球的组合体问题1球的组合体问题最全分类和解法研究Word文档格式.docx
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圆柱体轴截而矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径;
结论6：
直棱柱与该棱柱的外接圆柱体有相同的外接球：
结论7：
圆锥体的外接球球心在圆锥的髙所在的直线上：
结论8：
圆锥体轴截而等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；
结论9：
侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.
（3）终极利器：
勾股定理.正弦定理及余弦上理（解三角形求线段长度）：
3.内切球的有关知识与方法
（1）若球与平面相切，则切点与球心连线与切而垂直・（与直线切圆的结论有T性）・
（2）内切球球心到多而体各而的距离均相等,外接球球心到多而体各顶点的距离均相等（类比：
与多边形的内切圆"
卜接圆）
（3）正多而体的内切球和外接球的球心重合.
（4）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一泄重合.
4.基本方法：
（1）构造三角形利用相似比和勾股泄理；
（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）・
二、理清位置，学会画图
先画一个大圆与一个或两个小圆。
1•多面体的外接球（球包体）
模型仁球包直柱（直锥）：
有垂直于底而的侧棱（有垂底侧边棱）
球包四棱柱
速算:
球径公式
球包三棱柱速算:
注：
凡是有一条侧棱垂直于底面的柱或锥，都能补成同球内接圆柱，则都可用以下公式求其夕偎球的
①对于正三角形、等腰直角三角形、一般直角三角形：
√2r=——a7
■
2
球径公式:
R=Jt]+r2,
（厂为底面外接圆半径）
关键：
构建Rt△
②对于一般三角形：
SinASinBSinC
√6a
4a2+3h2^^6Λ^^
/+2/『
4Λ
模型2：
“顶点连心”锥:
锥体的顶点与球心及其在底而的投影（都是底面多边形外接圆的圆心）两心一顶连成线,构建Rt∆
实例：
正棱锥
球径计算方程：
（II-R）2+r2=R2Ir一IhR+r2=0=>
/?
=
72/7
（h为棱锥的高，Γ为底面外接圆半径）
特别地，
（1）边长为"
正四而体的外接球半径：
R=
（2）底而边长为α,髙为力的正三棱锥的外接球半径：
R=—
（3）底面边长为"
，髙为力的正四棱锥的外接球半径：
R=
2.正多而体的内切球（体中球）
棱锥的内切球:
（由等体
圆锥的内切球：
（若圆
锥高为hf底面半径
积法）R=
3V惟
S惟农
"
hr
r+y∣h2+r2
边长为"
的正方体:
R=-
等边圆柱（母线"
人
边长"
的正八而体:
P√6
R=——a
不用记忆结果，应画好直观图，做妍由截面图,会用平面几何知识求半径。
3.正多而体的J棱切球”（与所有的棱都相切的球）
V
d
正四而体边长为"
，球半径（是对棱距
/7
正方体边长如球半径洽
正四面体边长为“，球半径力彳
离的-^）R=∙Ja
4
三.球的问题的六种题型和解法
球心可以确定球的位置，半径可以确左球的大小。
球心和半径是确龙球的两个重要的疑。
’l求球的表而积、体积、
半径或已知球的半径而求切接几何体的棱长”等是常见题目•它们的求解都离不开求球的半径Fr据此可把球的切接
问题分成六种类型。
（见思维导图）
（一）简单的一（D能直接用m+尸求解的;
（2）正方体与球的切、接；
（3）长方体内接于球（球包长方体）：
对于
（1）如图
对于
（2）（3）,
球心在体对角线的交点处，请先观看视频
②球与正方体的棱相切
如图：
①正方体的内切球
Cl
③正方体的外接球
说明：
①正方体的内切球:
DI
C
球与正方体的每个而都相切，切点为每个而的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为d,球半径为R。
如图，截而图为正方形EFGH的内切圆，得/?
