北师大版八年级数学下册教案1Word格式.docx
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(4)-24x3-12x2+28x
=-4x(6x2+3x-7)
1.写出下列多项式各项的公因式.
(1)ma+mb(m)
(2)4kx-8ky(4k)
(3)5y3+20y2(5y2)
(4)a2b-2ab2+ab(ab)
2.把下列各式分解因式
(1)8x-72=8(x-9)
(2)a2b-5ab=ab(a-5)
(3)4m3-6m2=2m2(2m-3)
(4)a2b-5ab+9b=b(a2-5a+9)
(5)-a2+ab-ac=-(a2-ab+ac)=-a(a-b+c)
(6)-2x3+4x2-2x=-(2x3-4x2+2x)=-2x(x2-2x+1)
四、课后作业
1.解:
(1)2x2-4x=2x(x-2);
(2)8m2n+2mn=2mn(4m+1);
(3)a2x2y-axy2=axy(ax-y);
(4)3x3-3x2-9x=3x(x2-x-3);
(5)-24x2y-12xy2+28y3
=-(24x2y+12xy2-28y3)
=-4y(6x2+3xy-7y2);
(6)-4a3b3+6a2b-2ab
=-(4a3b3-6a2b+2ab)
=-2ab(2a2b2-3a+1);
(7)-2x2-12xy2+8xy3
=-(2x2+12xy2-8xy3)
=-2x(x+6y2-4y3);
(8)-3ma3+6ma2-12ma
=-(3ma3-6ma2+12ma)
=-3ma(a2-2a+4);
2.利用因式分解进行计算
(1)121×
0.13+12.1×
0.9-12×
1.21
=12.1×
1.3+12.1×
0.9-1.2×
12.1
(1.3+0.9-1.2)
1=12.1
(2)2.34×
13.2+0.66×
13.2-26.4
=13.2×
(2.34+0.66-2)
1=13.2
(3)当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时
πR12+πR22+πR32
=π(R12+R22+R32)
=3.14×
(202+162+122)
=2512
2.2提公因式法
例1把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.
这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.
a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)
[例2]把下列各式分解因式:
(1)a(x-y)+b(y-x);
(2)6(m-n)3-12(n-m)2.
虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如y-x=-(x-y).(m-n)3与(n-m)2也是如此.
(1)a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b)
(2)6(m-n)3-12(n-m)2
=6(m-n)3-12[-(m-n)]2
=6(m-n)3-12(m-n)2
=6(m-n)2(m-n-2).
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:
(1)2-a=__________(a-2);
(2)y-x=__________(x-y);
(3)b+a=__________(a+b);
(4)(b-a)2=__________(a-b)2;
(5)-m-n=__________-(m+n);
(6)-s2+t2=__________(s2-t2).
(1)2-a=-(a-2);
(2)y-x=-(x-y);
(3)b+a=+(a+b);
(4)(b-a)2=+(a-b)2;
(5)-m-n=-(m+n);
(6)-s2+t2=-(s2-t2).
把下列各式分解因式:
(1)x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y);
(2)3a(x-y)-(x-y)
=(x-y)(3a-1);
(3)6(p+q)2-12(q+p)
=6(p+q)2-12(p+q)
=6(p+q)(p+q-2);
(4)a(m-2)+b(2-m)
=a(m-2)-b(m-2)
=(m-2)(a-b);
(5)2(y-x)2+3(x-y)
=2[-(x-y)]2+3(x-y)
=2(x-y)2+3(x-y)
=(x-y)(2x-2y+3);
(6)mn(m-n)-m(n-m)2
=mn(m-n)-m(m-n)2
=m(m-n)[n-(m-n)]
=m(m-n)(2n-m).
