椭圆性质92条及其证明文档格式.docx

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r2

y

b2

a2

L所在直线方程为

2a4A2b4B2L

2222a2A2b2B2

b2.

2.

x0y0

y0y

x0xy0y

a2b2.ab

2（r1|OP|,r2|OQ|）.b

1122

AxBy1（AB0）,则

（1）22A2B2;

（2）

C2：

b2x2a2y2

17．给定椭圆C1：

b2x2a2y2a2b2（a>

0）,

ab2

（22ab）2,则（i）对C1上任意给定的点P（x0,y0）,

它的任一直角弦必须经过C2上一定点M（aa2bb2

x0,

aby）

22y0）.ab

（ii）对C2上任一点P（x0,y0）在C1上存在唯一的点M'

使得M'

的任一直角弦都经过

18．设P（x0,y0）为椭圆（或圆）C:

x2y21（a>

0,.b>

0）上一点，P1P2为曲线

P'

点.

C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为

1m

k1,k2,则直线P1P2通过定点M（mx0,my0）（m1）的充要条件是k1k21m

19．过椭圆221（a>

0,b>

0）上任一点A（x0,y0）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定

向且kBCb2x0（常数）.

2ay0x220．椭圆22ab

y1（a>

0）的左右焦点分别为

F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点三角形的

面积为SF1PF2b2tan，P（ac2b2tan2

F1PF22c2

1PF2

b2tan）.

c2

21．若P为椭圆x2y21（a>

0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则

ac

tantan.

ac2222xy

22．椭圆221（a>

0）的焦半径公式：

|MF1|aex0,|MF2|aex0（F1（c,0）,F2（c,0），M（x0,y0））.ab

23．若椭圆x2y21（a>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当a2b2

21e1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

24．P为椭圆x2y21（a>

0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF2|,ab

当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.

22222

椭圆x2y21（a>

0）上存在两点关于直线l：

yk（xx0）对称的充要条件是x02（a2b2）2.

ababk

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

xacos

P是椭圆（a>

0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是

ybsin

22设A,B为椭圆x2y2k（k0,k1）上两点，其直线AB与椭圆ab

30．在椭圆221中，定长为2m

25．

26．

27．

28．

29．

21

e1sin2

o<

m≤a）的弦中点轨迹方程为

21相交于P,Q,则APBQ.b

1（a2b2）

x2y2

2222

acosbsin,其中

bx

tan,当y0时,90.

ay

31．设S为椭圆221（a>

0）

的通径，定长线段L的两端点

A,B

在椭圆上移动，记|AB|=l，M（x0,y0）是AB

中点，则当l

S时，有（x0）max

c2le（c2a2b2,eca）;

当lS时，有（x0）max2ab4b2l2,（x0）min0.

2y21与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.

ab2233．椭圆（x2x0）（y2y0）1与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2（Ax0By0C）2.b

x32．椭圆2

2a22xy

34．设椭圆221（a>

0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2a2b2

PF1F2,F1F2P，则有since.

1212sinsina

35．经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>

0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于|P1A1||P2A2|b2.

36．已知椭圆221（a>

0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ（.1）ab

P1和P2，则

2）|OP|2+|OQ|2的最小值为42ab2;

（3）SOPQ的最小值是

22.

a2b

37．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>

0）焦点的任一弦，若|AB|22a|MN|.

38．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>

0）焦点的任一弦，若过椭圆中心2111.

a|MN||OP2|a22b

AB是经过椭圆中心

11

22|OP|2|OQ|2

O且平行于MN

O的半弦OP

a12b12;

的弦，则

MN，则

39．设椭圆221（a>

0）,M（m,o）或（o,m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交

于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线l：

x（或y）上.

mm

AP和AQ分别交相应于焦点F的椭

40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，于点N，则MF⊥NF.

42．设椭圆方程221,则斜率为k（k≠0的）平行弦的中点必在直线l：

ykx的共轭直线ykx上,而且kkab

A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交

2.a

43．设A、B、C、D为椭圆221上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于

b2cos2a2sin2

2222.

bcosasin

P,且P不

PA

PB

PC

PD

x

y22

2a

在椭圆上,则

44．已知椭圆

1（a>

0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，

F1PF2的外（内）角平分线为l

，作F1、

F2分别垂直l于R、S，

当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2y2

22a2y2b2xxc（c2y2

45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.

46．过椭圆x2y21

|PF|e.

|MN|2.

a>

0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，

47．设A（x1,y1）是椭圆

x2y21（a>

0）上任一点，过A作一条斜率为ab

a2y2b2xc

l分别交直线AC、BC于E和F，又D

弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

b2x1的直线

ay1

L，又设d是原点到直线L

的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2dab.

和22（01），一直线顺次与它们相交于

48．已知椭圆

b21

0）

A、B、C、D四点，则

AB│=|CD│

49．已知椭圆

x2y

A、B、是椭圆上的两点，线段

AB的垂直平分线与

x轴相交于点P（x0,0）,则

x0

50．设P点是椭圆2

2b22

.

（2）SPF1F2b2tan2.

by221（

0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则

（1）|PF1||PF2|1cos

51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结22

应于过H点的直线MN：

xn于M，N两点,则MBN90amanm

AP和AQ分别交相

am

b2（na）2

52．L是经过椭圆221（a>

0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，ab

若EPF，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|b时取等号）.

