江苏省南京市盐城市届高三第二次模拟考试数学试题含附加题图片版答案有解析Word文档下载推荐.docx

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【点评】考察排列组合与概率，属于简单题。

6.等差数列{an}中，a4=10，前12项的和S12=90，则a18的值为.

【答案】-4

【解析】S12=（a4+a9）⨯6⇒a9=5⇒d=-1⇒a18=-4

【点评】考察等差数列，属于简单题。

2=x2-y2=>

7.在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y4x与双曲线

1（b

0）的一个

交点，若抛物线的焦点为F,且FA=5,则双曲线的渐近线方程为.

【答案】y=±

233x

【解析】做A到准线的垂线段AH，易得AH=AF=5，可求得A点坐标（4,4）或（4,-4），

将坐标代入双曲线方程可求得b2及渐近线方程。

【点评】考察抛物线性质与双曲线的渐近线，属于简单题

8.若函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）（ω>

0,0<

ϕ<

π）的图像经过点⎛π，2⎫，且相邻两条对称轴的距

离为π，则f⎛π⎫的值为.

⎪

⎝6⎭

2⎝4⎭

【答案】

【解析】由T=π，求得ω=2，再代入点⎛π,2⎫的坐标，求得ϕ=π，得解。

22ç

6⎪6

⎝⎭

【点评】考察三角函数平移变换，属于基础题型。

9.已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为.

【答案】4+4

【解析】设棱长为l，高为h，正四棱锥中，l=，所以l=2，

则S=4⋅1⋅22⋅sinπ+4=43+4

【点评】考察正四棱锥棱长与高的关系，及表面积公式，属于基础题

10.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-5x，则不等式

f（x-1）>

f（x）的解集为

（-2,3）

【解析】由题意，得f（x）在（-55

上单调减，在（-5,0）上关于x=-5对称，在（0,5）上关

于x=5对称，所以-3<

x-1<

2，则-2<

【点评】考察函数的奇偶性，单调性，需要结合图像进行求解

11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1,0），B（5,0）.若圆M:

（x-4）2+（y-m）2=4上存在唯一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为▲.

【答案】±

或±

【解析】设点P（x0,y0），则PA:

x+1

（x+1），在y轴截距为

，同理得PB在y轴截

距为-

5y0

，由截距之积为5，得（x

-2）2+y2=9，由题意P的轨迹应与圆M恰有一个交

x0-5

点，若A、B不在圆M上，所以圆心距等于半径之和或差，

=5，解得m=；

或=1，无解；

若若A、B在圆M上，解得m=

，经检验成立。

【点评】考察隐形圆，圆与圆之间的位置关系，难度中等

12.已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足

（PB+PC）∙AD=42.若AD=，则PB∙PC的值为▲.

【答案】2

【解析】取BC中点为E，PB+PC

，所以PE⋅AD=PD⋅AD=22，所以PD=2，

222

PB⋅PC=（PD+DB）（PD+DC）=PD+DB⋅DC=PD-AD=2

【点评】考察向量的平行四边形法则，数量积的投影法，直角三角形斜边上的高与斜边两部分乘积的关系

13.已知函数f（x）=⎧⎪x+3,x≤0

⎩

.设g（x）=kx+1，且函数y=f（x）-g（x）的图像经过四

个象限，则实数k的取值范围为▲.

【答案】k∈⎛-9,1⎫

⎝3⎭

【考点】函数的图像，数形结合思想，切线问题。

【解析】可根据函数解析式画出函数图像，f（x）=x3-12x+3,x>

0,f'

（x）=3x2-12,可知

f（x）在区间（0,2）单调递减，（2，+∞）单调递增，且f

（2）<

0，g（x）=kx+1恒过（0,1），若要使

y=f（x）-g（x）经过四个象限，由图可知只需f（x）与g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）分别有交点即可；

0时，在（-∞，0）区间内，需满足k∈⎛0,1⎫；

0时，在（0，+∞）内，只需求过定点（0,1）在函数图像的切线即可，经计算可知此时

k∈（-9,0）；

k=0符合题意；

综上可知，k∈⎛-9,1⎫

14.在∆ABC中，若sinC=2cosAcosB，则cos2A+cos2B的最大值为▲.

【答案】2+1

sinC=2cosAcosB，sin（A+B）=2cosAcosB

sinAcosB+cosAsinB=2cosAcosB

tanA+tanB=2

22cos2Acos2B11

cos

A+cos

sin2A+

cos2

Asin

2B+cos2B=

tan2

A+1tan2

B+1

tan2A+tan2B+2（tanA+tanB）2-2tanAtanB+2

=（tanAtanB）2+tan2A+tan2B+1（tanAtanB）2+（tanA+tanB）2-2tanAtanB+1

=6-2tanAtanB

（tanAtanB）2-2tanAtanB+5

分母（tanAtanB）2-2tanAtanB+5>

0，令6-2tanAtanB=t（t>

0）

cos2A+cos2B=

t2-8t+32

=4≤

t+32-8

2+1（当且仅当“t=42”时取等）

【点评】本题属于综合题，涉及知识点较多，包括三角恒等式，同角三角函数关系，基本不等式，常见的1的转化，配方法和换元法等，较难。

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.

