专题713解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展Word下载.docx

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方法2:

由C2：

x2=4y知F1（0,1），设M（x°

y°

）（x:

0），因M在抛物线C?

上,故x°

2=4y°

…①又|MF1|，则

yo-1=5……②,由①②解得&

二一？

22262

G）2（-3-）24

而点M椭圆上，故有壬•一3—=1即2

a2b29a2

822

•計…③,又c"

则b=a•④

由③④可解得a2#b2"

•••椭圆C1的方程为

（2）设A（Xi,yJ,B（X2,y2）,Q（x,y）.

为一t.x2=1--

由AP--PB可得:

（1—为,3—yjj一.（x2_1,y2-3）,即

卜一九y2=3（1—丸）

X+扎x=（1+h）X

由AQ二QB可得:

（x-x1,y_yj=，（x2_x,y2-y），即

y+扎y2=（1Uy

⑤⑦得：

x/」.2x22=（1」.2）x⑥⑧得:

y；

-袞2y22=3y（1-%2）两式相力口得

222222..22

（捲十力）一人区+y2）=（1-九）（x+3y）又点A,B在圆x+y=3上，且九鼻±

1,所以

2222

Nyi=3,x2y2=3即x•3y=3,•••点Q总在定直线x•3y=3上.

-1

变式1:

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（—4,0）、B（4,0）,动点P与A、B两点连线的斜率之积为.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y

轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为,3r.

1求OM的方程；

2当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？

如果存在，求出定直线l的方程；

如果不存在，说明

变式2:

已知椭圆

E：

令占=1（ab0）的离心率为ab

它的上顶点为

A,左、右焦点分别为F1,F2,

理由.

直线AF1,AF2分别交椭圆于点B,C.

满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC.

AC的中点坐标（3C,

•••直线AF!

的斜率为.2，此时直线AR的方程为y—2（x•c）,

对称性知C（3c,2c）.

（2）设过P的直线I与椭圆交于两个不同点的坐标为M（论，yj,N（x2,y2）,点Q（x,y）,

捲一扎x2

•mx2,ny

-■

由于m,n,C为常数，所以点Q恒在直线2mx3ny-6c2=0上.

点Q恒在直线2x•、.2y-2=0上.

的动直线I与椭圆交于两个不同点M,N，在线段MN上取点Q,满足，则点q恒在定直线

PNQN

笋晋1上.（极点和极线问题）

探究2:

平面直角坐标系XOy中，圆C1:

（x3）2（y-1）2=4和圆C2：

（x-4）2•（y—5）2=4.

求直线I的

A匚

互相垂直的圆G截得的件的点p的

（1）若直线I过点A（4,0）,且被圆Ci截得的弦长为23,方程；

（2）设P为平面上的点，满足：

存在过点P的无穷多对

直线li和I2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被弦长与直线|2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条坐标.

（1）设直线|的方程为：

y=k（x_4），即kx_y_4k=0

由垂径定理，得：

圆心G到直线I的距离d42-（^3）2=1，

化简得：

珈2*0"

0曲「刃

求直线1的方程为：

y=0或y二7（x4），即y=0或7x24y-28-0

⑵设点P坐标为（m,n），直线I1、I2的方程分别为:

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。

圆心G到直线l1与C2直线l2的距离相等。

故有：

丨-3kTn-kmjk5“km|，

k21

—耳

（2_m_n）k=m_n_3,或（m_n8）k=mn_5

关于k的方程有无穷多解，有:

2-m-n=0Im-n+8=0（或I

m-n-3二0'

m+n-5=0

解之得：

点P坐标为（_3I3）或（§

_1）.

（2,2）（2‘2）

变式1：

在直角坐标系xOy中，点M到点戸（「、3,0），F2C.3,0）的距离之和为4，点M的轨迹是C，

与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ二0

（1）求轨迹C的方程;

（2）直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？

若不过定

点，请说明理由•

变式2:

已知圆C:

x2-y2=9，点A（-5,0），直线丨：

x-2y=0•

（1）求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程；

（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：

对于圆C上任一点P，都有一一

为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标•

拓展：

在直角坐标系xOy中，椭圆xy1的左、右焦点分别是F「F2，点A为椭圆的左顶点，圆0的

方程为x2y=4，是否存在不同于点A的定点B对于圆0上任一点P，都有为一常数，若存在，，PA

试求所有满足条件的点B的坐标；

若不存在，说明理由•

变式3:

在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:

2.2x—y+3+8.2=0和圆C1:

x2+y2+8x+F=0.若直线l被圆C1截得的弦长为23•设圆G和x轴相交于A,B两点，点P为圆C1上不同于A,B的任意一点，直线FA,PB交y轴于M,N两点•当点P变化时，以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？

请证明你的结论；

已知抛物线y2=8x与椭圆务-%=1有公共焦点F，且椭圆过点D（-'

、2,、、3）.