=-：
2与正方体齐棱相切的球：
球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图作截而图，圆O为正方形EFGH的
外接圆，易得R=-UQ
3正方体的外接球：
正方体的八个顶点都在球而上，如图，以对角而AG为截面作截而图得，圆O为矩形AAlCIC
行
的外接圆，易得R=AyO=-a（作为记住）o
4球包长方体2R=y∕a2+b2+c2
下面分别就
（1）
（2）（3）种情况举例分析
例1.
（1）（2012-课标全国，8,中）平面Qf截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为承，则此球的体积为（）
A.√6πB.4√3πC.4√6πD・6√3π
解:
（直接用R—卩"
求解）如图,设平而α截球O所得圆的圆心为O,则IoOIl=√Σ
∖O↑A∖=a∖,
・••球的半径P=∣O∕4∣=√Γh=√3.・•.球的体积U=∣πP3=4√3π.故选B.
例1.
（2）[2012髙考新课标理11】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球而上，MBC是边长为1的正三角
形，SC为球。
的直径，且SC=2；
则此棱锥的体积为（）
（A）芈（B）f（C）些OoJ
【解析】
（用R2=/+尸求解）ΔABC的外接圆的半径r=g,点、O到而ABC的距离d=y∕R2-r2=理,SC为球O
3
的宜径=＞点S到面ABC的距离为2d=—
另解（估算法）：
=£
排除5C,D.选A.
36
此棱锥的体积为V=-SsABCχ2CI亠旦空
33436
例1∙（3）求棱长为4的正方体的外接球和内切球的体积。
解：
由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径2R,正方体的棱长即为其内切球的直径2r,因为正方体的棱长为4,故2R=4√3,2r=4,所以^=2√3,（或直接用公式得R==^∙×
4=2√3）.r=2,从22
而匕卜接球=∙j∕tR3=~π（2、/3）3=32:
U内切球=亍龙IJ=匚一•例1.（4）棱长为1的正方体ABCD-AlBlCiDl的8个顶点都在球O的表而上，£
F分别是棱AA1,DD的中点,
则直线EF被球O截得的线段长为（
B-,C1÷
TD近
O∖ΛDi∖√2解：
俐用截面图）由题意可知，球为正方体的外接球，平而曲QQ截球所得的圆而的半径R=-T=亍因为
EFU面AA1D1D,且EF过截面圆圆心，所以直线EF被球O截得的线段为球的截面圆的直径2R=√Σ.选D
例1.（5）（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球而上，且一个顶点上的三条棱长分别为12»
则此
球的表面积为
解析：
关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。
长方体体对角线长为2∕C=√l2+22+32=^,所以,故球的表而积为S=4πR2=^
巩固训练：
1.能直接用RS求解的
（1）（2013-课标I,15）已知H是球O的直径力8上一点，AH：
Hβ=1:
2,&
8丄平而α,H
为垂足，α截球O所得截而的面积为π,则球O的表而积为.
1OR
平盹截球。
所得截而为圆而，圆心为H,设球。
的半径为RKIMH=-X2,=^
211
OH=R-AH^--R=-^所以。
甘沪由圆H的而积为"
得圆H的半径小所以（f）2÷
12=矗，得仔=|，所以球O的表而积S=4τM2=4τr∣=寥填粤1
（2）已知三棱锥S-ABC各顶点均在球O上，SB为球O的直径，若AB=AC=2>
ZBAC=-,三棱锥S-ABC的体3
积为4,则球O的表而积为（）
A.120兀B.64兀C.32兀D.16兀
如图，在AABC中，由余弦定理，得BC=2√J,又由正弦泄理Ir=-^-,得底面AABC的外接圆半径・λ7t
SIn——
r=σA=2,又因为S.1.=lλB∙ACsin-=√3,且三棱锥S-ABC
∙v23
的体积为4,得V=lx√¾
=4,所以Λ=4√3t所以O^=-=2√3,
32
在RtAOOfA中，由勾股宦理得球半径R=OA=SA2+O"
=4,则球O的表而积S=4^2=64π.选B
（3）（2013-课标II,15）已知正四棱锥OABCD的体积为攀，底面边长为√5,则以O为球心，04为半径的球的表而积为.
