基于一种新的阈值函数的小波包信号降噪Word文档格式.doc
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信噪比
中图分类号：
TN911文献标识码：
A
Signalde-noisinginwaveletpacketBasedonanovelthresholdfunction
YeRuiquan，ChangShengli
（1,NationalUniversityofDefenceTechnology，Changsha410073;
2.NanchangMilitaryAcademy,Nanchang,330103）
Abstract:
Thebasictheoryofthewaveletpacketanalysisandtheprincipleofthewaveletpacketde-noisingareintroduced.com-
paredwiththewavelettransformation,thewaveletpacketanalysishasamorefinesignalresolution.Thekeyofthewaveletpacketsignalde-nosingisthechoiceofthresholdandthresholdfunction.Anovelthresholdfunctionispresentedbasedonthewaveletpac-
ketshrinkageputforwardbyD.L.DonohoandI.M.Johnstone.Itovercametheshortcomingofthehardthresholdwithdiscontinue-
ousfunctionandsolvedtheproblemofthepermanentbiasinsoftthresholdfunction.Simulationresultindicatesthatthenewthresh-
oldfunctionispredominantthanclassicsoftthresholdfunctionandhardthresholdfunction.
Keywords:
waveletpacketanalysis；
waveletpacketshrinkage；
threshold；
thresholdfunction；
MSE；
SNR
1引言
文献[5][7]针对小波信号阈值降噪提出了一种新的阈值函数，研究表明，该阈值函数具有比软硬阈值函数更优越的降噪效果。
小波包分析具有比小波变换更精细的信号分辨率，因此，本文提出了基于上述新阈值函数的小波包信号降噪。
仿真研究表明：
通过设置适当的参数,新阈值函数具有比传统软硬阈值函数更优越的小波包信号降噪性能。
2小波包分析[1]
2.1小波包分析基本理论
小波包变换的二尺度方程为：
（1）
当时，为尺度函数，为小波函数。
定义函数序列为由所确定的小波包。
小波包系数递推公式:
（2）
小波包的重建公式:
（3）
其中和分别是尺度函数和小波函数对应的低通和高通滤波器。
2.2小波包分析与小波分析
小波包分析是在小波分析的基础上发展起来的，它们之间既相互联系又有所区别。
小波分析只将（尺度）空间（a）小波分解（b）小波包分解
图1信号分解结构示意图
进行分解，而没有对（小波）空间进行分解。
同时，由于信号小波分析的空间分辨率和频谱分辨率受Heisenberg测不准原理的制约，使得高频段的频率分辨率变差，从而使小波分析的应用受到一定限制。
然而，小波包分析不仅对空间进行分解，而且对空间进行分解，从而实现更高频段的频率分解，是信号分析的一种更加精细的频率分析方法。
图1（a）、（b）分别是对信号作4层小波分解和小波包分解的结构示意图。
把这一部分的保留下来（硬阈值方法）或者按某一个固定量向零收缩（软阈值方法）；
当时，此时的主要是由噪声引起的，予以舍弃。
小波包系数经阈值化处理后得到新的小波包系数，然后用进行小波包重构，再根据重构的小波包得到降噪后的信号。
3.2小波包信号降噪的步骤[1]
对信号进行降噪处理是小波包分析的一项最基本的功能。
具体的操作步骤如下：
（1）信号小波包分解。
选择一个小波并确定所需分解的层次，然后对信号进行小波包分解。
（2）确定最优小波包基。
对于一个给定的熵标准，计算最优树（这一步不是必需的步骤，可根据不同的目的进行有选择性的使用）。
（3）小波包分解系数的阈值量化。
对于每一个小波包分解系数，选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。
（4）信号的小波包重构。
根据最低层的低频小波包分解系数（一般不做阈值化处理）和经过阈值量化处理的高频小波包系数，进行小波包重构。
4新阈值函数的构造[6]
4.1传统的阈值函数
4.1.1硬阈值函数
硬阈值函数的表达式为：
（4）
如图2所示，其中横坐标表示信号的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。
