角的定义与数学公式Word文档格式.docx
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∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。
二、公理
平行线的判定：
同位角相等，两直线平行。
平行线的性质：
两直线平行，同位角相等。
三、特点
截取出来的同位角呈“F”字形（或倒置）
钝角
大于直角（90°
）小于平角（180°
）的角叫做钝角。
不少同学对“大于180°
小于360°
的角是什么角”“大于180°
的角是否还为钝角”存在不少疑问
解释：
大于90°
小于180°
的角叫做钝角
大于180°
的角叫做优角
钝角也是劣角的一种，有正的钝角和副的钝角。
邻补角
邻补角：
两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角或两个角有一条公共边，两个角的另一边互为反向延长线。
一个角的邻补角有两个。
一个角与它的邻补角的和等于180°
“互为邻补角”包括两角之间的位置关系与数量关系两个方面的要求；
而互为补角仅两角之间的数量关系。
如：
∠AOC与∠AOD互为邻补角，也和∠COB互为邻补角；
∠AOF与∠FOB互为邻补角，也和∠AOE互为邻补角；
∠FOD与∠COF互为邻补角，也和∠DOE互为邻补角等等。
余角
如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角（complementaryangle）,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角.
同角或等角的余角相等
∠A+∠C=90°
∠A=90°
-∠C,
∠C=90°
-∠A
即:
∠A的余角=90°
-∠A，
∠C的余角=90°
-∠C。
余角的性质：
同角的余角相等。
比如：
∠A+∠B=90°
∠A+∠C=90°
则：
∠C=∠B。
等角的余角相等。
∠D+∠C=90°
∠A=∠D
如果两个角的和等于90度，就说这两个角互为余角
同角或等角的余角相等
内错角的定义
直线AB，CD被第三条直线EF所截，如果两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角。
如图中∠4与∠6，∠3与∠5都是内错角。
所以，内错角的定义为：
两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
如上图。
内错角的应用和证明
定义：
两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角。
两个角相加等于180°
。
内错角相等，两直线平行。
两直线平行，内错角相等。
内错角的特点
截取出来的内错角呈"
Z"
形（或反置）
补角
补角（supplementaryangle）
补角的定义：
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角
∠A+∠C=180°
∠A=180°
-∠C,∠C的补角=180°
-∠C即:
∠A的补角=180°
补角的性质：
同角的补角相等。
比如：
∠A+∠B=180°
∠A+∠C=180°
则：
等角的补角相等。
∠D+∠C=180°
∠A=∠D则：
如果一个角和这个角的补角相等，那么这个角等于他的补角
另:
一个角的补角比它的余角大90°
如果2个角补角相等，那么它们都是直角。
风水补角
[1]所谓风水中补角，是指因家中缺角用风水用品来化解。
家中缺角就是房屋缺角，人们的住宅最好是正方形，这样才能平均吸纳气场能量。
为了避免房屋缺角的不足，必须进行室内补角。
这种补角，不是说用砖瓦进行补救，而是如何巧用风水用品补角。
泰山石敢当是用来解决家中风水最有效、最具威力的补角方法。
[1]
仰角
视线在水平线以上时,在视线所在的垂直平面内,视线与水平线所成的角叫做仰角。
英文：
anelevation;
anangleofelevation
相交
数学定义
我们知道，如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交（interseetion）。
该公共点就叫做这两条直线的交点（intersectionpoint）.两条直线在同一平面不平行也不重合，那么他们的关系就是相交。
数学上三个圆的位置关系之一.
设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d 相交为:
R-r＜d＜R+r
斜率
基本解释
由一条直线与X轴形成的角的正切。
数学术语
名称定义
斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴互相垂直，直角的正切值无穷大，故此直线，不存在斜率。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b，（斜截式）k即该函数图像的斜率。
当直线L的斜率存在时，点斜式y2—y1=k（X2—X1），
当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1
对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα
斜率计算：
ax+by+c=0中，k=-a/b.
直线斜率公式:
k=（y2-y1）/（x2-x1）
两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1：
k1*k2=-1.