【解析】设底而中心为E由球的截而性质知OE丄底WiABCD,则∖AE∖=^∖AC∖/、\
=罟，•・•体积V=^AB∖2∙∖OE∖=∖OE∖=^∙,由球的截面的性质知ZkOEA为Rt∆,.∖∖OA∖2=∖AE∖2+∖OE∖2=β.从而
以0为球心，OA为半径的球的表而积S=4π∙Q4∣2=24ττ.填24π
<
4）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球0的球而上,且AB=JBC=2乩则棱锥O一ABCD的体积为O
【解析】本题主要考査球的截面性质、棱锥的休积公•式•设矩形的对角线的交点为E,则OE丄面ABCD,K1=-BD2=丄（AB2+5C2）=12,
44
由截面圆性质得OE=JRl一"
=2,
•••棱锥O-CD的体积沖*SUJCz）XOE
=i×
6×
2√3x2=8∙>
A・
（5）（2013-课标I,6）如图，有一个水平放巻的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容
器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不讣容器的厚度，则球的体积为（）
A500π.C866πQJ372π.小2048πQ
A.^—cm3B.-g—cm3C.——Cm3D.—~~m3
设水面与球的接触点（切点）为P,球心为O,则PO垂直于正方体的上表而,
Q
体上表面的距离为"
2。
设球的半径为R，则球与正方体上表而相交圆（截面圆）的半径是二
且球心到该截面的距离是R—2,故（/?
-2）'
+宀F∕72=（P-2）2+42^∕7=5.Λ√=∣π∕73=^y11（cm3）.［答案】A
【点评】关键是由球的截而圆性质构造Rt∆.由勾股龙理建立关于R的方程，求出R
（6）（2015-四川绵阳一模，7）如图所示，用一边长为頁的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表而积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底而的距离为（）
A.
B.
cI
D.
蛋巢的底而是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直
径为1,鸡蛋的表面积为4m所以球的半径为仁所以球心到截而的距离为d=
寸爭•而截而到底面的距离即为三角形的髙M所以球心到底而的距离为
【答案】D
2.求正方体的外接球的有关问题
（7）（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面枳为.
要求球的表而积，只要知道球的半径即可•因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.另解：
R斗笔,故表面积为S—仏务27汉
（8）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24,则该球的体积为•
要求球的体积，还是先得求岀球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表而积可求出棱长，6∙∕=24,.∙./=4<
=2,从而求出正方体的体对角线是2$,所以球的半径为R=^a=y∣3,故该球的体积为V=→（√3∕=4√3λ∙.
（9）（2013-天津，10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为牙，则正方体的棱长为
【解析】设正方体的棱长为a,则正方体的外接球半径R=^3.因为球的体积为∣ττ,所以∣π√^=∣π,即-a,所以a=√3.【答案】√3
（10）如图，在正方体ABCD-A}BIClDl中，棱长为、丘，面BDB与≡A,Z）C1的重心分
别为E、F,求EF所在直线被正方体外接球截得的弦长为（）
D.学
解法一：
如左图，连结AC1,BR,交点为球心0,易知点E是线段BQ】的三等分点（靠近D1）,点F是线段Aq的三等分点（靠近A）,又O是BDl的中点，且是AG的中点，所以
OE=-BDI=-×
^×
y∣3=-=OF,连结EF,AD1,在厶QAD冲，因为皀-=乞，
6621ODxOA
√2
->
所以
所Tw,所以△阿〜△叫，所以焙OF
OA
3√2
EF=-ADI=1∙2√3=-.作出平而OEF与球O的截面圆图象如右图，作333
（EFy∖
）=（T
MP2=OM2-OP2=R2-OP2×
√6
OP丄MN,则"
2=OE2-
冷;
在&
中,
£
=9
6"
263
1匕得MP=
7
MN=2MP=工一•选C.