补充练习
把下列各式分解因式
1.5(x-y)3+10(y-x)2
=5(x-y)3+10(x-y)2
=5(x-y)2[(x-y)+2]
=5(x-y)2(x-y+2);
2.m(a-b)-n(b-a)
=m(a-b)+n(a-b)
=(a-b)(m+n);
3.m(m-n)+n(n-m)
=m(m-n)-n(m-n)
=(m-n)(m-n)=(m-n)2;
4.m(m-n)(p-q)-n(n-m)(p-q)
=m(m-n)(p-q)+n(m-n)(p-q)
=(m-n)(p-q)(m+n);
5.(b-a)2+a(a-b)+b(b-a)
=(b-a)2-a(b-a)+b(b-a)
=(b-a)[(b-a)-a+b]
=(b-a)(b-a-a+b)
=(b-a)(2b-2a)
=2(b-a)(b-a)
=2(b-a)2
2.3运用公式法
(一)
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义;
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解,提公因式法是分解因式的首先考虑的方法,再考虑用平方差公式分解因式.
1.请看乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)
左边是整式乘法,右边是一个多项式,把这个等式反过来就是
a2-b2=(a+b)(a-b)
(2)
左边是一个多项式,右边是整式的乘积.
利用平方差公式进行的因式分解.第
(1)个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式,第
(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
观察式子a2-b2,找出它的特点.
答:
是一个二项式,每项都可以化成整式的平方,整体来看是两个整式的平方差.
如果一个二项式,它能够化成两个整式的平方差,就可以用平方差公式分解因式,分解成两个整式的和与差的积.
如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).
9m2-4n2=(3m)2-(2n)2
=(3m+2n)(3m-2n)
3.例题讲解
[例1]把下列各式分解因式:
(1)25-16x2;
(2)9a2-b2.
(1)25-16x2=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x);
(2)9a2-b2=(3a)2-(b)2
=(3a+b)(3a-b).
(1)9(m+n)2-(m-n)2;
(2)2x3-8x.
(1)9(m+n)2-(m-n)2
=[3(m+n)]2-(m-n)2
=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
(2)2x3-8x=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2)
说明:
例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方,利用平方差公式分解因式;
例2的
(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差,然后用平方差公式分解因式,例2的
(2)是先提公因式,然后再用平方差公式分解因式,由此可知,当一个题中既要用提公因式法,又要用公式法分解因式时,首先要考虑提公因式法,再考虑公式法.
1.判断正误
(1)x2+y2=(x+y)(x-y);
(×
(2)x2-y2=(x+y)(x-y);
(√)
(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y);
(×
(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y).(×
(1)a2b2-m2
=(ab)2-m2
=(ab+m)(ab-m);
(2)(m-a)2-(n+b)2
=[(m-a)+(n+b)][(m-a)-(n+b)]
=(m-a+n+b)(m-a-n-b);
(3)x2-(a+b-c)2
=[x+(a+b-c)][x-(a+b-c)]
=(x+a+b-c)(x-a-b+c);
(4)-16x4+81y4
=(9y2)2-(4x2)2
=(9y2+4x2)(9y2-4x2)
=(9y2+4x2)(3y+2x)(3y-2x)
3.解:
S剩余=a2-4b2.
当a=3.6,b=0.8时,
S剩余=3.62-4×
0.82=3.62-1.62=5.2×
2=10.4(cm2)
剩余部分的面积为10.4cm2.
1.解:
(1)a2-81=(a+9)(a-9);
(2)36-x2=(6+x)(6-x);
(3)1-16b2=1-(4b)2=(1+4b)(1-4b);
(4)m2-9n2=(m+3n)(m-3n);
(5)0.25q2-121p2
=(0.5q+11p)(0.5q-11p);
(6)169x2-4y2=(13x+2y)(13x-2y);
(7)9a2p2-b2q2
=(3ap+bq)(3ap-bq);
(8)a2-x2y2=(a+xy)(a-xy);
2.解:
(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m(m+2n);
(2)49(a-b)2-16(a+b)2
=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2
=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-b)-4(a+b)]
=(7a-7b+4a+4b)(7a-7b-4a-4b)
=(11a-3b)(3a-11b);
(3)(2x+y)2-(x+2y)2
=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+y)-(x+2y)]
=(3x+3y)(x-y)
=3(x+y)(x-y);
(4)(x2+y2)-x2y2
=(x2+y2+xy)(x2+y2-xy);
(5)3ax2-3ay4=3a(x2-y4)
=3a(x+y2)(x-y2)
(6)p4-1=(p2+1)(p2-1)
=(p2+1)(p+1)(p-1).
