
fori=1:
NI=I+h*feval（fun,a+（2*i-1）*h）;
endT（m+1,1）=I;
M=2*N;
k=1;
whileMT（m+1,k+1）=（4^k*T（m+1,k）-T（m,k））/（4^k-1）;
M=M/2;
k=k+1;
endifabs（T（k,k）-T（k-1,k-1））epbreak;
endm=m+1;
endI=T（k,k）;
第二步：
用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg公式对各个积分进行计算1、对于积分Ι=0144-sin2xdx，梯形积分T=0.***-*****，辛普森积分S=0.***-*****，Romberg积分R=0.***-*****。
2、对于积分Ι=01sinXXdx，f（0）=1,梯形积分T=0.***-*****，辛普森积分S=0.***-*****，Romberg积分R=0.***-*****。
3、对于积分Ι=01eX4+X2dx，梯形积分T=0.***-*****，辛普森积分S=0.***-*****，Romberg积分R=0.***-*****。
4、对于积分Ι=01ln1+X1+X2dx，梯形积分T=0.***-*****，辛普森积分S=0.***-*****，Romberg积分R=0.***-*****。
五、实验结论，通过本实验学会复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg公式的编程与应用，掌握MATLAB提供的计算积分的各种函数的使用方法。
实验四线方程组的直接解法一、问题提出给出下列几个不同类型的线性方程组，请用适当算法计算其解。
1、设线性方程组2、设对称正定阵系数阵线方程组3、三对角形线性方程组二、要求1、对上述三个方程组分别利用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；
平方根法与改进平方根法；
追赶法求解（选择其一）；
2、应用结构程序设计编出通用程序；
3、比较计算结果，分析数值解误差的原因；
4、尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。
三、目的和意义1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；
2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；
3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；
4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
四、实验步骤：
列主元高斯消去法的matlab的M文件程序function[x,det,index]=Gauss（A,b）%求线形方程组的列主元Gauss消去法，其中，%A为方程组的系数矩阵；
%b为方程组的右端项；
%x为方程组的解；
%det为系数矩阵A的行列式的值；
%index为指标变量，index=0表示计算失败，index=1表示计算成功。
[n,m]=size（A）;
nb=length（b）;
%当方程组行与列的维数不相等时，停止计算，并输出出错信息。
ifn~=merror（＇TherowsandcolumnsofmatrixAmustbeequal!
＇）;
end%当方程组与右端项的维数不匹配时，停止计算，并输出出错信息ifm~=nberror（＇ThecolumnsofAmustbeequalthelengthofb!
end%开始计算，先赋初值index=1;
det=1;
x=zeros（n,1）;
n-1%选主元a_max=0;
fori=k:
nifabs（A（i,k））a_maxa_max=abs（A（i,k））;
r=i;
endendifa_max1e-10index=0;
return;
end%交换两行ifrkforj=k:
nz=A（k,j）;
A（k,j）=A（r,j）;
A（r,j）=z;
endz=b（k）;
b（k）=b（r）;
b（r）=z;
det=-det;
end%消元过程fori=k+1:
nm=A（i,k）/A（k,k）;
forj=k+1:
nA（i,j）=A（i,j）-m*A（k,j）;
endb（i）=b（i）-m*b（k）;
enddet=det*A（k,k）;
enddet=det*A（n,n）;
%回代过程ifabs（A（n,n））1e-10index=0;
endfork=n:
-1:
1forj=k+1:
nb（k）=b（k）-A（k,j）*x（j）;
endx（k）=b（k）/A（k,k）;
end然后在命令窗口输入A=[42-3-1210000;
86-5-3650100;
42-2-132-1031;
0-215-13-1194;
-426-167-3323;
86-8571726-35;
02-13-425301;
1610-11-917342-122;
462-713920124;
00-18-3-24-863-1];
b=[51232346133819-21];
gauss（A,b）ans=1.0000-1.00000.00001.00002.00000.00003.00001.0000-1.00002.0000高斯-约当消去法maltab的M文件程序function[x,flag]=Gau_Jor（A,b）%求线形方程组的列主元Gauss-约当法消去法，其中，%A为方程组的系数矩阵；
end%开始计算，先赋初值flag=＇ok＇;
n%选主元max1=0;
nifabs（A（i,k））max1max1=abs（A（i,k））;
endendifmax11e-10falg=＇failure＇;
end%消元过程b（k）=b（k）/A（k,k）;
nA（k,j）=A（k,j）/A（k,k）;
endfori=1:
nifi~=kforj=k+1:
nA（i,j）=A（i,j）-A（i,k）*A（k,j）;
endb（i）=b（i）-A（i,k）*b（k）;
endendend%输出xfori=1:
nx（i）=b（i）;
end然后保存后在命令窗口输入：
A=[42-402400;
22-1-21320;
-4-1141-8-356;
0-216-1-4-33;
21-8-1224-10-3;
43-3-44111-4;
025-3-101142;
0063-3-4219];
b=[0-620239-22-1545];
Gau_Jor（A,b）ans=121.1481-140.112729.7515-60.152810.9120-26.79635.4259-2.0185五、实验结论用LU法，调用matlab中的函数lu中，L往往不是一个下三角，但可以直接计算不用它的结果来计算，不用进行行变换。
如果进行行变b也要变，这样会很麻烦。
实验五解线性方程组的迭代法一、问题提出对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR方法计算其解。
二、要求1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；
2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；
3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；
4、给出各种算法的设计程序和计算结果。
三、目的和意义1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；
2、运用所学的迭代法算法，解决各类线性方程组，编出算法程序；
3、体会上机计算时，终止步骤或k（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义；
4、体会初始解，松弛因子的选取，对计算结果的影响。
四、实验步骤第一步编写实验所需的Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法的程序。
Jacobi迭代法：
function[x,k,index]=J（A,b,ep,itmax）ifnargin4itmax=100;
endifnargin3ep=1e-5;
endn=length（A）;
k=0;
x=zeros（n,1）;
y=zeros（n,1）;
index=1;
while1fori=1:
ny（i）=b（i）;
nifj~=iy（i）=y（i）-A（i,j）*x（j）;
endendifabs（A（i,i））1e-10|k==itmaxindex=0;
endy（i）=y（i）/A（i,i）;
endifnorm（y-x,inf）epbreak;
endx=y;
endGauss-Seidel迭代法：
function[x,k,index]=G（A,b,ep,itmax）ifnargin4itmax=100;
while1y=x;
nz=b（i）;
nifj~=iz=z-A（i,j）*x（j）;
endz=z/A（i,i）;
x（i）=z;
endk=k+1;
endSOR迭代法：
function[x,k,index]=SOR（A,b,ep,w,itmax）ifnargin5itmax=100;
endifnargin4w=1;
endifnargin3ep=1e-5;
x（i）=（1-w）*x（i）+w*z;
把实验给出的方程代入程序计算其结果。
1、设线性方程组2、设对称正定阵系数阵线方程组3、三对角形线性方程组五、实验结论迭代法是解线性方程组的一个重要的实用方法，特别适用于求解在实际中大量出现的，系数矩阵为稀疏阵的大型线性方程组。
通过此次实验学会了Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法的程序编写，并掌握了它们各自的优缺点及其适用条件。
实验六非线性方程求根一、问题提出设方程有三个实根现采用下面六种不同计算格式，求f（x）=0的根或1、2、3、4、5、6、二、要求1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；
2、用事后误差估计来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；
3、初始值的选取对迭代收敛有何影响；
4、分析迭代收敛和发散的原因。
三、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根
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