三角形面积公式的五种推导方法Word格式.docx

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关于第三步：

教材上只有一句话：

能||不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。

这是化未知为已知的思维方式，||我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基||础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。

教材把这个重要的数学思想一笔||带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给||了老师。

但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入||下面环节的引言。

第四步。

转化是一定的。

但是，转化成什么？

怎么转化？

把三角形||转化成“能计算的图形”大致有五种情况。

教材推荐的是第五种（如||图）。

教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学||生的主体位置。

前面提到，学生计算三角形面积的||首选方法是数格，那么次选方法是什么？

他们的第二方案应该还是在自己的经验||中寻找帮助。

这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作||的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长||方形”的方法。

他们对“切割”这个动作记忆犹新。

因为：

一、这个技巧刚刚||学过；

二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，||所以印象深刻；

三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。

所||以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割||三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。

按这个说||法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，||对这个三角形进行加工处理。

在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心||有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角||形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

教材中还有一点缺失：

学生在教师的引||导下用两个“全等”三角形进行拼接时，是一个尝试的过程。

教材举例说：

小华拼||出了一个长方形一个平行四边形。

小林拼出了两个三角||形——一个人拼的全是能利用的，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。

||我们想这不是教材的疏漏，是为了突出教学任务和目||标。

另外，教材举的例子是两个三角形能拼成一个长方形和一个平||行四边形。

但实际上能拼成两个平行四边形，加上长||方形就是有三个图形是已经学习过的，都能用来||推算三角形面积。

教材忽略这个没有列出的平||行四边形，我们猜可能是因为它的倾斜度过大||，在视觉上有一种要“倒”的感觉。

如果学生受视觉效果的影响，注意力分||散，会影响到他们分析两种图形的底、高和面积的关系。

也可能是基于简单化原则，||有两个就够了，何必要三个。

但是按这个说法，要一个就够了，何必两个。

按照教材||设定的思路，我们可以设想：

学生手拿三角形，听老师布||置完任务。

怎么拼，能拼出什么都不太清楚，只能先随便的拼||一下试试。

如果运气好或者预想能力较强，可能直接拼出平行四||边形和长方形。

学生在试验时，会发现不等边拼接没||有后续效果，因为这些组合图形都不规则，不能把||握。

然后，学生会把注意力放在那些特殊图形上。

一类是那些中心||对称的平行四边形，这是学习过的内容；

一类是那些左右对称的凸多边形||，这是好奇心驱使，随后即会放弃。

学生的试验，开始可能||是无序状态，随着注意的集中，目标一个一个的出现，学生的意识中必定会对自己||刚才的所有拼接进行回顾（很多时候这个回顾是无意识的），找到拼出所有图形||的方法得出两个全等三角形能顺次拼出三个形状不同的平行四边形的结论，使自己||的思维进入有序状态。

教材把这个过程缩减了，有些教师则更希望把它压缩成一个||或几个动作，为后面的讲解和练习挤出时间，不愿||把时间精力浪费在这个非目标、非重点、也非难点的中间环节上。

认为||只要知道了转换的道理，就有了“等底等高，面积2倍”这个重点的突破。

在动手||操作上延长时间，势必影响教学目标的讲解和强调。

||

其实这是个误解。

公式的推导过程本身也是对公式的熟悉过程，||过程熟悉了，结果也就熟悉了。

以后也就无须用多的吓人的练习题让学生||做，把公式强印到学生的脑子中。

举一个化学上的例子：

两种物质能发生反应，这是先决||条件。

但是反应所需要的环境如加热、电击、搅拌或是放在溶液中||使其反应更充分，以及催化剂等这些控制反应进行的因素也很重要，甚至是必须的||。

学生在探寻知识的过程中所取得的经验和教训||就是知识发挥作用的控制因素。

一般上，我们认为把知识放在问题中，解决问题，知识||的作用就发挥出来了。

但是，问题从何而来？

来自思维。

思||考什么？

思考我们看到的，感觉到的。

如果对周围事物的||发展、变化、规律、联系、相互作用、矛盾冲突以及相似性、特殊点（||这些名词、概念确实存在于我们的意识和思维中）没有任何的反||应，就不会产生问题、提出问题。

