概率论模拟试题四套及答案Word下载.docx

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3、（11分）设总体X的概率密度函数为:

（x）=F，

10

X1,X2,…,Xn是取自总体X

求参数=的极大似然估计量三；

验证估计量？

是否是参数=的无偏估计

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是

3/10,1/5,1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会

迟到；

而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分

别是1/4,1/3,1/2。

现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？

2.（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5%o,假定有害物质含量X服从正态分布。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0.530%,0.542%,0.510%,0.495%,0.515%

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规

^定（-0.05）?

附表：

uo.975=1.96,U0.95=j65，to.975（4）=2・776,to.95（4）=2.132,to.975（5）=2.571,to.95（4）=2.015

四、

填空题（每空

1、0.8286,

2、

3、

五、

答案（模拟试题一）

3分，共45分）

2/3

c112c64112

126，

1/2,

5、p=

8/27

0.988

Ci626!

.

126；

F（x）=

1x"

-e,x兰0

2

1x

^-+-,0cx兰2,P{-0.5cX<

1}=

24

1,x>

1/3_,

16/27

6、D（2X-3Y）=

时，

7、当

X）=_3.96

Z=max（X,Y）的分布律:

3/27;

43.9,COV（2X-3Y,

&

胡勺矩估计量为:

Yd】］"

⑶；

2X。

[9.216,10.784]

y<

（x（.y）x（f；

y））,Y（y）*y

2）0,

[1

=4

I0,

45

3）E（2X_w23,3

显然，（x,y）「x（x）Y（y）,所以X与Y不独

立。

又因为EY=0,EXY=0,所以，COV（X,Y）=0,

因此X与Y不相关。

3、解1）L（Xi,X2」l（,Xn门）鬥〔.I

i=1

lnL（Xi,X2,川,xnJ）二-nlnr-号

今如h—nnx=0dvvv2

解出：

JX

2）；

eJeX=EX»

•现胡勺无偏估计量

六、应用题（20分）

3/10，1/5，1/10和2/5。

如果他乘飞机来，不会迟到；

而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4,1/3，1/2。

解：

设事件A1，A2,A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5,1/10和2/5,事件B表示“迟到”

已知概率P{BlA}，i=123,4分别等于1/4，1/3，1/2,

由概率判断他乘火车的可能性最大。

2.（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5%o,假定有害物质含量X服从正态分布N（a,：

2）。

现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

定C=0.05）?

解：

Ho：

a35（%o）,Hi：

a0.5

拒绝域为：

G-{5~5》t0.9（54）}

s

计算乂=0.51s8=4,0.018

^匕05辰2.2857沁095（4）,s7

所以，拒绝H0，说明有害物质含量超过了规定

U0.975"

96,U0.95=1.65,t°

.975（4）=2.776,t°

.95（4）=2.132,t°

.975（5）=2.571,t°

.95（4）=2.015

模拟试题二

一、填空题（45分，每空3分）

1设P（A）=0.5,P（B|A）=0.6,P（AB）=0.1,贝卩

P（B）=,

P（AB）=。

2.设A,B,C三事件相互独立，且P（A）=P（B）=P（C），若

P（A_B.C）=£

，则P（A）=。

3.设一批产品有12件，其中2件次品，10件

正品，现从这批产品中任取3件，若用x表示取出的3件产品中的次品件数，贝Ux的分布律为

4.设连续型随机变量x的分布函数为

F（x）二ABarctan（x）,xR

贝H（AB亨，X的密度函

数"

（X）=。

5.设随机变量X~U[-2,2]，则随机变量Y冷X啲密度函数

®

Y（y）=

6•设X,Y的分布律分别为

X

-1

1Y0

1

P

1/4

1/2

1/4p

且

P{XY=0}=0,

则（X,Y）

的联合分布律为

和P{XY=1}=。

7设（X,Y）〜N（0,25;

0,36;

0.4）,贝

cov（X,Y）=,D（3X-*Y+1）=

8・设（X!

X2,X3,X4）是总体N（0,4）的样本，则当a=,b=时，统计量

X=a（X!

-2X2）2b（3X3-4X4）2服从自由度为2的2分

布。

9.设（X.X2,川，X”）是总体N（a,；

；

2）的样本，则当常数k=时，乎“°

（Xj—X）2是参数二2的无偏估计量。

\=1

10.设由来自总体X~N（a,0.92）容量为9的样本，得样本均值x=5,则参数a的置信度为0.95的置信区间为

、计算题（27分）

1・（15分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

「1

（x,y）=8（xy）0*2'

°

亠2

0,其它

（1）求X与Y的边缘密度函数\（x）,Y（y）；

（2）判断X与Y是否独立？

为什么？

（3）求Z=XY的密度函数z（z）。

2.（12分）设总体X的密度函数为

（X）=0心

本，求

（1）

（2）的极

参数胡勺矩估计量角；

大似然估计量闵。

三、应用题与证明题（28分）

1.（12分）已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，

（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的

概率;

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。

2.（8分）设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩^=66.5分，标准差S=15分，问在显著性水平*=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。

3.（8分）设0：

P（A），：

1，证明：

A与B相互独立二P（B|A）=P（B|A）。

U0.95—-65,Uo.975二1*96,to.95（35）=匸6896,to.95（36）=匸6883,

to.975（35）=2.0301,to.975（36）=2.0281,

答案（模拟试题二）

、填空题（45分，每空3分）

1・P（B）=0.4,P（AB）=0.4

2・p（a）J

4

3.

x012

p6/119/221/22

4.

ii

（A"

”,

「（X）二

二（1X12）'

y[0,2]

厂[0,2]

5.Y（y）=2,

b

6.