硬阈值函数在整个小波域内是不连续的，在和处存在间断点，这与实际应用中常常要对阈值函数进行求导运算存在矛盾，具有一定的局限性;
同时，它只对小于阈值的小波系数进行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，这与实际情况下大于阈值的小波系数中也存在噪声信号的干扰不相符。
4.1.2软阈值函数
软阈值函数的表达式为：
（5）
如图2所示。
软阈值函数在小波域内是连续的，不存在间断点问题，但它的导数是不连续的，而在实际应用中经常要对一阶导数甚至是高阶导数进行运算处理，所以它具有一定的局限性。
此外，软阈值对大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符。
4.2新阈值函数[7]
基于软硬阈值函数的上述缺陷点，文献[7]中提出了一种新的阈值函数，其数学表达式为：
（6）
为任意正常数。
如图2新阈值函数示意图
新的阈值函数不但具有软阈值函数的连续性，而且当时是高阶可导的，便于进行各种数学处理.考察函数
（7）
显然，
（8）
（9）
同时，，所以函数（7）是以直线为渐近线的，也就是说，新阈值函数以为渐近线，随着的增大逐渐接近，克服了软阈值函数中与之间具有恒定偏差的缺点。
观察式（6）发现，当阈值很小时，新阈值函数的作用与硬阈值函数相当，但它更灵活；
当非常接近阈值λ时，式（6）表明近似等于，而不是直接让为0.另外，从式（6）易得
（10）
（11）
式（10）和（11）说明，当时，式（6）为软阈值函数；
当时，式（6）为硬阈值函数.可见，新阈值函数是介于软硬阈值函数之间的一个灵活选择，可以通过的取值的变化，得到实用有效的阈值函数.图2是新阈值函数的示意图，其中。
4.3阈值的设置
待分析信号经小波包分解后得到的小波包系数可以通过设置阈值来对信号和噪声进行分离。
目前使用的阈值可以分成全局阈值和局部适应阈值两类。
其中全局阈值对各层所有的小波系数或同一层内各结点的小波系数都是统一的；
而局部适应阈值是根据当前系数周围的实际情况来确定的。
迄今为止，已提出的全局阈值主要有Donoho和Johnstone统一阈值、基于零均值正态分布的置信区间阈值、BayesShrink阈值和MapShrink阈值、最小最大化阈值和理想阈值[8]。
局部适应阈值精度高，对信号的适应能力好，降噪效果好，但计算复杂，效率相对较低。
本文采用的是局部适应阈值。
5仿真研究
为了说明新阈值函数的有效性和优越性，对某一含噪信号分别应用经典的软硬阈值函数和新阈值函数对信号进行小波包降噪处理。
其中，采用的小波是db1小波，分解层数为3层，阈值采用变尺度的，其中为分解尺度，为信号长度,噪声方差总是不可知的，降噪处理时可以取[9]。
仿真结果如图3所示，降噪信号的信噪比（SNR）和均方误差（MSE）如表1所示。
研究表明，新阈值函数的小波包信号降噪在均方误差（MSE）和信噪比（SNR）两个性能指标上均优于经典的软硬阈值函数。
参考文献：
[1]飞思科技产品研发中心.小波分析理论与MATLAB7实现.电子工业出版社,2005.
[2]DonohoDL,JohnstoneIM.IdealSpatialAdaptationViaWaveletshrinkage[J].Biometrika，1994，81（12）:
425-455.
[3]DonohoDL.De-noisingbySoft-thresholding[J].IEEETransonIT，1995，41（3）:
613-627.
[4]DonohoDL,JohnstoneIM.AdaptingtoUnknownSmoothnessViaWaveletShrinkage[J].JournalofAmericanStatAssoc,1995,12（90）:
1200-1224.
[5]叶裕雷,戴文战.一种基于新阈值函数的小波信号去噪方法.计算机应用,2006（7）.
[6]周伟.MATLAB小波分析高级技术.西安电子科技大学出版社.
[7]张维强,宋国乡.基于一种新的阈值函数的小波域信号去噪.西安电子科技大学学报（自然科学版）,2004（4）.
[8]谢杰成，张大力，徐文力.小波图像去噪综述[J].中国图像图形学报,2002,7（3）:
209-217.
[9]BeidlmanJC，SpencerAE.TheNormalIndexofMaximalSubgroupsinFiniteGroups[J].IllinoisJMath，1972，169
（1）:
95-101.
表1各种方法的均方误差（MSE）和信噪比（SNR）
方法
MSE
SNR（dB）
含噪信号
142.7892
30.5607
新阈值函数法
33.1310
36.6321
硬阈值函数法
33.1552
36.6290
软阈值函数法
33.3452
36.6041
图3各种阈值函数降噪结果的比较
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