解法二：
（先用空间向呈求球心到直线EF的距离OP）设外接球球心为O,如图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、
D人所在直线分别为X轴、丫轴、Z轴建立空间直角坐标系D-λ>
z,
A1（√6,0,√6）.,联Q）、Cl（0,√z6,√6）.D（0,0,0）.E
'
√6√62届
♦9
、O
f√6√6逅］
所以元=
r√6
√6）
333
\/
222
•/
6
/
下边同解法一。
3.求长方体的外接球的有关问题
（11）（2006年全国卷I〉已知各顶点都在一个球而上的正四棱柱髙为4,体积为16,则这个球的表而积为（）・
A16;
TB20;
Tc.24tγD.32τr
正四棱柱是底面为正方形的长方体。
由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此，长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例1（5）,2Λ=√4+4+16=√24=2√6.R=H所以S=4庆=24龙，故选C.
（二）一般的一球心，构造直角三角形
球心是决立球的位宜的关键点，泄球心的方法有：
1扩展成同球内接圆柱或直棱柱后，再怎球心位置，在上下底而圆心连线段的中点处•（适用于有一条侧棱垂直底面的几何体）（见例2）
2根据球心到球而上四个不共面的点的距离相等确泄球心位置：
（常用于多面体中有两个直角三角形，且两个直角三角形有公
共斜边的情况,可利用直角三角形性质:
直角三角形斜边中线等于斜边一半。
得球心为直角三角形斜边中点）（见例3）
3过两个相邻三角形外接圆圆心，且垂直于两个三角形各自所在面的两条直线的交点为球心.（适用于二面角模型）
4讨论球心的位置，列方程求解，舍去一种位置（适用于球内接正棱锥）；
也可不讨论球心的位苣，而由（h-R）2=R2-r2t求R.（见例5）
5其它：
构造Rt△求解。
下面分别举例探究：
1.有一条侧棱垂直底面的几何体模型
方法一：
采用扩展成同球内接圆柱或直棱柱后，再定球心位置的方法；
（结合后四3圆柱模型）
*≡-I
■■
>
1
•宀
I
图3∙1
图3・2
图3・3
题设：
如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：
确左球心O的位置（0在扩展成的同球内接圍柱上下底面圆心连线段的中点），0］是ΔABC的外心，则Ool丄
图5
平而ABC；
第二步：
算出小圆Q的半径AOI=r,（底面三角形外接圆半径r的求法：
①若底面是等边三角形f则r=-;
②若底面是RM,则匸斜边的一半;
③若底面是一般的三角形r则可用正弦走理丄=-^-=-^-=2r求解）・OOl=-AAλ=-h（A41=Λ⅛^11的高）：
SinASinBSinC22
解出/?
・（可
第三步：
用勾股定理OA2=0才+OQ2=>
∕?
2=φ2+r2=>
=Jr2+（^）2
记住该公式，见后四（三）圍柱模型速算法）
方法二：
构造以球直径为斜边的球内接直角三角形，利用勾股定理求球半径题设：
如图5,PA丄平而ABC.求外接球半径・
解题步骤：
第一步：
将ΔABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD9连接PD.则PQ必过球心6（因
为Ool丄面ABCf又PA丄面ABC,所以PAIIOOxI所以PA与Ool共面；
又ZPAD=90。
，所以PD是大圆的直径）
Oi为AABC的外心，所以OOl丄平面ABC,算出小圆Q的半径OQ=F（三种方法同前），OOl=-PAi2
利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径：
①在RtAPAD中，（2/?
）2=PA2+（2r）2O2R=√PA2+（2r）2:
或
②在恥OOQ中，Z?