53．L是椭圆221（a>

0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，a2b2

E、F是椭圆两个焦点，

e是离心率,点PL，

EPF，H是L

与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|

时取等号）

54．L是椭圆221（a>

0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,离心率

为e，半焦距为c，则为锐角且sine2或arcsine2（当且仅当|PH|ba2c2时取等号）.

c

55．已知椭圆221（a>

0），直线

L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1

连结起来，则b2|F1A||F1B|

（2a2b2）2

当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时

左边不等式取等号）

56．设A、B是椭圆x2y21（ab

的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，

c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

222

2ab|cos|22ab

（1）|PA|222.

（2）tantan1e.（3）SPAB22cot.accosba

57．设A、B是椭圆x2y21（a>

0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且xA、xB的横坐标xAxBa，a2b2

（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA；

（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，

则PABQAB180.

58．设A、B是椭圆x2y21（a>

0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，

（1）若过A点引直线与ab

这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点A、B的横坐标

2P、Q两点，且PABQAB180,则点A、B的横坐标满

xA、

xB满足xAxBa足xAxBa.

；

（2）若过B点引直线与这椭圆相交于

59．设A,A'

是椭圆

xy'

'

21的长轴的两个端点，QQ'

是与AA'

垂直的弦，b2

则直线AQ与AQ'

的交点P的轨迹是双曲线

x22y221

22ab

60．过椭圆x2y

261．到椭圆x2y21（abx2y262．到椭圆x2ya

0）的左焦点F作互相垂直的两条弦

AB、

CD则82ab2|AB||CD|2（ab）

aba

0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）

b

的动点M的轨迹是姊妹圆（xa）2y2b2.

0）的长轴两端点的距离之比等于

ac（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆b

b21a22b2

（xa）2y2（b）2.eex2y263．到椭圆x2y21ab

（xa2）2y2（b2）2（e为离心率）.

ee

64．已知P是椭圆221（a>

0）上一个动点，A'

A是它长轴的两个端点,且AQAP,AQ'

A'

P，则Q点的

x2b2y2

轨迹方程是x2by41.

a2a4

65．椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.

bx1'

66．设椭圆221（a>

0）长轴的端点为A,A'

P（x1,y1）是椭圆上的点过P作斜率为21的直线l，过A,A'

分

abay1

'

2'

别作垂直于长轴的直线交l于M,M'

则

（1）|AM||A'

M'

|b2.

（2）四边形MAA'

M'

面积的最小值是2ab.22

67．已知椭圆x2y21（a>

0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,ab

0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆

点C在右准线l上，且BC//x轴，则直线AC经过线段EF的中点.68．OA、OB是椭圆（x2a）

2y

21（a>

0,b>

0）的两条互相垂直的弦，b2

O为坐标原点，则

（1）直线AB必经过一个

定点（22ab2,0）.

（2）以OA、ab

ab2ab2

OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（x2ab2）2y2（2ab2）2（x0）.

221（a>

0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则

（1）直线AB必经过一个定ab

n（b2a2））.

（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是

224222bn2a[bn（ab）]22）222（xm且yn）.

a2b2（a2b2）2

70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么

（1）d1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相切.

（2）d1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相离，（3）d1d2b2，或F1、F2在L异侧直

线L和椭圆相交.

71．AB是椭圆221（a>

0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、D两点，则ab

（xa）2

69．P（m,n）是椭圆

点2ab2m（a2b2）

点（

ab2a2m2

（x22）2（y

x24y2

梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x24y21（y0）.a2b2

xyxy

72．设点P（x0,y0）为椭圆221（a>

0）的内部一定点，AB是椭圆22

222222ab（ay0bx0）.当弦AB垂直于长轴所在直线时

1过定点P（x0,y0）的任一弦，当

弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时（|PA||PB|）max

（|PA||PB|）minab（ay0bx0）

73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.

75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.

76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.

77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点

78．椭圆焦三角形中

79．椭圆焦三角形中

80．椭圆焦三角形中

81．椭圆焦三角形中

82．椭圆焦三角形中

83．椭圆焦三角形中

84．椭圆焦三角形中圆的切点.

85．椭圆焦三角形中

86．椭圆焦三角形中

87．椭圆焦三角形中

88．椭圆焦三角形中

e（离心率）.（注:

在椭圆焦三角形中,非焦顶

.）

内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线

则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.

垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的

非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.

非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.

过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.

2bb

）上有一点P,过点P分别作直线ybx及ybx的平行线，与x轴

aa

222222

|OM|2|ON|22a2；

（2）|OQ|2|OR|22b2.

bx的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q.

（1）若a

y21（a0,b0）.

（2）若|OQ|2|OR|22b2，则P的轨迹方程是b

89.已知椭圆221（a0,b0）（包括圆在内

于M,N，与y轴交于R,Q.,O为原点，则：

90.过平面上的P点作直线l1:

ybx及

1）

l2:

y

e.

|OM|2|ON|22a2，则P的轨迹方程是

221（a0,b0）.a2b2

91.点P为椭圆x2y21（a0,b0）（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、ab

bab

x轴于M,N，交直线ybx于Q,R，记OMQ与ONR的面积为S1,S2，则：

S1S2ab.

92.点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线ybx于Q,R，记OMQ

abxy

与ONR的面积为S1,S2，已知S1S2，则P的轨迹方程是221（a0,b0）.

2ab

椭圆性质92条证明

1.椭圆第一定义。

2.由定义即可得椭圆标准方程。

3.椭圆第二定义。

y0

22222bx0ay0bx0c

22x0y0acy0bx0y0

的斜率为k，PF1所在直线l1斜率为k1，

a2b2b