15.（本小题满分14分）

设向量a=（cosα,λsinα），b=（cosβ,sinβ），其中λ>

0，0<

α<

β<

π，且a+b与a-b互

相垂直.

（1）求实数λ的值；

（2）若a∙b=4，且tanβ=2，求tanα的值.

【解析】解：

（1）

Q（a+b）⊥（a-b）

∴（a+b）g（a-b）=0,a-b=0,

∴cos2α+λ2sin2α-（cos2β+sin2β）=0,cos2α+λ2sin2α-1=0,

λ2sin2α+（cos2α-1）=0,

λ2sin2α-sin2α=0,

（λ2-1）sin2α=0,

Q0<

π,∴sinα≠0,∴λ2-1=0,2

∴λ=±

Qλ>

0,∴λ=1

（2）λ=1时，a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），

agb=cosαcosβ+sinαsinβ=co（s

α-β）=4

∴-<

α-β<

∴sin（α-β）=-

1-cos（2

α-β）=-

=-3

∴tan（α-β）=sin（α-β）-3

co（sα-β）4

-3+2

∴tanα=tan（α-β+β）=tan（α-β）+tanβ

=4=1

1-tan（α-β）tanβ

1-（-3）+22

【点评】

（1）考察向量垂直的坐标运算，

（2）考察向量数量积的坐标公式、三角恒等变换、同角三角函数关系。

属于简单题。

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中ABC-A1B1C1，AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1和BC的中点.

求证：

（1）DE//平面ACC1A1；

（2）AE⊥平面BCC1B1.

【解析】证明：

（1）连接A1B，

由于三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为平行四边形，

∴A1B与AB1互相平分又∵D是AB1的中点

∴A1B经过点D,且点D是A1B的中点.

∵点E是BC的中点

∴DE是三角形A1BC的中位线

∴DE∥A1C

∵DE∥A1C,DE⊄平面ACC1A1,A1C⊂平面ACC1A1

∴DE∥平面ACC1A1

（2）∵AB=AC,E是BC中点

∴AE⊥BC

∵DE∥A1C,A1C⊥BC1

∴DE⊥BC1

∵DE⊥BC1,AB1⊥BC1,DEIAB1=D,DE⊂平面AEB1,AB1⊂平面AEB1

∴BC1⊥平面AEB1

∵AE⊂平面AEB1

∴AE⊥BC1

∵AE⊥BC1,AE⊥BC,BCIBC1=B,BC,BC1⊂平面BCC1B1

∴AE⊥平面BCC1B1

【点评】本题主要考查立体几何中直线与平面平行，直线与平面垂直的知识点.第一题利用中位线证明线线平行得到线面平行即可.第二题关键在于通过线面垂直得到线线垂直，再证明线面垂直。

对于学生空间立体几何想象能力要求较高.

17.（本小题满分14分）

某公园有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余生活，现提出如下设计方案：

如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A,

B分别在圆周上；

观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP=AB=BQ，

∠PAB=∠QBA=120︒，且AB,PQ在点O的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一

个观众到舞台O处的距离都不超过60米，设∠OAB=α，α∈⎛0,π⎫，问：

对于任意α，

3⎪

上述设计方案是否均能符合要求？

过O向AB,PQ作垂线，垂足分别为D,F，过A向PQ作垂线，垂足为E

∠OAB=α，α∈⎛0π⎫，OA=20，所以OD=20sinα,AD=20cosα,AB=40cosα

，⎪

所以AP=AB=40cosα，因为∠BAP=120︒，所以∠PAE=30︒

在RT△PAE中，AP=40cosα,∠PAE=30︒，所以PE=20cosα，AE=DF=203cosα

所以OF=OD+DF=20sinα+203cosα，PF=PE+EF=40cosα

所以PO2=PF2+OF2=（40cosα）2+（20sinα+203cosα）2⎛0＜α＜π⎫

=1600cos2α+400sin2α+8003sinαcosα+1200cos2α

=400ç

⋅cos2α+1+1-cos2α+

3sin2α⎫=400（4+3cos2α+

3sin2α）

⎝22⎭

=1600+8003sin⎛π+2α⎫⎛0＜α＜π⎫

⎪ç

⎝3⎭⎝3⎭

当α=π

，PO2有最大值为1600+8003，因为1600+8003＜3600，所以PO＜60恒成立

答：

对于任意α，上述方案均是符合要求。

【点评】本题主要考察圆的垂径定理以及等腰梯形的几何性质，运用三角和差化简以及二倍角进行求最值，难度适中。

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:

xy1（a>

0）的离心率为

，且椭

ab2

圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设经过点P（1,2）的直线l交椭圆C于A,B两点，点Q（m,0）.