斜率的重要性
我们可以看到斜率，它是中学生学习的一个非常重要的概念。
为什么说它重要，下面我们可以从以下几个方面来看：
第一个，从课标的这个角度，我们可以知道在义务教育阶段，我们学习了一次函数，它的几何意义表示为一条直线，一次项的系数就是直线的斜率，只不过当直线与X轴垂直的时候无法表示。
虽然没有明确给出斜率这个名词，但实际上思想已经渗透到其中。
在高中阶段对必修一以及还有必修二当中都讨论了有关直线问题，选修一还有选修二也都提到了与直线相关的一些问题。
上述列举的内容，实际上都涉及到了斜率的概念，因此可以说斜率这个概念是学生逐渐积淀下来的一个重要的数学概念之一。
第二个，从数学的视角，我们可以从以下四个角度来理解如何刻划一条直线相对于直角坐标系中X轴的倾斜程度。
首先就是从实际意义看，斜率就是我们所说的坡度，是高度的平均变化率，用坡度来刻划道路的倾斜程度，也就是用坡面的切直高度和水平长度的比，相当于在水平方向移动一千米，在切直方向上升或下降的数值，这个比值实际上就表示了坡度的大小。
这样的例子实际上很多，比如楼梯及屋顶的坡度等等。
其次，从倾斜角的正切值来看；
还有就是从向量看，是直线向上方向的向量与X轴方向上的单位向量的夹角；
最后是从导数这个视角来再次认识斜率的概念，这里实际上就是直线的瞬时变化率。
认识斜率概念不仅仅是对今后的学习起着很重要的作用，而且对今后学习的一些数学的重要的解题的方法，也是非常有帮助的。
第三个，从教材这个视角看。
（1）从大纲来看，教材在处理直线的斜率这一部分知识的时候，首先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，之后再来引入经过直线上的两点的斜率公式的推导；
从新课程标准来看，可以看到人教版A版的教材是先讲直线的倾斜角，然后再讲直线的斜率，只不过在处理上，是以问题的提出的形式来说。
首先是过点P可以做无数条直线，那么它都经过点P，于是组成了一个直线束，这些直线的区别在哪儿呢，容易看出它们的倾斜程度都不同，那么如何刻画这些直线的倾斜程度呢，以直线l与x轴相交时，以x轴作为一个基准，x轴的走向与直线l向上的方向之间所成的角α定义为直线l的倾斜角。
之后讨论了倾斜角的取值范围，然后提出日常生活中与倾斜程度有关的量，让学生们来自己举例子，比如身高与前进量的比；
再比如说进二升三与进二升二去比较，那前者就会更陡一些。
如果用倾斜角这个概念，那么我们会看到坡度实际上就是倾斜角α的正切值，它就刻画了直线的一个倾斜程度，这里要特别强调的是倾斜角不是90度的直线都有斜率。
由于倾斜角不同，直线的斜率不同，因此可以用倾斜角表示直线的倾斜程度，然后引导同学们去探索如何用过直线上的两个点来推导有关直线的斜率公式，同样在这里牵扯到有关的倾斜角是0度到90度、以及倾斜角是90度、还有90度到180度不同取值范围的斜率的表达形式。
再来看人教版的数学时，在这里再次提到了直线的斜率的概念，但只不过是在总复习题B组当中涉及到有关斜率的提法，此时用向量的方式来再次提到斜率公式的引进。
第四个，物理学习平均速度，瞬时速度，加速度等时需要运用其求解，推算
学习斜率这一概念时，要注意些什么？
（1）顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。
过去我们在学习解直角三角形时，教科书上就说过：
斜坡坡面的竖直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度；
如果把坡面与水平面的夹角α叫做坡度，那么；
坡度越大<
=>
α角越大<
坡面越陡，所以i=tanα可以反映坡面倾斜的程度。
现在我们学习的斜率k，等于所对应的直线（有无数条，它们彼此平行）的倾斜角（只有一个）α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。
实际上，“斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。
（2）解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单。
如果只用倾斜角一个概念，那么它在实际上相当于反正切函数值arctank，难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复杂。
（3）坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率，倾斜角是90°
的直线（即x轴的垂线）没有斜率。
在今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论。
曲线的斜率
曲线的变化趋势仍可以用过曲线上一点的切线的斜率即导数来描述。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
f'
（x）>
0时，函数在该区间内单调增，曲线呈向上的趋势；
f'
（x）<
0时，函数在该区间内单调减，曲线呈向下的趋势。
在（a,b）f'
'
0时，函数在该区间内的图形是凸（从上向下看）的；
0时，函数在该区间内的图形是凹的
周角
周角
通过一个顶点旋转1周所画出的角为周角。
1周角=360度
周角是360度的由来
两种说法，一个说是巴比伦人根据太阳的直径定的
一个说是336600本身的性质决定的,采用360这数字，是因为它容易被整除。
360除了1和自己，还有22个真因子，包括了7以外从2到10的数字，所以很多特殊的角的角度都是整数。
是巴比伦人规定的，说他们观察的结果，太阳天空中的视直径，恰好是天球视周长的1/360，也就是说用360个太阳（人看到的太阳）一个挨着一个紧紧排列，恰好就是一圈，所以就定义一圈是360度。
同旁内角
同旁内角（interioranglesofthesameside），“同旁”指在截线的同侧；
“内”指在被截两条线之间。
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角。
两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角。
∠2与∠6是同旁内角；
∠1与∠5也是同旁内角。
“同旁内角”知识被选入初中一年级课本。
“同旁内角”呈U字形
二、定理
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
三、同旁内角的特征
截取出来的同旁内角呈"
ㄈ"
形（或反置）或C形或U形
平角
一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。
1平角=180度
平角不是一条直线，而是在一条直线上的两条射线。
应该这样理解：
任何“角”都是由两条有公共顶点的射线形成的，平角也不例外。
只不过形成平角的两条射线在一条直线上而已。
确切地说，平角是由处在同一直线上方向相反的两条射线构成的角，不能将直线和射线混为一谈
根据角的定义:
角是具有公共顶点的两条射线组成的图形。
即平角是一个点向相反的两个方向作射线,不能简单看作一条直线.
