排列组合例题整理Word格式文档下载.docx
《排列组合例题整理Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《排列组合例题整理Word格式文档下载.docx(11页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
因此共有6种排法。
如果我们把这个题目改一改,变成
例3黄、白、蓝三个球,任意取出两个,对这两个球从左到右顺次排序,有几种排法?
解答
这仍然属于排列问题,只不过r变成了2。
在这里,总共的元素个数是3,所以n=3,从所有元素中取出2个进行排列,所以r=2。
P(3,2)=
(计算的时候注意1!
因此还是有6种排法。
下面我们这个题目再变一下
例4黄、白、蓝三个球,任意取出两个,有几种取法?
假设我们第一次取出黄球,第二次取出白球,或者第一次取出白球,第二次取出黄球,可以发现虽然顺序不同,但都是同一种取法,即(黄,白)和(白,黄)是同一种取法。
由于和取出的球的排列位置无关,因此这属于组合问题。
组合公式的定义如下
也可写成C(n,r)其中n表示总共的元素个数,r表示进行组合的元素个数,!
C(5,3)=
另外,为便于计算,还有个公式请记住
例如C(6,2)=C(6,4)
在例4里,总共的元素个数是3,所以n=3,从所有元素中任意取出2个进行组合,所以r=2。
C(3,2)=
因此有3种取法。
基础知识讲完后,我们进行一次随堂模拟考试,下面是公考中曾经出现过的题目
考试题1.
林辉在自助餐店就餐,他准备挑选三种肉类的一种肉类,四种蔬菜中的二种不同蔬菜,以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少不同选择方法?
这里涉及到了解答排列组合问题中常用到一种方法:
分步法。
即把完成一件事情的过程分成几步,每一步的可供选择的方案数相乘就是总的可供选择的方案数。
例如完成一件事情需要两步,第一步有2种选择,第二步有3种选择,如果不考虑完成顺序(即先完成第一步再完成第二步,或先完成第二步再完成第一步效果一样),则总的选择数为2乘3等于6。
本题中,就餐分成三步,第一步挑选肉类,第二步挑选蔬菜,第三步挑选点心。
在每一步的挑选中,由于挑选的物品是同一种类(例如从四种蔬菜中挑选两种,虽然种类不同,但挑出的仍然是蔬菜,与挑选时的顺序无关),所以每一步的挑选是组合问题。
第一步的选择数为C(3,1)=
,
第二步的选择数为C(4,2)=
第三步的选择数为C(4,1)=
由于不考虑挑选食物的顺序,所以总共有
种
考试题2.
将五封信投入3个邮筒,不同的投法共有()
这个题也采用分步法。
分成五步,第一步将第一封信投入邮筒,第二步将第二封信投入邮筒,……第五步将第五封信投入邮筒。
在每一步中,每一封信都有三个邮筒的选择,即可选择数是3。
由于结果与五封信的投递次序无关,所以共有
考试题3:
从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
这个题和例题1有相似处,但要注意队与队之间的区别只与组成队员有关,而与队员的排列顺序无关。
例如,1,2,3,4,5,6号队员组成一队,不论他们怎么排列,123456和654321仍然是同一只队。
因为和位置无关,所以这是组合问题。
总共的元素个数是9,所以n=9,从所有元素中任意取出6个元素进行组合,所以r=6。
C(9,6)=
因此有84种取法。
考试时只要求知道计算公式C(9,6),不要求具体计算)
员行测排列组合问题的七大解题策略
2009年11月19日10:
13
中公教育
邹继阳
排列组合问题是历年公务员考试行测的必考题型,并且随着近年公务员考试越来越热门,国考中这部分题型的难度也在逐渐的加大,解题方法也趋于多样化。
解答排列组合问题,必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题;
同时要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,还要注意讲究一些策略和方法技巧。
一、排列和组合的概念
排列:
从n个不同元素中,任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
组合:
从n个不同元素种取出m个元素拼成一组,称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。
二、七大解题策略
1.特殊优先法
特殊元素,优先处理;
特殊位置,优先考虑。
对于有附加条件的排列组合问题,一般采用:
先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置。
例:
从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则不同的选派方案共有()
