按时间抽取的基2FFT算法分析及MATLAB实现文档格式.docx
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L=1，有1个旋转因子：
wN=WiN/4=w2jl
J=0
第二级：
L=2，有2个旋转因子：
wn=wN/2=w；
J=0,1
第三级：
L=3，有4个旋转因子：
wN=wN=w；
J=0,1,2,3
对于N=2m的一般情况，第L级共有2L-1个不同的旋转因子：
2l=2mX2l-m=N・2L-M
故：
按照上面两式可以确定第L级运算的旋转
因子
卩一屯=呛严=昭尸—
P二”严,
3、同一级中，同一旋转因子对应蝶形数目
第L级FFT运算中，同一旋转因子用在2m-l个蝶形中；
4、同一级中，蝶形运算使用相同旋转因子之间相隔的“距离”
第L级中，蝶距：
D=2l；
5、同一蝶形运算两输入数据的距离
在输入倒序，输出原序的FFT变换中，第L级的每一个蝶形的2个输入数据相距：
B=2l-1。
6、码位颠倒
输入序列x（n）经过M级时域奇、偶抽选后，输出序列X（k）的顺序和输入序列的顺序关系为倒位关系。
将十进制顺序数用I表示，与之对应的二进制是用IB表示，十进制倒序数用J表示，与之对应的二进制是用JB表示。
十进制顺序数I增加1,相当于IB最低位加1且逢2向高位进1,即相当于JB最高位加1且逢2向低位进1。
JB的变化规律反映到J的变化分为两种情况，若JB的最高位是0（J<
N/2）,则直接由加1（JJJ+N/2）得到下一个倒序值，若JB的最高位是1（J全N/2）,则要先将最高位变0（JJJ-N/2）,再在次高位加1（JJJ+N/4），但次高位加1时，同样要判断0、1值，如果是0（J<
N/4）,则直接加1（JJJ+N/4）,否则要先将次高位变0
（JJJ-N/4）再判断下一位，依次类推，直到完成最高位加1，逢2向右进位的运算。
I=J时不需要交换，只对I<
J时的情况进行数据交换即可，数据倒序程序框图如如2。
7、蝶形运算的规律
序列经过时域抽选后，存入数组中，如果
蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，蝶形运算可表示成如下形式：
XL（J）=XL-1（J）+WNpXL-1（J+B）
Xl（J）=Xl-i（J）-WnP-XL-1
（J+B）
p=JX2M-L,J=0,1,2,…，2l-1—1
8DIT-FFT程序框图
根据DIT-FFT原理和过程，DIT-FFT的完整程序
框图如图2:
（1）倒序：
输入自然顺序序列x（n）,根据倒序规律，进行倒序处理；
⑵循环层1:
确定运算的级数，L=1~M（N=2m）；
确定一蝶形两输入数据距离B=h
⑶循环层2:
确定L级的B=2l-1个旋转因子；
旋转因子指数p=JXzM-L,J=0〜B-1;
个蝶形运算中：
k的取值从J到N-1，步长为2L
（4）循环层3:
对于同一旋转因子，
用于同一级
2
M-L
（使用同一旋转因子的蝶形相距的距离）
（5）完成一个蝶形运算
图2数据倒序程序框图
图3DIT-FFT的完整程序框图
三、程序源代码
设计函数myDitFFT（xn）完成一个序列的DIT-FFT运算:
functiony=myDitFFT（xn）
M=nextpow2（length（xn））;
N=2AM;
disp（'
调用fft函数运算的结果:
'
）,
iflength（xn）<
N
xn=[xn,zeros（1,N-length（xn））];
end
form=0:
N/2-1;
%旋转因子指数范围
WN（m+1）=exp（-j*2*pi/Nfm;
%计算旋转因子
输入到各存储单元的数据:
）,disp（xn）;
%数据倒序操作
J=0;
%给倒序数赋初值
forI=0:
N-1;
%按序交换数据和算倒序数
ifKJ;
%条件判断及数据交换
T=xn（I+1）;
xn（I+1）=xn（J+1）;
xn（J+1）=T;
%算下一个倒序数
K=N/2;
whileJ>
=K;
J=J-K;
K=K/2;
J=J+K;
倒序后各存储单元的数据:
disp（xn）;
%分级按序依次进行蝶形运算
disp（'
运算级次：
’）,disp（L）;
B=2A（L-1）;
forR=0:
B-1;
%各级按序蝶算
P=2A（M-L）*R;
forK=R:
2AL:
N-2;
%每序依次计算
T=xn（K+1）+xn（K+B+1）*WN（P+1）;
xn（K+B+1）=xn（K+1）-xn（K+B+1）*WN（P+1）;
xn（K+1）=T;
本级运算后各存储单元的数据:
在主函数中调用myDitFFT（xn）函数实现
DIT-FFT并和直接DFT运算结果做对比：
xn=[0,1,2,3,4,5,6,7];
myDitFFT（xn）;
调用fft函数运算的结果：
1至7列
28.0000+0.0000i-4.0000+9.6569i
-4.0000+4.0000i-4.0000+1.6569i
-4.0000+O.OOOOi-4.0000-
-4.0000-4.0000i
8列
-4.0000-9.6569i
调用myDitFFT（xn）函数运行的结果：
输入到各存储单元的数据：
012345
67
倒序后各存储单元的数据：
042615
37
1
本级运算后各存储单元的数据：
4-48-4
1.6569i
6-4
10-4
运算级次:
本级运算后各存储单兀的数据:
1至7
列
12.0000
+0.0000i
-4.0000
+4.0000i
-4.0000i
16.0000
-4.0000+O.OOOOi
3
本级运算后各存储单元的数据
1至7列
28.0000
+
0.0000i
+9.6569i
4.0000i
+1.6569i
-1.6569i
经对比可知DIT-FFT与直接DFT的运行结果完全相同。
四、总结
经过验证可发现DIT-FFT较直接DFT运算有着明显的优势，我们可以将这个函数运用在多个领域以简化运算，例如计算离散时间序列的卷积或计算IDFT时都可以应用到DIT-FFT算法，我感受到数字信号处理中科学思想的魅力。
由于对设计思路的缺乏，我在设计程序时，在网络上查找了很多有关DIT-FFT的资料，经过学习他人的解决思路最后才整理出DIT-FFT的程序，在有些地方我自己理解的还不是很透彻，比如在实现数据倒序的程序我认为比较困难；
当然即使自己想不到能学习一下别人的思路也是很好的，这个程序的代码量并不大，我自身的能力还很低，要在以后的学习中不断进步才能完成更加复杂的任务。
这次课程设计让我对快速傅里叶变换有了更多的了解，也认识到了科学计算方法的重要性，我感
到很充实。
参考文献
XX百科；
[J].电子技术，2011
（2）
数字信号处理（第四版）西安电子科技大学出
版社高希全丁玉美编
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