3

P{XY=1}：

8.

a二

20

b=100

A

9・k=——；

10.（4.412,5.588）

n—1

⑴…汀

1・

x引0,2],吶=；

4（小），円°

，2]

X「[0,2]0,厂[0,2]

（2）不独立

12

-z2,0兰z兰2

8

（3）役（刁=出（4—z）,284

2.（12分）

八,，-be

（1）计算EX二xe^^dx-v10

根据矩估计思想，X=EX"

1

q=X“；

2）似然函

n

n尹勻x”

Xj3日

10,

L（X1」H,XnJ）二

显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到汕勺极大似然估计。

用分析的

方法。

因为I"

）,所以厂』

L（Xi,||（,XnC）—L（Xi,“|,Xn,X（i））

所以，当闵=X

（1）=min（X”川,X”）时，使得似然函数达最大。

极大似然估计为證。

（1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。

（1）设a表示“第一次从甲箱中任取3件,其中恰有i件次品”，（i=0,1,2,3）

设b表示"

第二次从乙箱任取一件为次

品”的事件;

21112'

31

C3C3C1C3C3C2C3C31

«

（I"

1■«

"

i■■|=—

c：

c6c；

c64

P（A>

|B）=P（AB）=0.6

P（B）

2.（8分）设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩*=66.5分，标准差$=15分，问在显著性水平-=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。

解:

H°

:

a=70（%o）,H「a*70

7。

={1花701辰沁o.（35）}…

根据条件*=66.,5$=15，计算并比较

x_70

一后=1.4v以75（35）=2.0301

所以，接受Ho，可以认为平均成绩为70分。

3・（8分）设0:

P（A）<

A与B相互独立二P（B|A）二P（B|A）。

证明：

因为P（B|A）=P（B|A）=P（AB）P（A）=P（AB）P（A）

=P（AB）[1_P（A）]二[P（B）_P（AB）]P（A）

=P（AB）=P（B）P（A）

A与B相互独立

模拟试题三

、填空题（每题3分，共42分）

1・设P（A）=0.3,P（A_.B）=0.8,若A与B互斥，则

若AB，则

P（B）=

A与B独立，贝VP（B）=

P（AB）=。

2•在电路中电压超过额定值的概率为pi，在

电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为P2，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为

3.设随机变量X的密度为3=4x,其它x1，则使

P{Xa}二P{X:

a}成立的常数a=

P{0.5:

X：

1.5}二

4.如果（X,Y）的联合分布律为

Y

1/18

若X与Y独立，：

5•设X~B（n,p）,且EX=2.4,DX=1.44,贝n=,

p=o

6•设X~N（a,c2）,则丫=号服从的分布

为o

7.测量铝的比重16次，得—2.705,s=0.029,设测

量结果服从正态分布N（a,：

2），参数a,：

2未知，则铝的比重a的置信度为95%的置信区间为。

二、（12分）设连续型随机变量X的密度为：

（x）=汀x0

Qx兰0

（1）求常数c；

（2）求分布函数F（x）；

（3）求丫=2X1的密度Y（y）

三、（15分）设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度为

（x,y）二0,

（1）求常数c；

0：

x：

1,0：

：

yx

（2）求X与Y的边缘密度

x（x）,丫⑼；

（3）问x与丫是否独立？

为什么?

四、（11分）设总体X的密度为

其中=-1是未知参数，（XnlH’Xn）是来自总体X的一个样本，求

（1）参数e的矩估计量氏；

（2）参数e的极大似然估计量闽；

五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9：

3：

2：

1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:

2:

3:

1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布N（a,：

"

），得到的10个测定值给出X=0.452,$=0.037，试问可否认为水份含量的■~方差;

2=0.04?

（:

=0.05）

益5（10）=3.94,逬。

25（10）=3.247,^（9^3.325,监。

5（9）=2.7,

2222

心.975（10）=20.483,厶.975（9）=19.023,厶鼻®

=18.307,尤阿⑼=16.919,

答案（模拟试题三）

、填空题（每题3分，共42分）

1.

0.5_:

2/7；

0・5。

P1P2.

