历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类Word文档格式.docx
《历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《历届全国大学生数学竞赛真题与答案非数学类Word文档格式.docx（44页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
du
1u2
du（*）
01u
令t
1u，则
1t2
2tdt，u2
2t2
t4，u（1
u）t2（1t）（1t），
（*）
（1
t
4）dt
2
2t
31t5
t4）dt
2（12t
3
5
2．设f（x）是连续函数，且满足
f（x）
3x2
f（x）dx
16
15
2,则f（x）____________.
令A
3x2
A2，
解:
f（x）dx，则f（x）
A
A2）dx8
2（A2）4
2A,
（3x2
解得A
4
。
因此f（x）3x2
10
．曲面z
x2
y2
平行平面
2x2y
z
的切平面方程是
__________.
因平面
2x
2y
的法向量为（2,2,
1）
，而曲面z
x2
y2
2在
（x0,y0）
处的法向量为（zx（x0,y0）,zy（x0,y0）,1）
，故
（zx（x0,y0）,zy（x0,y0）,
1）与（2,2,
1）平行，因此，由zx
x，zy
2y知
2zx（x0,y0）
x0,2zy（x0,y0）
2y0，
即x0
2,y0
1，又z（x0,y0）
z（2,1）
，于是曲面2x
2y
0在
（x0,y0,z（x0,y0））处的切平面方程是
2（x
2）
2（y
1）（z
5）
0，即曲面
2x2y
4．设函数y
y（x）由方程xef（y）
eyln29确定，其中
f具有二阶导数，且
f
1，则
d2y
________________.
dx2
方程xef（y）
ey
ln29的两边对x求导，得
ef（y）
xf（y）yef（y）
eyyln29
因eyln29
xef（y），故
（y）y
y，即y
，因此
x
（y））
x（1
d
x2（1
x[1
f（y）]2
（y）
[1
x2[1
f（y）]3
f（y））
x2[1
（y）]3
二、（5分）求极限lim（ex
e2x
enx
e
）x，其中n是给定的正整数.
n
因
lim（ex
ex
）x
lim（1
n）x
x0
故
limex
ne
elimex
e2x
nx
2e2x
nenx
e12
n1e
因此
lim（e
2x
nxe
eA
n1
e2
三、（15分）设函数f（x）连续，g（x）
f（xt）dt，且lim
A，A为常数，求g（x）
并讨论g（x）在x
0处的连续性.
由lim
A和函数f（x）连续知，f（0）
limf（x）
lim
xlimf（x）
因g（x）
g（0）
0，
f（xt）dt，故
f（0）dtf（0）
因此，当x
时，
g（x）
f（u）du，故
f（u）du
limg（x）
f（0）
当x0时，
g（x）
f（x）
f（u）du
，
f（t）dt
g（0）limg（x）
limx
limf（x）
lim[
x02x
f（x）]
lim1
x0x2
这表明g（x）在x
处连续.
四、（15分）已知平面区域D
{（
x,y）|0
0y
}，L为D的正向边界，试证：
（1）
xesinydy
yesinxdx
xesinydy
yesinxdx；
L
（2）
yesinydx
2.
证:
因被积函数的偏导数连续在
D上连续，故由格林公式知
siny
sinx
ye
xe
dy
dx
（xe
）
）dd
（esiny
esinx）dxdy
yesinxdx
（xesiny）
yesinx）dxdy
（esiny
esinx）dxdy
而D关于x和y是对称的，即知
（2）因
et
et
2（1
t2
t4
2（1t2）
2!
4!
esinx
esinx
sin2x
cos2x
cos2x
由
知
2D
esiny）dxdy
（esinx
（esinx
esinx）dx
cos2xdx
即
xesiyndyyesiyndx
52
五、（10分）已知y
xex
e2x，y
ex
y3
是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设y1
e2x，y2
ex，y3
ex是二阶常系数线性非齐
次微分方程
ybycyf（x）
的三个解，则y2y1
e2x和y3
y1
ex都是二阶常系数线性齐次微分方程
by
cy
的解，因此y
0的特征多项式是（
2）（
1）0，而y
cy0的特
征多项式是
b
c
因此二阶常系数线性齐次微分方程为
0，由y
f（x）和
2e2x，y1
2ex
4e2x
知，f（x）y1
2y1
（xex
2e2x）2（xex
e2x）
（1
2x）ex
二阶常系数线性非齐次微分方程为
yy2yex2xex
六、（10
分）设抛物线y
ax2
bx
2lnc过原点.当0x
1时,y
0,又已知该抛物线
与x轴及直线x
1所围图形的面积为
x轴旋转一周而成的旋
.试确定a,b,c,使此图形绕
转体的体积最小.
解因抛物线yax2
2lnc过原点，故c1，于是
bx）dt
ax3
bx2
a
（ax2
b2（1a）
而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积
V（a）
bx）2dt
2（1
a）x）2dt
（ax
dt
a（1
a）
a）x
9
a2
1a（1
a）2
27
1a（1a）
4（1a）2
令
1（12a）
8（1a）0，
得
54a4590a4040a0
4a50
b
c1.
七、（15
分）已知un（x）满足un（x）un（x）
xn1ex（n1,2,）,且un
（1）
e,求函数项
级数
un（x）之和.
解
un（x）un（x）xn1ex，
yyxn1ex
由一阶线性非齐次微分方程公式知
yex（Cxn1dx）
xx
ye（C）
un（x）
升级会员 