数学与应用数学学年论文-曲线积分、曲面积分及其应用Word格式.doc

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1.3第一型曲线积分的定义………………………………………………3

1.4第一型曲线积分的计算………………………………………………3

2关于第二型曲线积分、曲面积分的一些定理及其计算………4

2.1第二型曲线积分的定义………………………………………………4

2.2第二型曲线积分的计算………………………………………………4

2.3第二型曲线积分的定义………………………………………………5

2.4第二型曲线积分的计算…………………………………………………5

3三大公式……………………………………………………………………………6

3.1格林公式…………………………………………………………………………6

3.2高斯公式………………………………………………………7

3.3斯托克斯公式…………………………………………………7

3.4场论初步……………………………………………………………..8

结语………………………………………………………………10

参考文献…………………………………………………………10

曲线、曲面积分相关定理及其应用

学生姓名：

吴倩学号：

数学与信息科学学院专业：

数学与应用数学

指导教师：

黄明湛职称：

讲师

摘要：

本文主要讨论了曲线积分、曲面积分的相关定理，并举例说明其应用

关键词：

曲线积分；

曲面积分；

高斯公式；

格林公式

CurvilinearIntegralandSurfaceIntegralTheoremandItsApplications

Abstract：

Thispapermainlydiscussestherelatedtheoremsofcurvilinearintegralandsurfaceintegral，andillustratesitsapplications．

Keywords：

curvilinearintegral；

surfaceintegral；

gaussformula；

greenformula

前言

我们以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上函数的积分,本文将研究在平面或空间曲线段上函数的积分。

设物体的密度函数是定义在上的连续函数

（1）是直线段

（2）是平面有界区域

（3）是空间有界区域

这样，我们就产生了两个问题，

（1）是小曲线段

（2）是小曲面块

做法：

做分割，近似求和，取极限

1关于第一型曲线积分、曲面积分的一些定理及其计算

1.1第一型曲线积分的定义

设为平面上可求线段长度的曲线段，为定义在上的函数。

对曲线做分割，它把分成个可求长度的小曲线段，的弧长记为，分割的细度为，在上任取一点。

若有极限

且的值与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲线积分,记作

若为空间可求长曲线段，为定义在上的函数，则可类似地定义在空间曲线上的第一型曲线积分，并且记作

1.2第一型曲线积分的计算

定理：

设曲线方程为，为定义在上的连续函数，则　　　　　　　　　　　　　　　

推论：

（1）：

（2）:

（3）：

例：

设是半圆周，试计算第一型曲线积分

解：

1.3第一型曲面积分的定义

设为空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数。

对曲线做分割，它把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，分割的细度为，在上任取一点。

存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分,记作

特别地，当时，曲面积分就是曲面块的面积

1.4第一型曲面积分的计算

设有光滑曲面，为上的连续函数，则

计算，其中是球面被平面所截的顶部。

曲面的方程为，定义域为圆域：

由于，故

2关于第二型曲线积分、曲面积分的一些定理及其计算

2.1第二型曲线积分的定义

设函数与定义在平面有向可求线段长度曲线上，对的任一分割，它把分成个小曲线段,其中,。

记各小曲线段的弧长为，分割的细度为，又设的分点的坐标为，并记。

在每个小曲线段上任取一点。

存在且与分割与点的取法无关，则称此极限为函数，沿有向曲线上的第二型曲线积分,记作或

2.2第二型曲线积分的计算

设平面曲线，其中在上具有一阶连续偏导函数，且点与的坐标分别为与。

又设与为上的连续函数，则沿从到的第二性曲线积分

计算第二型曲线积分，是螺旋线：

从到上的一段

解:

2.3第二型曲面积分的定义

设为定义在双侧面上的函数，在所指定的一侧做分割，它把分成个小曲面块，分割的细度为，以分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定。