①若对于任意直线l总存在点Q，使得QA=QB，求实数m的取值范围；

②设点F为椭圆C的左焦点，若点Q为∆FAB的外心，求实数m的值。

【解析】

（1）∵离心率e=c=

2，椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于，

∴b2+c2=

（2）2，即a=2，

∴c=1，b2=a2-c2=1.

x22

∴椭圆C的方程为+y

=1.

（2）①设点A（x1,y1）,B（x2,y2），线段AB的中点为E（x0,y0），

∵直线l经过点P（2,0），

∴设直线l的方程为y=k（x-2），

⎧y=k（x-2）,

⎪2222

联立⎨x2

⎪

⎩2

+y2=1,

可得（1+2k）x

-2=0，

∵直线l与椭圆C有两个交点，可得∆=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）=-16k2+8>

0，

∴0≤k2<

∴0≤m<

8k2

∴x1+x2=1+2k2，

∴x=x1+x2=

4k2

，y0=k（x0-2）=

-2k，

021+2k21+2k2

⎛4k2-2k⎫

⎝

∴线段AB中点E的坐标为

，

2k21+2k

2⎪，

⎭

当k≠0时，

2k1⎛4k2⎫

线段AB的中垂线方程为y+1+2k2=-kç

x-1+2k2⎪，

令y=0，则可得x=

2k2

1+2k2

∵QA=QB,Q（m,0），

∴m=1+2k2=1-

⎛01⎫

，且0<

故m的取值范围是ç

，⎪.

2⎭

当k=0时，Q点坐标为（0,0），即m=0

⎢，⎪

综上可得：

m的范围为⎡01⎫

②由①令x1=

⎣

，∴y1=

⎛2k2⎫

又Qç

1+2k2,0⎪，

∵Q为△FAB的外心，

∴QA=QF

∴

=2k2

+1，

整理，得16k4+6k2-1=0，

解得k2=1

或k2=-1（舍）

2k21

此时m=1+2k2=5.

【点评】本题考查直线与椭圆的综合性质，本题难度适中，计算量较大。

第

（1）问很简单，利用离心率和短轴的一个顶点到一个焦点的距离直接求出；

第

（2）①中，点Q为AB的中

垂线与x轴的交点，先求出AB的中垂线的方程，进而求出点Q的坐标，根据判别式大于0，解出m的取值范围；

②Q为△FAB的外心，QA=QF，可解出.

19.（本小题满分16分）

已知f（x）=lnx-

2x-2

x-1+2a

（1）当a=2时，求函数f（x）在图像x=1处的切线方程；

（2）若对任意x∈[1,+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；

（3）若f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求a的取值范围.

（1）a=2，f（x）=lnx-

x-1+4

=lnx-2x-2，

x+3

则f'

（x）=1-2（x+3）-（2x-2）=1-8，f'

（1）=1-8=1

x（x+3）2

162

又f

（1）=0-0=0，则函数f（x）图像在x=1处的切线方程为y-0=1（x-1），即

y=1x-1。

（2）由题知f'

（x）=1-

2（x-1+2a）-（2x-2）

（x-1+2a）2

，化简得f'

（x）=

（x-1）2+4a2-4a

x（x-1+2a）2

又因为f

（1）=0，要使f（x）≥0恒成立，即使得f（x）≥f

（1）。

①若4a2-4a≥0，即a≤0或a≥1时，f'

（x）≥0在区间[1,+∞）恒成立，则有f（x）在区间

[1,+∞）为增函数，则有f（x）≥f

（1），又因为a>

0，则得a≥1。

②若4a2-4a<

0，即0<

1，则存在x>

1，使得f'

（x）=0，在区间[1,x）中f'

（x）<

000

则有f（x）在区间[1,x0）为减函数，f（x0）<

（1）=0，不符合题意。

综上可得a的取值范围为[1,+∞）。

x2-2x+（2a-1）2

（3）f'

（x）=

（x≠2a-1）

设g（x）=x2-2x+（2a-1）2

因为函数在（0,+∞）有两个极值点，

⎧⎪b2-4ac>

011

所以⎨⎪g（0）>

解得0<

或<

设极大值点为x1，极小值点为x2，0<

x1<

则x+x=2,xx=（2a-1）2，所以x,x≠2a-1且x,x∈（0,2）

12121212

因为f（x1）<

f（x2）

所以lnx1-lnx2

x1-x2

2a-1

即lnx1-

lnx2

设函数h（x）=lnx-

，所以函数在（0,2）上单调递增

（x）=1-

≥0，解得a<

综上，a的取值范围是⎛0,1⎫

2⎪

【点评】本题第1小问考查导数的几何性质，属于基础题；

后两问考查极值、最值以及函数的单调性问题，计算量较大，计算需细心，难度与往年持平。

20.（本小题满分16分）

已知数列{a}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有（aa......a）2=an+1an-1.

（1）若a，2a，3a成等差

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