不会发现问题的人||，一般也不会主动回答别人的问题。

让学生自||己动手就是为了训练学生的动手能力观察能力和感受||性。

如果学生在图形的拼接过程中能集中注意力||，边拼接边总结，最后达到能快速有节奏的拼出所有图形的程度。

那么学生至少有||两点除直接为教学目标服务之外的收获。

其一是实||验精神，这种品质是在面临所有新问题时都必须具备的。

这一点不必||多说。

第二点是个技巧：

要想拼出所有图形，必须以排列组合的||方式按照一定的顺序，挨着个的来。

如果我们能对这个技巧善加||培养，就会形成一种能力或是一种精神品质。

在许多新编的实验教材中都安排了||很多这样类型的训练内容。

这些训练的目的，并不在这些具体的||问题本身，而在于让学生扩展自己的思维空间。

思维空间的扩展并不是说让||学生知道更多的东西，而是说让学生忘记自己已知道的、||已掌握的东西——需要的时候，能马上从意识中提取。

想达到这种水平，需要做到体系化||和结构化。

人的思想无限广大，但是如果其中的内容||杂乱无章，互无联系，就等于有限的物质占据了无限的空间。

就||象是如果没有天体星系之间的吸引力和运动造成的动||态平衡，就会宇宙大乱。

人类就不可能认识这个世界。

会毁在这种无序状态之中。

但运||动能看的见，吸引力却难捉摸。

在我们所有的认识活||动中，都有一个从混沌到有序，从不明所以的细节认识到把握事物的结构，确定||各部分间的联系和作用方式的整体感知的过程。

如果学生拥有了这个过程的心理体||验，就会促使他们在个性发展上形成一种良好的精神品质。

就会心理坚定，动作||迅速，思维敏捷。

但我们却常常在课堂上打断学生的这个思维过程，系||之以我们认为最佳的知识体系。

却不知单纯以逻辑作联结的知识在学生看来只是内容上的堆||砌，会对学生造成巨大的精神压力。

只有以心理体||验做基础才能真正将知识内化，达到“有”既是||“无”的空明之境。

自己的努力常被别人打断的人，有一种受制于人的感觉。

经常这样，学||生会变的没有自信，心浮气燥，尝试过程中会产生否定心理：

否定错误，||固执己见；

否定问题：

这个问题不可能有解；

甚至否定自己：

我做不出来了||，再努力也是白费工夫。

推导三角形的面积公式，大致||有五种方式。

根据各种推导方式的不同特点，我们可以帮助学生设定两种学习思路。

第||一种：

前三种推导方式，适合用“先确定探求目标，然后从已知经验中借鉴||和搜寻解决方法”的学习方式：

学生手拿一个具体的三角形卡片，经过||怎么办，怎么变，怎么算等思维过程，然后通过验证，将怎么变舍去，把怎么算||压缩概括为一个计算程序，这就是公式。

第二种：

用后两种||推导方式，可以这样引导学生“长方形和平行四边形的面积公式除了能计||算平行四边形和长方形的面积，还可以计算其他图形的面积。

大家||可以尝试一下……”。

学生手拿长方形和平行四边形，经过折叠、剪切逐步转化为三角||形和梯形，再总结成公式。

这两种引导方式是不应该混杂在一||起呈现给学生的。

无论是那一种方法，只要真正是学生的动手操作和思维的成果——教||师的责任和义务是导引而非强行推进——对学生来说都有非||常重大的意义。

除知识的累积外，尚有许多教师可以讲清却无法给予的心理体||验和能力。

比如：

前面提到的试验精神和以排||列组合的方式对事件的发展进行调控，增强思维的有序性。

建立数学模型||，把实践问题数学化。

这是许多人不了解数学为何物的关键之处。

估||算和预想。

学生拿着三角形和剪刀，不会直接下手，会先进行比对和预想：

从||这里下刀，向这个角度截下的角能补到哪？

能把顶角补齐||吗？

估计相差不大，试一下……有许多解决问题和创造活动的||前期准备都是在头脑中预演的。

预演的过程虽不十分准确，但节奏快||，内容多，可以跳过许多不必要的中间程序。

动手能力。

这是大家都非常||重视的一个词。

证据之一：

小孩子在玩沙时，大人有耐心看||着他们完成自己的作品，直至失去兴趣。

在课堂上我们||为学生准备了许多学具。

这些学具，是根据我们想要学生完成的操作动作精||心设计的。

能最大限度的体现老师的要求。

学生在用学具对老师进行||模仿，或参照课本完成老师的细致要求时。

时常被我们的“好了！

大家停一||下。

坐好了！

”或“现在我们来看……”一类的声音打断。

学生们||一听到这些话，就会习惯性的把手拿开放到背后。

许多老师要求学生坐直，抬头挺胸，手||放背后。

而且时不时来一句“看谁坐的直！

”。

||学生坐好以后，对自己的劳动成果不再看一眼，眼睛直盯着黑板和老师||。

就好象桌子上什么东西都没有，刚才自己什么也没做过一样。

毕竟，动手能力没有注意||听讲重要。

证据之二：

有时候我们会很自豪的说：

如果||学生不会，我就手把手地教。

实际上，手把手的作用并不大：

老师拿着学生的手||，学生的注意和力量被分散了。

老师的力量加在||学生手上，学生会自然的产生反作用力。

但他明白他||应该顺应老师所以他要控制自己的反作用力。