OS汀乞「」1/3，:

-be-be

（x）dx=1=ce」dx=c=1

（3）

dx,

Y的分布函数

y乞1

£

1-e

0，

FY（y）=P{2X仆：

y}=P{X

2}

y1

_2

（1）1「

1xc

（x,y）dxdy=：

i00cdydx=2,

（5）

四、解:

InL⑺

（2）x（x）=

y（y）

X与Y不独立;

■XY（z）=

广x

“：

Ii'

2dy二2x,0：

x1

一（x,y）dy=0y

[0,其它

「（x,y）dx二

.（x,z-x）dx二

_oO

处。

2说|,

EY=°

2y（1-y）dy

3,

EX

dx=K）2哙

1x

y2dy=2（1—y）,0：

y"

22dy=z,0.z1

z/22dy=2-z,1：

z：

二12x3dxJ

02

2121

EY2二°

2y2（1-y）dx=6Dy+护

丄

18

EXY「°

°

2xydydx=4.

cov（X，丫）二EXY-EXEY=-

D（2<

-Y3=）

令EX=x

DX4DY9

x（r1）xFx二

解得^2X_1

1-X

12

43

n1

T~2,

L⑺刑即（Xjj）=（「i）n（[[xf

i=1

336

2XcY

3）

X:

1,i

1,2,...,n

二nln（v1）八InXj,

i=±

TnL「）=

五、解：

设A=｛某机床为车床｝,P（A）諾；

A2=｛某机床为钻床｝,P（A2*5；

A3=｛某机床为磨床｝,P（A3）=£

A4=｛某机床为刨床｝,卩（阳=吕；

B=｛需要修理｝,P（B|A）#,P（B|A）=7，P（B|A）冷,

P（B|A4^-

六、解：

Ho=2=O.O4,Hiu2=0.04

｛此理舟爲（门-1）｝或理二./2（n」）｝

0a0

计算得冲二"

1）°

0372“2738，查表得环0.04‘一PJ

雄025（9）=2.7>

0.2738

样本值落入拒绝域内，因此拒绝Ho。

雄05（10）=3.94,忑025（10）=3.247,^（9^3.325,益.。

模拟试题四（概率论）

1、设A、B为随机事件，P（B）=0.8,P（B—A）=0.2,

则A与B中至少有一个不发生的概率

为—；

当A与B独立

时

P（B（A_B））。

_

2、..椐以往资料表明一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：

P孩子得病=

0.6，p母亲得病孩子得病=0.5，

p父亲得病母亲及孩子得病=0.4,

之家患这种传染病的概率为—

3、设离散型随机变量x的分布律

k

P（X=k）=a・（k=0,1,2,...）,贝ya=，

k!

P（X<

1）=。

4、若连续型随机变量x的分布函

0,X兰—3

数为F（x）={A+Barcsin—,-3£

x兰3

I3

1,x3

则常数A=，

B=，密度函数

（x）=

5、已知连续型随机变量x的密度函数为

E（4X-1）二

EX2=

PX-1：

2二

6、设X〜U[1,3],丫〜P

（2），且X与丫独立，则

D（X-Y-3））=。

7、设随机变量X,Y相互独立，同服从参数

为分布（0）的指数分布，令

U=2XY,V=2X-Y的相关系数。

则

COV（U,V）=,

P—

-U,V_o

（注:

J（1H0.8143"

（0.5）=0.6915）

二、计算题（34分）

1、（18分）设连续型随机变量（X，Y）的密

度函数为

（1）求边缘密度函数x（x）,Y（y）；

（2）判断X与Y的独立性；

（3）计算COV（X,Y）；

（3）求Z二max（X,Y）的密度函数z（z）

2、（16分）设随机变量x与y相互独立，且同分布于B（1,P）（0：

P:

1）。

令

Z=1,若XY为偶数。

10,若X+Y为奇数

（1）求Z的分布律；

（2）求（X，Z）的联合分布律；

（3）问p取何值时X与Z独立？

为什么？

三、应用题（24分）

1、（12分）假设一部机器在一天内发生故

障的概率是0.2。

若一周5个工作日内无故障则可获10万元；

若仅有1天故障则仍可获利5万元；

若仅有两天发生故障可获利0万元;

若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。

求一周内的期望利润。

2、（12分）将a、b、c三个字母之一输入信

道，输出为原字母的概率为0.8,而输出为其它一字母的概率都为0.1。

今将字母AAAA，

BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为0.5,0.4,0.1。

已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？

（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

答案（模拟试题四）

1、0.4;

0.8421。

2、0.12。

3、e2,4e"

。

-——1,-3cx£

3

4、1/2,ILL,®

（x）=5i9—x2

0,其他

5、3,5,0.6286。

6、2.333。

7、3/'

2,u、/=3/5。

、计算题（30分）

1、解（18分）

2、解

（1）求z的分布律;

P（Z=0）=P（X=0,Y=1）P（X=1,Y=0）=2pq

（2）（X,Z）的联合分布律:

XX

10

2pq

q

p

2严2

p+q

（3）当p"

5时，X与Z独立

1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。

若一周5个工作日内无故障则可获10万元；

若仅有1天故障则仍可获利5万元；

若仅有两天发生故障可获利0万元；

若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。

求一周内的期望利润。

（5.216万元）

设x表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X〜B（5,0.2），分布律为：

P（X二k）二C：

0.2k0.85°

k二0,1，…,5

设Y（万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，丫的分布律

”10,X=O,P（X=0）=0.328

5,X=1,P（X=1）=0.410

Y=f（X）=