复数的乘法与除法高三数学教案模板文档格式.docx
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以上对于一道例题或练习题的反思过程，看起来并不难，但对我们学习知识和提高能力却十分重要。
它可以有效地锻炼我们的逆向思维，拓宽和加深我们的知识，使我们对一个问题的认识更加全面。
5．教材194页第6题这是关于复数模的一个重要不等式，在研究复数模的最值问题中有着广泛的应用。
在应用上述绝对值不等式过程中，要特别注意等号成立的条件。
教学设计示例
复数的乘法
1．掌握复数的代数形式的乘法运算法则，能熟练地进行复数代数形式的乘法运算；
2．理解复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律；
3．知道复数的乘法是同复数的积，理解复数集C中正整数幂的运算律，掌握i的乘法运算性质．
教学重点难点
复数乘法运算法则及复数的有关性质．
难点是复数乘法运算律的理解．
教学过程设计
1．
引入新课
前面学习了复数的代数形式的加减法，其运算法则与两个多项式相加减的办法一致．那么两个复数的乘法运算是否仍可与两个多项式相乘类似的办法进行呢？
教学中，可让学生先按此办法计算，然后将同学们运算所得结果与教科书的规定对照，从而引入新课．
2．
提出复数的代数形式的运算法则：
．
指出这一法则也是一种规定，由于它与多项式乘法运算法则一致，因此，不需要记忆这个公式．
3．
引导学生证明复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律．
4．
讲解例1、例2
例1 求．
此例的解答可由学生自己完成．然后，组织讨论，由学生自己归纳总结出共轭复数的一个重要性质：
．
教学过程中，也可以引导学生用以上公式来证明：
例2
计算．
教学中，可将学生分成三组分别按不同的运算顺序进行计算．比如说第一组按进行计算；
第二组按进行计算．讨论其计算结果一致说明了什么问题？
5．
引导学生得出复数集中正整数幂的运算律以及i的乘方性质
教学过程中，可根据学生的情况，考虑是否将这些结论推广到自然数幂或整数幂．
6．
讲解例3
例3
设，求证：
（1）；
（2）
讲此例时，应向学生指出：
（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；
（2）复数的混合运算也是乘方，乘除，最后加减，有括号应先处括号里面的．
此后引导学生思考：
（1）课本中关于
（2）小题的注解；
（2）如果，则与还成立吗？
7．
课堂练习
课本练习第1、2、3题．
8．
归纳总结
（1）学生填空：
；
＝ ＝ ．
设，则＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
设（或），则 ， ．
（2）对复数乘法、乘方的有关运算进行小结．
9．作业
课本习题5.4第1、3题．
（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．
2、重点、难点分析
（1）正确复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明：
对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。
根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数都可以由一个有序实数对（）唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．
②复数用复平面内的点Z（）表示．复平面内的点Z的坐标是（），而不是（），也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·
，所以用复平面内的点（0，1）表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点（0，1）标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点（）（）都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面（也叫高斯平面）与一般的坐标平面（也叫笛卡儿平面）的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z（a，b）中的Z，书写时大写．要学生注意．
（5）关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：
5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．
（6）复数能否比较大小
教材最后指出：
“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：
“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘ （i）对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
（ii）如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
（iii）如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
（iv）如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．（不必向学生讲解）
（二）教法建议
1．要注意知识的连续性：
复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．
2．注意数形结合的数形思想：
由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．
3．注意分层次的教学：
教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．
复数的有关概念
1．了解复数的实部，虚部；
2．掌握复数相等的意义；
3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件．
教学难点
用复平面内的点表示复数Ｍ．
教学用具：
直尺
课时安排：
1课时
教学过程：
一、复习提问：
1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课
1．复数的实部和虚部：
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2．复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：
的充要条件是且。
例如：
例1：
已知
其中，求x与y.
解：
根据复数相等的意义，得方程组：
∴
例2：
m是什么实数时，复数,
（1）
是实数，
（2）是虚数，（3）是纯虚数.
（1）∵时，z是实数,
∴,或.
（2）
∵时，z是虚数,
∴，且
（3）
∵且时，
z是纯虚数.∴
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．
复数可用点来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
原点只在实轴x上，不在虚轴上．
4．复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（虚部不为零也叫做互为共轭复数）
（2）复数z的共轭复数用表示．若，则：
；
（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．
（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．
三、练习
1,2,3,4.