(A)280种(B)240种(C)180种(D)96种
正确答案:
【B】
解析:
由于甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,所以翻译工作就是“特殊”位置,因此翻译工作从剩下的四名志愿者中任选一人有C(4,1)=4种不同的选法,再从其余的5人中任选3人从事导游、导购、保洁三项不同的工作有A(5,3)=60种不同的选法,所以不同的选派方案共有C(4,1)×
A(5,3)=240种,所以选B。
A(5,3)=5×
4×
3=60
2.科学分类法
问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先元素(即组合)后排列。
对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生。
同时明确分类后的各种情况符合加法原理,要做相加运算。
某单位邀请10为教师中的6为参加一个会议,其中甲,乙两位不能同时参加,则邀请的不同方法有()种。
A.84B.98C.112D.140
正确答案【D】
按要求:
甲、乙不能同时参加分成以下几类:
a。
甲参加,乙不参加,那么从剩下的8位教师中选出5位,有C(8,5)=56种;
b。
乙参加,甲不参加,同(a)有56种;
c。
甲、乙都不参加,那么从剩下的8位教师中选出6位,有C(8,6)=28种。
故共有56+56+28=140种。
3.间接法
即部分符合条件排除法,采用正难则反,等价转换的策略。
为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数。
从6名男生,5名女生中任选4人参加竞赛,要求男女至少各1名,有多少种不同的选法?
A.240B.310C.720D.1080
正确答案【B】
此题从正面考虑的话情况比较多,如果采用间接法,男女至少各一人的反面就是分别只选男生或者女生,这样就可以变化成C(11,4)-C(6,4)-C(5,4)=310。
4.捆绑法
所谓捆绑法,指在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先整体考虑,将相邻元素视作一个整体参与排序,然后再单独考虑这个整体内部各元素间顺序。
注意:
其首要特点是相邻,其次捆绑法一般都应用在不同物体的排序问题中。
5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?
A.4240B.4320C.4450D.4480
采用捆绑法,把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有A(6,6)=6x5x4x3x2种,然后3个女生内部再进行排列,有A(3,3)=6种,两次是分步完成的,应采用乘法,所以排法共有:
A(6,6)×
A(3,3)=4320(种)。
5.插空法
所谓插空法,指在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置。
注意:
a。
首要特点是不邻,其次是插空法一般应用在排序问题中。
将要求不相邻元素插入排好元素时,要注释是否能够插入两端位置。
对于捆绑法和插空法的区别,可简单记为“相邻问题捆绑法,不邻问题插空法”。
若有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队,要求甲和乙两个人必须不站在一起,且甲和乙不能站在两端,则有多少排队方法?
A.9B.12C.15D.20
先排好丙、丁、戊三个人,然后将甲、乙插到丙、丁、戊所形成的两个空中,因为甲、乙不站两端,所以只有两个空可选,方法总数为A(3,3)×
A(2,2)=12种。
6.插板法
所谓插板法,指在解决若干相同元素分组,要求每组至少一个元素时,采用将比所需分组数目少1的板插入元素之间形成分组的解题策略。
其首要特点是元素相同,其次是每组至少含有一个元素,一般用于组合问题中。
现有8个完全相同的篮球全部分给3个班级,每班至少1个球,问共有多少种不同的分法?
A.28B.21C.32D.48
解决这道问题只需要将8个篮球分成三组,然后依次将每一组分别分给一个班级即可。
因此问题只需要把8个篮球分成三组即可,于是可以将8个篮球排成一排,然后用两个板插到8个篮球所形成的空里,即可顺利的把8个篮球分成三组。
因为每个班级至少分得一个篮球,因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端,于是其放板的方法数是C(7,2)=21(种)。
7.选“一”法,类似除法
对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。
这里的“选一”是说:
和所求“相似”的排列方法有很多,我们只取其中的一种。
五人排队甲在乙前面的排法有几种?
A.60B.120C.150D.180
正确答案【A】
五个人的安排方式有5!