S环形=πR2-πr2=π(R2-r2)
=π(R+r)(R-r)
当R=8.45,r=3.45,π=3.14时,
S环形=3.14×
(8.45+3.45)(8.45-3.45)=3.14×
11.9×
5=186.83(cm2)
两圆所围成的环形的面积为186.83cm2.
Ⅵ.活动与探究
把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式
(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc
=[a+(b+c)][bc+a(b+c)]-abc
=abc+a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2-abc
=a2(b+c)+bc(b+c)+a(b+c)2
=(b+c)[a2+bc+a(b+c)]
=(b+c)[a2+bc+ab+ac]
=(b+c)[a(a+b)+c(a+b)]
=(b+c)(a+b)(a+c)
运用公式法
(二)
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤,多方法的分解因式.
在前面我们不仅学习了平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
而且还学习了完全平方公式
(a±
b)2=a2±
2ab+b2
三、新课
判断一个多项式是否为完全平方式,要考虑三个条件,项数是三项;
其中有两项同号且能写成两个数或式的平方;
另一项是这两数或式乘积的2倍.
1.例题讲解
[例1]把下列完全平方式分解因式:
(1)x2+14x+49;
(2)(m+n)2-6(m+n)+9.
[师]分析:
大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式,然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.
(1)x2+14x+49=x2+2×
7x+72=(x+7)2
(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2·
(m+n)×
3+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.
[例2]把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2;
(2)-x2-4y2+4xy.
对一个三项式,如果发现它不能直接用完全平方公式分解时,要仔细观察它是否有公因式,若有公因式应先提取公因式,再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方,但符号不是“+”号时,可以先提取“-”号,然后再用完全平方公式分解因式.
(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2)-x2-4y2+4xy
=-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·
x·
2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
四、课堂练习
1.
(1)是完全平方式
x2-x+=x2-2·
+()2=(x-)2
(2)不是完全平方式,因为3ab不符合要求.
(3)是完全平方式
m2+3mn+9n2
=(m)2+2×
m×
3n+(3n)2
=(m+3n)2
(4)不是完全平方式
2.
(1)x2-12xy+36y2
=x2-2·
6y+(6y)2
=(x-6y)2;
(2)16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·
4a2·
3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2
(3)-2xy-x2-y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2;
(4)4-12(x-y)+9(x-y)2
=22-2×
2×
3(x-y)+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2
=(2-3x+3y)2
五、课后作业
1.
(1)x2y2-2xy+1=(xy-1)2;
(2)9-12t+4t2=(3-2t)2;
(3)y2+y+=(y+)2;
(4)25m2-80m+64=(5m-8)2;
(5)+xy+y2=(+y)2;
(6)a2b2-4ab+4=(ab-2)2
2.
(1)(x+y)2+6(x+y)+9
=[(x+y)+3]2
=(x+y+3)2;
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2
=[a-(b+c)]2
=(a-b-c)2;
(3)4xy2-4x2y-y3
=y(4xy-4x2-y2)
=-y(4x2-4xy+y2)
=-y(2x-y)2;
(4)-a+2a2-a3
=-(a-2a2+a3)
=-a(1-2a+a2)
=-a(1-a)2.
3.设两个奇数分别为x、x-2,得
x2-(x-2)2
=[x+(x-2)][x-(x-2)]
=(x+x-2)(x-x+2)
=2(2x-2)
=4(x-1)
第三章分式
3.1分式
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念,了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与制约关系.