2=r2+∞12<
=>
==λ∕r2+OO12.
例2.
（1）请观看视频（例题1
注:
设正三棱柱ABC一Λ1BlCI的高为ht底面边长为aI如图2所示，D和Q分别为上下
例2.
（2）.已知SEAB所在的平而与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3.AD=2.ΛAEB=ω°
则多而体
E-ABCD的外接球的表面积为・
（折叠型）
法一；
补形为宜三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式.再扩展为圆柱，通过计算圆
柱的轴截面的对角线长来求球的直径：
AEAB外接圆半径
片=二EA=观,所以（2/?
）2=（2r1）2+AD2=（2v¾
2+22=16,3
所以/?
2=4,S∕'
=16∕τ;
也可以解RtΔOO1E
底面的中心根据几何体踽点,球心必落在高㈣的中点。
，込”皿”斗,借助直角三角形AoM
勾股走理，可求R=
._+—a
”2丿〔3
法二：
补形为直三棱柱，（可改变直三棱柱的放置方式为立式），再扩展为圆柱，如图，设MBE的外接圆圆心为0∣,则EQ丄ABf垂足为M,由题意EM丄而ABCD,又设矩形ABCD的外接圆圆心为球心为0∙贝IJO（Z丄而ABCD∙所
■■
以EMIlOO1,又因为M为AB中点，所以QM丄AB,则QM丄而ABE,又OOX丄面ABE,所以OOXIlOIM,得OOXMOI为矩形，所以OOλ=O2M=^=1,在RtSOOlA中，∕∙1=OlA=^EA=√3,,所以
23
R2=r}2+OO{2=4,所以外接球的表而积为Sk=I6兀・填16兀・
PyRnIyoq1o
法三：
同上图在RtzXOOrD中，Oor=OlM=—,λ=OID==——,所以=—+—=4♦S”=∖6τr；
■二2-■2244A
法四：
用公式R=
^∣r2+φ2速算，AEAB的外接圆半径为r1=√3,h=AD=2,所以R=√ΓTT=2,S,i=∖6π.
巩固训练:
1.（高考题选）已知圆柱的髙为仁它的两个底而的圆周在直径为2的同一个球的球而上，则该圆柱的体积为O
ALt3Ji_Tif兀
A•兀B.一C.一D.一
424
由题可知球心在圆柱体中心，球心与圆柱底而圆心的距离〃=?
=圆柱体上
22
下底而圆半径r=jF≡F=Jq*j=£
则圆柱体体积v=π心=苧，故选B.解法二:
求圆柱的轴截而的对角线长得球直径，（2r）2=（2/?
）2-∕γ=22-1=3.得”=耳2.已知直三棱柱ABC-AlBlG的六个顶点都在球O的球而上，若BC=3,AC=4,BC丄ACIAAI=12,则球O的半径为
A.B.2√10C•匕D.佰
由题意知，AB是AABC外接圆的直径，AB中点0为此外接圆的圆心，球心O是
三棱柱外接圆柱的中心（高的中点），连结OQ、A0「OA,得RtΔ06>
1AIJFhAB=5,得
151I/5V13
AOl=-BC=-,又OOl=-AA}=6,所以球O的半径R=I-+62=—・
222\1\2J2
求圆柱的轴截而的对角线长得球直径，
13
（2/?
）2=（2r）2+A412=AB2+BB12=25+144=169=13—得R=-
乙
3.（2015•河南驻马店调硏，13）在三棱柱ABC-A1BC中，已知丄平而ABC,AA,=2,
βC=2√3,ZBAC=萝，且此三棱柱的各个顶点都在一个球而上，则球的体积为
为R=y∣d2+r2=√12÷
（√3）2=2,则球的体积为匕疔∣×
π×
23=φ.
【答案】
32π
【解析】依题意可知，球心到平面ABC的距离为d詁A4'
=
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