=120种,其中包括甲在乙前面和甲在乙后面两种情形(这里没有提到甲乙相邻不相邻,可以不去考虑),题目要求之前甲在乙前面一种情况,所以答案是A(5,5)÷
A(2,2)=60种。
以上方法是解决排列组合问题经常用的,注意理解掌握。
最后,行测中数量关系的题目部分难度比较大,答题耗时比较多,希望考试调整好答题的心态和答题顺序,在备考过程中掌握好技巧和方法,提高答题的效率。
行测的五大模块有:
常识判断、言语理解、数量关系、判断推理、资料分析中,数量关系有其特殊性,就是因为需要一些数学基础。
这和其他四个模块不一样,对于其他四个模块,即使题目做错了,但至少拿到题目能动笔,华图公务员考试研究中心的专家在教学中发现,数量关系中有的题目考生完全不知道如何下手,特别是数学基础稍差的同学。
而数学题型中,排列组合、容斥问题等无疑是相对来说最需要数学基础的部分了。
首先,排列组合涉及到排列跟组合,也涉及到加法原理和乘法原理。
排列和组合之间有关系:
与顺序有关用排列,也就是A,与顺序无关用组合,即C;
加法原理和乘法原理之间也有关系:
分类用加法,分步用乘法。
但加法原理、乘法原理和排列、组合之间没有关系,很多人觉得排列组合问题很难就是弄混了这一点。
下面我们来详细讲解。
举个例子:
一个人从武汉到北京有3种交通工具可以选:
飞机、火车、汽车,假设飞机有3种班次可以选,火车有3种班次可以选,汽车有2种班可以选,那么从武汉到北京共有多少选选择?
答案应该是3+3+2=8种。
因为这是在分类,将从武汉去北京的方式分为3类,选了其中一个就不能再选第2个,所以用加法原理;
再举个例子:
一个人从武汉坐火车去北京,由于没有直达,只能从南京转,即要先从武汉去南京,再从南京去北京,其中从武汉到南京有3种选择,从南京到北京有2种选择,则从武汉经过南京到北京有多少种选择?
答案是3X2=6种。
因为这是在分步,将从武汉到北京的过程分2步,第一步从武汉去南京,第二步从南京去北京,所以整体上是分步,用乘法原理。
林辉在自助餐厅就餐,他准备挑选三种肉类中的一种肉类,四种蔬菜中的两种不同蔬菜,以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少种不同的选择方法?
()
A.4B.24C.72D.144
这个题目整体上来说是在分步,将林辉挑选食物分为3步:
第一步挑肉,第二步挑蔬菜,第三步挑点心。
所以整体上是在分步,用乘法原理。
其中第一步挑肉,从四种肉种选一个,有4种选法;
第二步挑蔬菜,从四种蔬菜里挑两种,有4x3/(2x1)=6种选法;
第三步挑点心,从4种点心种选一个,有4种选法。
整体上用乘法原理,所以共有4x6x3=72种选法,选C
例2:
有颜色不同的四盏灯,每次使用一盏、两盏、三盏或四盏,并按一定的次序挂在灯杆上表示信号,问共可表示多少种不同的信号?
A.24种B.48种C.64种D.72种
这个题目整体上来说是在分类,将用等表示信号分为四类:
1、用一盏灯表示信号;
2、用两盏灯表示信号;
3、用三盏灯表示信号;
4、用四盏灯表示信号。
其中用一盏灯表示信号即从四盏灯里选一盏灯并排序,有四种信号;
用两盏灯表示信号即从四盏灯中选两盏出来并排序,有4×
3=12种信号;
用三盏灯表示信号即从四盏灯中选三盏灯出来并排序,有4×
3×
2=24种方法;
用四盏灯表示信号即从四盏灯中选四盏灯出来并排序,有4×
2×
1=24种方法。
整体上来说是分类用加法原理,所以共有4+12+24+24=64种信号,选C。
总的来说,排列组合问题虽然很难,但只要分清楚什么时候是分类什么时候是分步,并算清楚每一类或每一步的方法数(此时往往是用排列或者组合,注意是否与顺序有关),如果是分类再把每一类的方法数加起来,如果是分步就把每一步的方法数撑起来。
遵循这样的解题思路,才能更准确的解决排列组合这一较难的专题。
排列组合问题是公务员考试当中必考题型,题量一般在一到两道,近年国考这部分题型的难度逐渐在加大,解题方法也越来越多样化,所以在掌握了基本方法原理的基础上,还要求我们熟悉主要解题思想。
那首先什么排列、组合呢?