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷?
这一问题中有哪些等量关系?
如果原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意,可得方程____________.
根据题意,我认为这个问题的等量关系是:
实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.
(1)
这个问题的等量关系也可以是:
原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.
(2)
在这个问题中,涉及到了三个基本量:
工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×
工作时间.
如果用第
(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢?
因为第
(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
原计划完成一期工程需个月,
实际完成一期工程需c个月,
根据等量关系
(1)可列出方程:
+4=.
用等量关系
(2)设未知数,列方程呢?
因为等量关系
(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x-4)个月,那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷,实际每月固沙造林公顷,根据题意可得方程.
同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现?
我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本量.如,,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母中含有字母,要求出它的解,好像很不容易.
像这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式.
(1)下列各式中,哪些是整式?
哪些是分式?
5x-7,3x2-1,,,-5,,,.
(2)①当a=1,2时,分别求分式的值.
②当a为何值时,分式有意义?
③当a为何值时,分式的值为零?
(1)中5x-7,3x2-1,,-5,是整式;
,是分式.
(2)解:
①当a=1时,==1;
当a=2时,==.
②当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
由分母2a=0,得a=0.
所以,当a取零以外的任何实数时,分式有意义.
③分式的值为零,包含两层意思:
首先分式有意义,其次,它的值为零.因此a的取值有两个要求:
所以,当a=-1时,分母不为零,分子为零,分式为零.
三、随堂练习
1.当x取什么值时,下列分式有意义?
(1);
(2);
(3)
当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
(1)由分母x-1=0,得x=1.
所以,当x取除1以外的任何实数时,分式都有意义.
(2)由分母x2-9=0,得x=±
3.
所以,当x取除3和-3以外的任何实数时,分式都有意义.
(3)由分母x2+1可知,x取任何实数时,x2是一个非负数,所以x2+1不管x取何实数时,x2+1都不会为零.即x取任何实数,都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起,可以调制成一种混合饮料,调制1kg这种混合饮料需多少甲种饮料?
根据题意,调制1kg这种混合饮料需kg甲种饮料.
3.2分式的乘除法
1.分式乘除法的运算法则,
2.会进行分式的乘除法的运算.
探索、交流——观察下列算式:
×
=,×
=,
÷
=×
=,÷
=.
猜一猜×
=?
÷
观察上面运算,可知:
两个分数相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分数相除,把除数的分子和分母颠倒位置后,再与被除数相乘.
即×
=;
这里字母a,b,c,d都是整数,但a,c,d不为零.
1.分式的乘除法法则
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
[例1]计算:
(1)·
;
(2)·
.
(1)将算式对照乘除法运算法则,进行运算;
(2)强调运算结果如不是最简分式时,一定要进行约分,使运算结果化为最简分式.
=
==;
==.
[例2]计算:
(1)3xy2÷
(2)÷
(1)将算式对照分式的除法运算法则,进行运算;
(2)当分子、分母是多项式时,一般应先分解因式,并在运算过程中约分,可以使运算简化,避免走弯路.
=3xy2·
==x2;
3.做一做
通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V=πR3(其中R为球的半径),那么
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少?
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
我们不妨设西瓜的半径为R,根据题意,可得:
(1)整个西瓜的体积为V1=πR3;
西瓜瓤的体积为V2=π(R-d)3.
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比为:
==
=()3=(1-)3.
(3)我认为买大西瓜合算.
由=(1-)3可知,R越大,即西瓜越大,的值越小,(1-)的值越大,(1-)3也越大,则的值也越大,即西瓜瓤占整个西瓜的体积比也越大,因此,买大西瓜更合算.
1.计算:
(2)(a2-a)÷
(3)÷
2.化简:
(1)÷
(2)(ab-b2)÷
1.
(1)·
===;
=(a2-a)×
==(a-1)2
=a2-2a+1
==(x-1)y=xy-y.
2.
(1)÷
=(x-2)(x+2)=x2-4