四、小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z（a，b）中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是（a，b），而不是（a，bi），也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：
五、作业
1,2,3,4,
六、板书设计：
§
8,2 复数的有关概念
1定义：
例1
3定义:
4几何意义:
……
…… ……
……
2定义：
5共轭复数:
……
（1）掌握向量的有关概念：
向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；
（2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系；
（3）掌握复数的模的定义及其几何意义；
（4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想；
（5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．
一、知识结构
本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式．
本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；
难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离．
1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视．
2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系
如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示．
相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与复平面上以原点为起点的向量集合构成—一对应关系．
2．
这种对应关系的建立，为我们用解析几何方法解决复数问题，或用复数方法解决几何问题创造了条件．
3．向量的模，又叫向量的绝对值，也就是其有向线段的长度．它的计算公式是，当实部为零时，根据上面复数的模的公式与以前关于实数绝对值及算术平方根的规定一致．这些内容必须使学生在理解的基础上牢固地掌握．
4．讲解教材第182页上例2的第
（1）小题建议．在讲解教材第182页上例2的第
（1）小题时．如果结合提问的图形，可以帮助学生正确理解教材中的“圆”是指曲线而不是指圆面（曲线所包围的平面部分）．对于倒2的第
（2）小题的图形，画图时周界（两个同心圆）都应画成虚线．
5．讲解复数的模．讲复数的模的定义和计算公式时，要注意与向量的有关知识联系，结合复数与复平面内以原点为起点，以复数所对应的点为终点的向量之间的一一对应关系，使学生在理解的基础上记忆。
向量的模，又叫做向量的绝对值，也就是有向线段OZ的长度．它也叫做复数的模或绝对值．它的计算公式是．
复数的向量表示
教学目的
1掌握复数的向量表示，复数模的概念及求法，复数模的几何意义．
2通过数形结合研究复数．
3培养学生辩证唯物主义思想．
重点难点
复数向量的表示及复数模的概念．
教学学具
投影仪
教学过程
1复习提问：
向量的概念；
模；
复平面．
2新课：
一、复数的向量表示：
在复平面内以原点为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ，由点Z（a，b）唯一确定．
因此复平面内的点集与复数集C之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应．
常把复数z=a+bi说成点Z（a，b）或说成向量OZ，并规定相等向量表示同一复数．
二、复数的模
向量OZ的模（即有向线段OZ的长度）叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|Z|或|a+bi|
|Z|=|a+bi|=a+b
例1
求复数z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比较它们的大小．
∵|Z1|2=32+42=25
|Z2|2=（-1）2+22=5
∴|Z1|＞|Z2|
练习：
1已知z1=1+3i
z2=-2i
Z3=4
Z4=-1+2i
⑴在复平面内，描出表示这些向量的点，画出向量．
⑵计算它们的模．
三、复数模的几何意义
复数Z=a+bi，当b=0时z∈R|Z|=|a|即a在实数意义上的绝对值复数模可看作点Z（a，b）到原点的距离．
设Z∈C满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
⑴|Z|=4
⑵
2≤|Z|＜4
（略）
⑴模等于4的虚数在复平面内的点集
⑵
比较复数z1=－5+12i
z2=―6―6i的模的大小．
⑶已知：
|Z|=|x+yi|=1求表示复数x+yi的点的轨迹．
教学后记：
板书设计：
三、复数模的几何意义
二、复数的模
例2
例1
探究活动
已知要使，还要增加什么条件？
要使，即由此可知，点到两个定点和的距离之和为6，如把看成动点，则它的轨迹是椭圆．
因此，所要增加的条件是：
点应满足条件．
说明 此题是属于缺少条件的探索性问题，解决这类问题的一般做法是从结论出发，并采用逆推的方法得出终结的结论，便理所求的条件．
排列、组合、二项式定理的教学设计
教学目标
（1）正确理解加法原理与乘法原理的意义，分清它们的条件和结论；
（2）能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理；
（3）正确区分加法原理与乘法原理，哪一个原理与分类有关，哪一个原理与分步有关；
（4）能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题，提高学生理解和运用两个原理的能力；
（5）通过对加法原理与乘法原理的学习，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。
教学建议
一、知识结构
二、重点难点分析
本节的重点是加法原理与乘法原理，难点是准确区分加法原理与乘法原理。
加法原理、乘法原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的。
这两个原理是学习排列组合内容的基础，贯穿整个内容之中，一方面它是推导排列数与组合数的基础；
另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。
两个原理回答的，都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题，其区别在于：
运用加法原理的前提条件是，做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事，就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；
运用乘法原理的前提条件是，做一件事有n个骤，只要在每个步骤中任取一种方法，并依次完成每一步骤就能完成此事，就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的。
简单的说，如果完成一件事情的所有方法是属于分类的问题，每次得到的是最后结果，要用加法原理；
如果完成一件事情的方法是属于分步的问题，每次得到的该步结果，就要用乘法原理。
三、教法建议
关于两个计数原理的教学要分三个层次：
第一是对两个计数原理的认识与理解．这里要求学生理解两个计数原理的意义，并弄清两个计数原理的区别．知道什么情况下使用加法计数原理，什么情况下使用乘法计数原理．（建议利用一课时）．
第二是对两个计数原理的使用．可以让学生做一下习题（建议利用两课时）：
①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；
②用0，1，2，……，9可以组成多少个8位整数；
③用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位整数；
④用0，1，2，……，9可以组成多少个有重复数字的4位整数；
⑤用0，1，2，……，9可以组成多少个无重复数字的4位奇数；
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等．
第三是使学生掌握两个计数原理的综合应用，这个过程应该贯彻整个教学中，每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理，每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解，另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现．教师要引导学生认真地分析题意，恰当的分类、分步，用好、用活两个基本计数原理．
教学设计示例
加法原理和乘法原理
正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．
教学重点和难点
重点：
加法原理和乘法原理．
难点：
加法原理和乘法原理的准确应用．
（一）引入新课
从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．
今天我们先学习两个基本原理．
（二）讲授新课
1．介绍两个基本原理
先考虑下面的问题：
问题1：
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．
这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：
加法原理：
做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．
请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：
问题2
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