角的定义：
平角既然是角，它就应符合角的定义，也就是说，它也是由两条射线组成，只不过这两条射线的方向刚好相反。
实际上它仍然不是一条直线。
因为平角也有顶点，和其他角一样。
平角是由一点引出的两条射线组成的。
优角
大于平角（180）小于周角（360）的角，叫做优角。
[直角、锐角、钝角、优角、劣角]
平角的一半叫做直角，画图时用“┓”表示.直角是90°
.小于直角的角叫做锐角，锐角大于0°
小于90°
大于直角而小于平角的角叫做钝角，钝角大于90°
而小于180°
.小于平角的角叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角.大于平角小于周角的角叫做优角，优角大于180°
而小于360°
.
教学时：
（1）小学里一般只出锐角、直角、钝角、平角、周角等名称，这些都可以在量角的基础上来认识，先量出直角（90°
），然后引出其他的角.
（2）通过活动模型的演示和实际度量，使学生知道各种角的度数范围，各种角之间的关系，也可以用折纸的方法，让学生了解平角与直角以及周角与直角的关系
劣角
小于180°
即小于平角的角大于零度角的角叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角
数学公式
基本公式
（1）抛物线
y=ax^2+bx+c（a≠0）
就是y等于a乘以x的平方加上b乘以x再加上c
置于平面直角坐标系中
a>
0时开口向上
a<
0时开口向下
（a=0时为一元一次函数）
c>
0时函数图像与y轴正方向相交
c<
0时函数图像与y轴负方向相交
c=0时抛物线经过原点
b=0时抛物线对称轴为y轴
（当然a=0且b≠0时该函数为一次函数）
还有顶点公式y=a（x+h）*2+k,（h,k）=（-b/（2a）,（4ac-b^2）/（4a））
就是y等于a乘以（x+h）的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值和对称轴
抛物线标准方程:
y^2=2px
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为（p/2,0）准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
（2）圆
球体积=（4/3）π（r^3）
面积=π（r^2）
周长=2πr=πd
圆的标准方程（x-a）^2+（y-b）^2=r^2注：
（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：
D^2+E^2-4F>
0
（一）椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：
L=2πb+4（a-b）
椭圆周长定理：
椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：
S=πab
椭圆面积定理：
椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭球物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*π*高
（3）三角函数
和差角公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB；
sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA；
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB；
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB；
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）；
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）；
cot（A+B）=（cosAcotB-1）/（cosB+cotA）；
cot（A-B）=（cosAcotB+1）/（cosB-cotA）；
倍角公式
tan2A=2tanA/（1-tan^2A）；
cot2A=（cot^2A-1）/2cota；
cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a；
sin2A=2sinAcosA=2/（tanA+cotA）；
另：
sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0；
cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及
sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/2；
tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0；
四倍角公式：
sin4A=-4*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1））
cos4A=1+（-8*cosA^2+8*cosA^4）
tan4A=（4*tanA-4*tanA^3）/（1-6*tanA^2+tanA^4）
五倍角公式：
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*（5-10*tanA^2+tanA^4）/（1-10*tanA^2+5*tanA^4）
六倍角公式：
sin6A=2*（cosA*sinA）*（2*sinA+1）*（2*sinA-1）*（-3+4*sinA^2））
cos6A=（（-1+2*cosA^2）*（16*cosA^4-16*cosA^2+1））
tan6A=（-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5）/（-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6）
七倍角公式：
sin7A=-（sinA*（56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6））
cos7A=（cosA*（56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7））
tan7A=tanA*（-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6）/（-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6）
八倍角公式：
sin8A=-8*（cosA*sinA*（2*sinA^2-1）*（-8*sinA^2+8*sinA^4+1））
cos8A=1+（160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2）
tan8A=-8*tanA*（-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6）/（1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8）
九倍角公式：
sin9A=（sinA*（-3+4*sinA^2）*（64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3））
cos9A=（cosA*（-3+4*cosA^2）*（64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3））
tan9A=tanA*（9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8）/（1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8）
十倍角公式：
sin10A=2*（cosA*sinA*（4*sinA^2+2*sinA-1）*（4*sinA^2-2*sinA-1）*（-20*sinA^2+5+16*sinA^4））
cos10A=（（-1+2*cosA^2）*（256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1））
tan10A=-2*tanA*（5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8）/（-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10）
万能公式：
sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]
cosα=[1-tan^2（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]
tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]
半角公式
sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））
cot（A/2）=√（（
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