过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q,则直线PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，

若不经过，说明理由

值得注意的是：

若题干中出现两条互相垂直的直线，一般用设而不求的思想（当两直

线斜率均存在时，可设两直线斜率分别为k和-一，然后进行运算）

变式4:

如图，椭圆的中心为原点0,离心率e=-^,—条准线的方程为x=^2.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）设动点P满足：

0P=OM+20N，其中M,N是椭圆上的点，直线0M与0N的斜率之积为一？

，问：

是否存在两个定点F1,F2，使得IPFJ+|PF2|为定值？

若存在，求出F1,F2的坐标；

若不存在，说明理由.

变式5:

已知左焦点为F（—1,0）的椭圆过点E（1,厶3）.过点P（1,1）分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦

AB,CD，设M,N分别为线段AB,CD的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若ki+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

依题设c=1，且右焦点F（1,0）.

所以，2a=EFEF=.（11）223=2.3,b2=a2—C=2,

Y13丿3

故所求的椭圆的标准方程为n1.

X1V1X2y

⑵设A（x1,y1）,B（x2,y2）,贝V——=1①，"

—^二1②.

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:

（x1）2y^1，圆C2:

（x-3）2•（y-4）2

（1）若过点G（-1,0）的直线I被圆C2截得的弦长为6，求直线I的方程；

（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长.①证明：

动圆圆心C在一条定直线上运动；

=1.

②动圆C

当k1k2^0时，

10~6k2k1x（10~6kk1^kH2^1^）2,-9k2k1'

-9k2k123匕2

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0,-|）.

第（3）问，可有一般的情形：

过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦，则两动

弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外，也可以求过两中点所在直线

的斜率的最值.近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：

多考一点“算”，少考一点“想”

是否经过定点？

若经过，求出定点的坐标；

若不经过，请说明理由.

【分析】

（1）在求直线方程时应先判断一下是否有斜率不存在的情况，然后再进行求解;

（2）的第①小题其实质是求轨迹问题，即以圆C的半径相等作为等量关系来证明结论；

（2）的第②小题的求解要学会与第①小题的相联系起来考虑，以表达出圆的含参方程，从而可以判断出结论

（"

设直线1的方程为yMX1），即k^-y^0.因为直线1被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的

所以直线I的方程为4x—3y•4=0或3x—4y•3=0.

（2）①证明：

设圆心C（x,y），由题意，得CG=CC2，即

.（x1）2y2=（x-3）2（y-4）2.化简得x■y-3=0,即动圆圆心C在定直线xy-^0上运动.

②圆C过定点，设C（m,3-m），则动圆C的半径为1CG2=1（m1）2（3-m）2.

于是动圆C的方程为（x-m）2（y-3m）2=1（m1）2（3-m）2.

整理，得xy…6y-2-2m（x-y*1）=0.

x=13.2,

得2_或

y=2；

、2；

所以定点的坐标为1-3、2,2-3&

12&

23&

反思：

1、第

（2）题的第①小题的提法与书本要求相一致的，避免了求轨迹方程的嫌疑

2、定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然

后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系问题来解决。

探究3:

已知椭圆E：

右+”1（a>

0）的离心率为乎且过点P（2,2），设椭圆E的右准线I与x轴的交

点为A，椭圆的上顶点为B，直线AB被以原点为圆心的圆0所截得的弦长为4仝.

（1）求椭圆E的方程及圆0的方程;

若存在一个定圆M,

Q在一个定圆上.

求证：

存在一个异于M的点Q,对于圆0上的任意一点N,有MQ

（2）若M是准线I上纵坐标为t的点,

C的方程为（x—1）2+y2=4,P为圆C上一点.

APB恒为60，则圆

过P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B，当P在圆C上运动时，使得/

（1）求椭圆标准的方程;

（3）设椭圆的上顶点为Q,在满足条件

（2）的情形下证明：

PQ=pr+PF2.

】拟<

1）HI+u:

中VIa-Sv-6=0'

jai心變也为/（（-2V3JI）.A；

3.0）•

■'

故“=土=J5・所以阳=3.豊輛闘序起址：

二+咚“129

2）说心p（斗刃+凶为片<

-aJ3.o）<

V5・o）.

；

则為=皿如=1十羽片

设九Pv>

2jrL

I対为再一厲=〒+所以uin（/T—a）=—V3.

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（）-

iLt3J^FjxP气=—hy,

2、ifulFF^Pf^=P"

+2PFi^F电+PF：

=4**】2—fiv=I2~4y=%/.所以pQ=PFiA-PF>

22..■-

探究4:

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆亏+y2=i（a>

0）的离心率为石,其焦点在圆x2+y2=1上.ab2

（1）求椭圆的方程；

（2）设A、B、M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角0,使0M=cosOA+sinOb.

1求证：

直线OA与OB的斜率之积为定值；

2求OA2+OB2.