解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。
下面介绍几种常用的解题方法和策略。
解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。
下面通过例题逐个掌握:
一、相邻问题---捆绑法
不邻问题---插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
【例题1】一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?
A.20
B.12
C.6
D.4
【答案】A。
【解析】首先,从题中之3个节目固定,固有四个空。
所以一、两个新节目相邻的的时候:
把它们捆在一起,看成一个节目,此时注意:
捆在一起的这两个节目本身也有顺序,所以有:
C(4,1)×
2=4×
2=8种方法。
二、两个节目不相邻的时候:
此时将两个节目直接插空有:
A(4,2)=12种方法。
综上所述,共有12+8=20种。
二、插板法
一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。
【例题2】把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?
A.190
B.171
C.153
D.19
【答案】B。
【解析】此题的想法即是插板思想:
在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有:
C(19,17)=C(19,2)=171种。
三、特殊位置和特殊元素优先法
对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。
【例题2】从6名运动员中选4人参加4×
100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种?
A.120
B.240
C.180
D.60
【解析】方法一:
特殊位置优先法:
首先填充第一棒,第一棒共有5个元素可供选择,其次第4棒则有4个元素可以选择;
然后第2棒则有4个元素可以选择,第3棒则有3个元素可以选择。
则共有5×
3=240种。
方法二:
特殊元素优先法:
首先考虑甲元素的位置
第一类,甲不参赛有A(5,4)=120种排法;
第二类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有2种排法;
其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法,故有2×
60=120种方案。
所以有120+120=240种参赛方案。
四、逆向考虑法
对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题,我们就要学会间接的方法。
正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?
A.70
B.64
C.61
D.58
【答案】D。
【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,共C(8,4)-12=70-12=58个。
五、分类法
解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。
【例题3】五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有
A.120种
B.96种
C.78种
D.72种
【答案】C。
【解析】由题意可先安排甲,并按其分类讨论:
1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有A(4,4)=24种排法;
2)若甲在第二,三,四位上,则有3×
1=54种排法,由分类计数原理,排法共有24+54=78种,选C。
专家点评:
解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。
解决一道排列、组合提的方法很多,但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。
这就要求我们准确掌握各种解题方法,能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。
下面我们为考生准备5道习题,请考生们注意选择最合适的解题方法。
1、丙丁四个人站成一排,已知:
甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?
A.6
B.12
C.9
D.24
2、马路上有编号为l,2,3,……,10十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?
A.60
B.20
C.36
D.45
3、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,可组成多少个不同的四位数?
A.300
B.360
C.120
D.240
4、10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?
A.45
B.36
C.9
D.30
5、六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数?
C.124
D.136
1、【解答】C。
能站在第一位,因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。
如果甲站在第二位,则共有三种可能:
乙甲丁丙,丙甲丁乙,丁甲丙乙
如果甲站在第三位,则共有三种可能,乙丁甲丙,丙丁甲乙,丁丙甲乙
如果甲站在第四位,则共有三种可能,乙丙丁甲,丙丁乙甲,丁丙乙甲
因此一共有9种可能
2、【解答】B。
关掉的灯不能相邻,也不能在两端。
又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。
所以共C(6,3)=20种方法。
3、【解答】A。
排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个
4、【解答】B。
把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。
因而共C(9,7)=36种。
5、【解答】D。
先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。
第一类:
乙在排头,有A(5,5)种站法。
第二类:
乙不在排头,当然他也不能在排尾,有C(4,1)×
(4,1)×
(4,4)种站法,故共有136种站法。