若的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正。

反之，若的法线正向与轴正向成钝角时，在平面的投影区域的面积为负。

在各个小曲面上任取一点。

存在且与曲面的分割与点在上的取法无关，则称此极限为函数在曲面上所指定的一侧上的第二型曲面积分,记作或

2.4第二型曲面积分的计算

设是定义在光滑曲面上的连续函数，以的上侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有

计算，其中是球面在部分并取球面外侧。

曲面在第一第五卦限部分的方程分别为

它们在平面上的投影区域都是单位元在第一象限部分。

以题意，积分是沿的上侧和的下侧进行，所以

3三大公式

3.1格林公式

1、定理：

若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有，这里为区域的边界曲线，并取正向。

计算，其中为任一不包含远点的闭区域的边界线。

因为，在上述区域上连续且相等，于是，所以有格林公式立即可得。

在格林公式中，令，则得到一个计算区域的面积的公式：

2、曲线积分与路径无关性

设是单连通区域，若函数在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

（1）沿内任一按段光滑封闭曲线，有

（2）对内任一按段光滑封闭曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点及终点有关；

（3）是内某一函数的全微分，即在内有；

（4）在内处处成立

3.2高斯公式

设空间立体由光滑封闭曲线所围成，在上连续，且有连续的一阶偏导数，则，其中取外侧。

计算，其中是边长为的正方体表面并取外侧。

应用高斯公式，所求曲面积分等于

若高斯公式中，则有

于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域的体积公式

3.3斯托克斯公式

设光滑曲面的边界曲线是光滑曲线，若在上连续，且有连续的一阶偏导数，则

计算，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正方向

应用斯托克斯公式推得

设是空间单连通区域，若函数在上连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：

（1）对于内任一按段光滑封闭曲线，有

（2）对于内任一按段光滑封闭曲线，曲线积分与路径无关，只与的起点及终点有关；

3.4场论初步

一、数量场（向量场）

1、定义：

若对全空间或其中某一区域中每一点，都有一个数量（或向量）与之对应，则称在上给定了一个数量场（或向量场）。

2、数量场：

温度场，密度场

向量场：

重力场，速度场，电力场，磁力场

3、向量场线：

设为向量场中一条曲线。

若上每点处的切线方向都与向量函数在该点的方向一致，即，则称曲线为向量场的向量场线。

二、梯度场

由数量函数所定义的向量函数

2、基本性质：

（1）若是数量函数，则

（2）若是数量函数，则，特别地有

（3）若，则

（4）若，则

（5）若，则

三、散度场

设为空间区域上的向量函数，对上每一点，定义数量函数，称它为向量函数在处的散度，记作

（2）若是数量函数，是向量函数，则

（3）若是一数量函数，则。

其中，

四、旋度场

设为空间区域上的向量函数，对上每一点，定义数量函数，称它为向量函数在处的旋度，记作

（3）若是数量函数，是向量函数，则

结束语

从高中起我们就接触到了简单的积分，在大学时又进一步加深了学习，通过计算曲线积分和曲面积分相关实例的证明和计算，可充分利用对称性的方法，说明了曲线积分和曲面积分的某些相关联性，从曲线曲面积分的几何意义上考虑，文中给出了曲线积分和曲面积分的公式，在计算中，充分利用这些方法可以提高运算速率。

历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，曲线积分和曲面积分概念对数学发展的影响，可以说是作用非凡．曲线积分和曲面积分在很多地方有重要的应用，比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用．

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：

高等教育出版社,2001.

[2]毛信实,董延新.数学分析（第一版）[M].北京：

北京师范大学出版社,1900.

[3]同济大学数学系.高等数学[M].北京：

高等教育出版社,1997.

[4]周性伟,刘立民.数学分析（第一版）[M].天津：

南开大学出版社,1986.

[5]何琛,史济怀,徐森林.数学分析（第一版）[M].北京：

高等教育出版社,1983.

[6]沐定夷.数学分析（第一版）[M].上海：

上海交通大学出版社,1993.

学年论文成绩评定表

评语

成绩：

指导教师（签名）:

年月日

学院意见：

学院院长（签名）:

年月日

11