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B:

（x—1）2+y2=16与点A（—1,0）,P为圆B上的动点，

线段PA的垂直平分线交直线PB于点R,点R的轨迹记为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）曲线C与x

轴正半轴交点记为Q,过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M、N，连结QM、QN，分

变式2:

已知椭圆C过点A（1-），两个焦点为（一1,0）,（1,0）

，2

（1）求椭圆C的方程；

定值，并求出这个定值

变式3:

如图，已知椭圆

-2亠=1a■br0j过点C

P为椭圆上任意一点（除

（坐—）且离心率为—,A,B是长轴的左右两顶点,

A,B外），PD_x轴于D，若P^^t.QD^i：

1,0.

（1）试求椭圆的标准方程;

（2）当P在C处时，若.QAB=2.PAB，

试求过Q、A、D三点的圆的方程;

（3）若直线QB与AP交于H，问是否存在‘使得

OH的长为定值，若存在求出■的值，若不存在说明理由.

”1a.b0过点5中于），且离心率为寸，

解:

（1厂••椭圆

由-6，得

所求椭圆方程为

一+•

~二’

x—+

（2）A（——、3,0）,P（

在RtPAD中,

即

2.2

tanZPAD=-,

）,

a3b,

丄2=1,b2=1

4b4b

0）,

tanZQAB=tan2/PAB=

D^-D^-

4428

3、39-3393

--Q,-—

28’

D,Q三点圆是以AQ为直径的圆,

其方程为（x「3）（x-

=0,即

y（y-

（3）A（—,0）,B（3,0），设P（X。

yo）,Q（xo,yQ）则D（xo,0）

PQ=（0,yQ—y0）,QD=（0,—yQ）,

由PQ=■QD得

（°

yQ—y°

）=扎（0,—yQ）,yQ—y°

=—九yQ,y=丫0

1+人

直线AP的方程为

=J0、3（x倚

直线BQ的方程为

一

（1）帆-.3）（x，3）

①x②得y

（1）（xo-3）

z2Xo22

（x-3），又一yo=1,•••yo二

3—x；

代入

12X21

3（厂（x-3），万程3（T^y~

即为直线AP与直线BQ的交点H的轨迹方程,

要使OH为定值，则必须方程

y2表示圆，此时3（1-丿“）=1,

3（1■）1■

二=一—，即存在■■■■•=——，使OH为定值.

说明：

若先求AP与BQ的交点坐标，则解题过程较繁

\/3（2+九）Xo—3丸^V3yo）

xo,3（2：

1）-■xo；

3（^■）

OH2=[J^2+丸）xo_3扎]2+[2廳yo]2

」；

*•.3（2：

••；

■）J3（2：

=[3（2+”）2_4]运_6巧?

（2+*）xo+9k2+12人2x2—2再7一（2+Qxo+3（2+九）2

要使OH为定值，则必须满足3（2厂仁-63（2…）二匚弋,

九2—2廳人（2+人）3（2+扎）2

解之得z..=——，即存在■■■.■■=——，使0H为定值.

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:

X+-^=1.

m8—m

（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；

（2）若m=6,①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为（1,0），求PM的最小值及对应的点P的坐标；

②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A,B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：

AB是定值，并求出这个定值.

解

（1）由题意得，m>

8—m>

0,解得4vmv8.即实数m的取值范围是（4,8）.

（2）因为m=6,所以椭圆C的方程为x十专=1.

①设点P坐标为（x,y）,则冷十\=1.因为点M的坐标为（1,0）,所以

2222x2x

PM2=（x—1）2+y2=x2—2x+1十2—-=可—2x+3

233

=3（x—2）2十2，x€[—6,6].

从而椭圆

设A（xi,

C的右焦点F的坐标为（2,0）,右准线方程为x=3,离心率e=f.

22竺+止=1

6十21，

y1）,B（X2,y2）,AB的中点H（x0,y°

）,则管十笃=1，

所以当

x=号时，PM的最小值为-2，此时对应的点P坐标为（|,±

222

所以

-十T=0,即kAB=x—2=-益

令k=kAB,则线段AB的垂直平分线I的方程为y—yo=—~（x—xo）.

令y=0，贝Vxn=ky°

+x0=3x0.

因为F（2,0），所以FN=氐—2|=^沟一3|.

因为AB=AF十BF=e（3—冷）十e（3—x2）=236|x。

一3|.

故AB=于摻=6.即AB为定值6.

已知椭圆^^^7=1ab0的长轴两端点分别为A,B,Px°

y0y0是椭圆上的动点,

以AB为一边在x轴下方作矩形ABCD,使AD^kbk0,PD交AB于点F.

（1）如左图，若k-1，且P为椭圆上顶点时，PCD的面积为12,点O到直线PD

的距离为5，求椭圆的方程

（2）如右图，若k=2，试证明：

AE,EF,FB成等比数列

探究5:

已知圆P:

x2・（y-2）2=1,Q为x轴上的动点，圆Q与圆P相外切，圆Q与x轴交于M、N两点.

在y轴上是否存在一异于原点的定点A,使得乙MAN为定值？

若存在，求出点A的坐标；

若不存在，请说

明理由.

【专题反思】你学到了什么？

还想继续研究什么？

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