学生的一部分精||力就用在了二者的协调上。

学生不可能在手把手的过程||中真正体会到老师是如何用力的。

感觉只能是自己产生，别人能给的只是||外部刺激。

手把手的好处可能是能对那些自信心不足的学生以安慰和鼓舞，||以及提醒学生模仿参照老师，想象体会老师的感觉。

试验过程中规律||和直感经验的应用和把握。

在截切三角形时第一次会用较多的时间，失败||的可能性很大。

第二次找截切点和角度的速度会加快。

也可能，第||二次还没有进行完，学生就得出结论：

这一次是失败的，准确位置应该在那儿||。

速度加快和直接下刀，表明学生已经感知这个截切点的特殊性||，应该就在三角形的半腰处。

右边是这样，左边也应该……

前三种用割补法||变三角形为平行四边形，利用的是以前的经验，模仿||的形式。

想到后两种填充法和拼接法，应该算是通过观察问题存在的周边环境而找到的||方法，创造的成份比较多。

这是把事件或问题放在背景和环境中考虑，是一||种整体认知的意识和能力。

既如荀子在《劝学》中说的“善假于物也”，此“||物”既存于人的经验意识和周边环境中。

如果发挥学生的主||体意识，学生找到后两种推导方法的心理机制比较复杂，我们还难以把握。

学生可||能是误打误撞找到的，也可能是因为学生有生活方面的此类经验，迁移能||力较强。

不管学生是怎样找到的，也不论是学生||的功劳还是教师的指导，这几种方法所携带的辨证观念是我们||应该特别关注的。

即便是因为学生的年龄特点不能给予形式内容上的加强，起码可以给||学生以精神自由和意志自由，做到不防碍它的发展。

精神意志的自由||虽不能直接激发思维和创造，却可以产生真正的积极性和主动性。

学生不把||自己当学生，当成探索生活和世界的强者，教师不把自己当教师，当||作合作者（尤其是备课的时候），由此思想自由而产生的||创造，要比我们用装腔作势、花样翻新来吸引学生注意力，以集体、荣誉、表扬||、攀比、别人的眼光来束缚学生的思想，以教鞭、纪律来规范||学生的言行，高潮迭起、节奏紧凑、有声有色，学生||却象是提线木偶的课堂来得彻底、来得有效率。

||“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初||的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎||么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。

只是更早的“先生”概念并||非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有||传授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何||为出此言也？

”；

《论语》中的“有酒食，先||生馔”；

《国策》中的“先生坐，何至于此？

”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有||德行的长辈。

其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。

可见“先生||”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近||。

看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称||。

称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?

曲礼》，有“从于先生，不越礼||而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授||知识者”，与教师、老师之意基本一致。

阿||基米德说：

给我一个支点，我能把地球翘起来。

找到支点和作用方式学生的力量是巨大||的。

学习知识、掌握技巧、提高能力的作用点不在于紧盯目||标和任务，下死工夫塞到头脑里。

就好象翘起地||球的支点不会在地球上，必须到太空中寻找一样，提高学习||效率的支点应该存在于学生们比太空还充实还广漠的精神世||界里。

它的充实之处在于，学生能随时找到前进道路上的踏脚基||石。

广漠之处在于，学生愿意并能吸收容纳更多更新的体验||。

学生课堂学习的基础是他们的精神世界，他们的精神世界植根于生活。

所以说提高||学习效率的根本方法从丰富多彩的生活中凝练思想。

家庭||是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子||一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿||在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，||表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。