学年九年级数学上册 第二十四章 圆 小专题14 教材P124复习题T13的变式与应Word文档格式.docx

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由

（1）知BD＝DE，∴DG垂直平分BE.连接GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90°

.

∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4.

设BD＝DE＝x，则x2＋82＝（x＋4）2，解得x＝6.

∴DE＝6.

1．（临沂中考）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.

（1）求证：

DE＝DB；

（2）若∠BAC＝90°

，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

（1）解答同教材母题解答．

（2）连接DC，∵∠BAC＝90°

，

∴BC是直径．∴∠BDC＝90°

∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4，

∴BD＝CD＝4.

∴BC＝

＝4

∴外接圆的半径为2

2．如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，点M为△ABC的内心．

BC＝

DM；

（2）若DM＝5

，AB＝8，求OM的长．

（1）证明：

连接MC，DB，DC.

∵点M为△ABC的内心，

∴MC平分∠ACB.

∴∠ACM＝∠BCM.

∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD＝

∠BAC＝45°

∴∠DBC＝∠BCD＝45°

∴△BDC为等腰直角三角形．

DC.

又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°

＋∠ACM，

而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°

＋∠BCM，

∴∠DMC＝∠DCM.

∴DC＝DM.

DM.

（2）作MF⊥BC于点F，ME⊥AC于点E，MH⊥AB于点H，连接OM.

∵DM＝5

DM＝10.

而AB＝8，

∴AC＝

＝6.

设△ABC的内切圆半径为r，

∴MH＝ME＝MF＝r.

∴四边形AHME为正方形．

∴AH＝AE＝r，则CE＝CF＝6－r，

BH＝BF＝8－r.

而BF＋FC＝BC，

∴8－r＋6－r＝10，计算得出r＝2.

∴MF＝2，CF＝6－2＝4，

∵OC＝5，

∴OF＝5－4＝1.

在Rt△OMF中，OM＝

＝

小专题15　与圆的切线有关的计算与证明

1．（怀化中考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；

（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）请你判断

（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．

（1）如图所示，⊙P为所求的圆．

（2）BC与⊙P相切，

理由：

过P作PD⊥BC，垂足为D，

∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，

∴PD＝PA.

∵PA为⊙P的半径，

∴BC与⊙P相切．

2．（永州中考）如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC.

PC是⊙O的切线；

（2）若∠P＝60°

，PC＝2，求PE的长．

连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°

∴∠BCO＋∠ACO＝90°

∵OC＝OB，

∴∠B＝∠BCO.

∵∠PCA＝∠ABC，

∴∠BCO＝∠ACP.

∴∠ACP＋∠OCA＝90°

∴∠OCP＝90°

，即OC⊥PC.

∵OC为⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线．

（2）∵∠P＝60°

，PC＝2，∠PCO＝90°

∴OC＝2

，OP＝2PC＝4.

∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2

3．（黄石中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.求证：

（1）DB＝DE；

（2）直线CF为⊙O的切线．

（1）∵E为△ABC的内心，

∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA.

又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA，

∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.

（2）连接OD.

∵BD＝DF，O是BC的中点，

∴OD∥CF.

又∵BC为⊙O的直径，OB＝OD，

∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45°

∴∠BCF＝∠BOD＝90°

∴OC⊥CF.

又OC为⊙O的半径，∴直线CF为⊙O的切线．

4．（北京中考）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交

于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.

AC∥DE；

（2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路．

∵ED与⊙O相切于点D，

∴OD⊥DE.

∵F为弦AC的中点，

∴OD⊥AC.∴AC∥DE.

（2）①连接AD，易知AD＝AO，

又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，且边长为a.

∴可以进一步求出△AOD的面积为

a2；

②根据点A是EO中点，可知△EOD的面积是△AOD面积的2倍，∴可得△EOD的面积为

③等量代换可得四边形ACDE的面积为

a2.

5．如图所示，MN是⊙O的切线，B为切点，BC是⊙O的弦且∠CBN＝45°

，过C的直线与⊙O，MN分别交于A，D两点，过C作CE⊥BD于点E.

CE是⊙O的切线；

（2）若∠D＝30°

，BD＝2＋2

，求⊙O的半径r.

连接OB，OC.

∵MN是⊙O的切线，

∴OB⊥MN.

∵∠CBN＝45°

∴∠OBC＝45°

，∠BCE＝45°

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°

∴∠OCE＝90°

又∵点C在⊙O上，

∴CE是⊙O的切线．

（2）∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE，

∴四边形BOCE是矩形．

又∵OB＝OC，∴四边形BOCE是正方形．

∴BE＝CE＝OB＝OC＝r.

在Rt△CDE中，∵∠D＝30°

，CE＝r，∴DE＝

r.

∵BD＝2＋2

，∴r＋

r＝2＋2

.解得r＝2.

即⊙O的半径为2.

6．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.

（1）如图1，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°

，求∠BAC的大小；

（2）如图2，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°

，求∠BAF的大小．

（1）连接OC.

∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥l.

又∵AD⊥l，

∴AD∥OC.

∴∠ACO＝∠DAC＝30°

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠ACO.

∴∠BAC＝∠DAC＝30°

（2）连接BF.

∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18°

，∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°

＋18°

＝108°

∵四边形ABFE是圆内接四边形，

∴∠AEF＋∠B＝180°

∴∠B＝180°

－108°

＝72°

∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°

∴∠BAF＝90°

－∠B＝18°

7．（教材P102习题T12变式）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，DE＝2，CD＝4.

AC平分∠BAD；

（2）求⊙O的半径R；

（3）延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于点H.若∠F＝2∠ABH，则BH的长为2

（直接写出）．

∵FD切⊙O于点C.

∴OC⊥FD.

∵AD⊥FD.∴OC∥AD.

∴∠ACO＝∠DAC.

∵OC＝OA，

∴∠ACO＝∠CAO.

∴∠DAC＝∠CAO，

即AC平分∠DAB.

（2）作OG⊥AE于点G，则AG＝EG.

∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R.

∴EG＝R－2＝AG.

在Rt△AGO中，（R－2）2＋42＝R2，

∴R＝5.

（3）提示：

连接BE，∵∠AEB＝90°

∴BE∥DF.

∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH.

∴BH平分∠ABE.

又∵AC平分∠BAD.

∴∠AHB＝135°

∴△CHB是等腰三角形．

∴BC＝CH＝AH.

设BC＝x，AC＝2x，

在Rt△ABC中，x2＋（2x）2＝102，

∴x＝2

∴BH＝

CH＝2