第3章证明三Word格式文档下载.docx

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（2）引导学生探索：

平行四边形除了具有两组对边分别平行这一特殊性质外，还有什么特殊性质？

（平行四边形的对边相等．平行四边形的邻角互补．平行四边形的对角相等．平行四边形的对角线互相平分．夹在两条平行线间的平行线段相等．）

（3）求证：

平行四边形的对边相等

ⅰ、抽一名中等生说出该命题的条件与结论

ⅱ、画出图形（学生在练习本上画，老师在黑板上示范）

ⅲ、生口述，师板书，写出“已知”与“求证”

已知：

四边形ABCD是平行四边形

求证：

AB＝CD，BC＝DA．

ⅳ、抽两名学生到黑板上完成证明，其余学生在练习本上完成，教师指导有困难的学生

ⅴ、讲评

（4）学生口述其他性质的证明过程

（5）证明：

等腰梯形在同一底上的两个角相等．

ⅰ、引导学生写出已知与求证

如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．

∠B＝∠C，∠A＝∠D．

ⅱ、引导学生添加辅助线（平移一腰）

ⅲ、生口述，师板书证明过程

ⅳ、小结得出等腰梯形的性质：

等腰梯形在同一底上的两个角相等

（推理格式∵在梯形ABCD中，AD//BC,AB＝DC，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D．）

（6）让学生说出性质定理的逆命题（同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）．

（指导学生完成证明）抽一名学生板演，其余学生在练习本上完成，教师巡回指导

小结：

等腰梯形的判定定理：

同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．．

三、课堂练习

（一）课本P74，随堂练习1、2

1．证明；

平行四边形的对角线互相平分．

如下图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．求证：

OA＝OC，OB＝OD．

2．证明：

夹在两条平行线间的平行线段相等．

如图，已知l1//l2，AB、CD是l1、l2之间的任意平行线段．求证：

AB＝CD．

（分别抽两名学生板演）

四、课堂检测（辅导课完成）

1．如图1，在ABCD中，已知AC平分∠BAD，DC＝3则BC＝__________.

2．在ABCD中，∠A∶∠D＝3∶6，则∠C的度数是（

3．下列命题中，能判定出等腰梯形的是（

A．对角线相等的四边形B．同一底上的两个角相等的梯形

C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形D．有两个角相等的梯形

4．已知：

如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，∠C＝60求证：

梯形ABCD是等腰梯形．

四、课时小结

1、本节课我们主要利用前面学过的公理和定理来证明了平行四边形的性质定理及等腰梯形的性质定理、判定定理．

2、梯形中辅助线的作法：

（1）移动一腰，如图3

（1），即把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（如果是等腰梯形，则所得到的三角形为等腰三角形）．

（2）作高，如图3

（2），把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，则所得到的两个直角三角形是全等的）．

（3）平移一条对角线，如图3（3），构成平行四边形，可借助得到的平行四边形来研究梯形．

（4）延长两腰交于一点，如图3（4），得到两个三角形（如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形的两底为底的等腰三角形）．

五、课后作业

（一）课本P74习题3.1　1、2

（二）预习内容：

课本P75～P76．

板书设计

一、定理：

平行四边形的对边相等．

（图及证明过程）

二、证明：

三、同一底上两角相等的梯形是等腰梯形

四、课堂练习

教学反思

3.1.2　平行四边形

（二）

1．知识与能力：

使学生能够用综合法证明平行四边形的判定定理；

培养学生的推理论证能力；

让学生通过画图、猜想与证明，养成良好的数学思维习惯

让学生体会在证明过程中所运用的类比、转化、归纳等数学思想方法．

平行四边形的判定定理．

探索、寻找判定定理．

上节课我们研究了平行四边形的性质定理．下面我们来做一练习以复习上节课的知识．

如上图；

（1）若四边形ABCD是平行四边形，则∠A＝______，∠B______；

（2）若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝______，BC＝______；

（3）若四边形ABCD是平行四边形，则AB______CD；

（4）若平行ABCD的对角线AC、BD交于点O，则OA＝______，OB＝______.

这节课我们就来研究平行四边形的判定定理．

二、讲授新课

（1）平行四边形的性质定理的逆命题都是正确的．

平行四边形的判定定理

定理：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（2）求证：

如图中的四边形MNOP是平行四边形．

（一）课本P76随堂练习2、3．

2．如下图，已知在□ABCD中，BF＝DE．

四边形AFCE是平行四边形．

3．如图，已知在□ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P．

PD＋CD＝BC．

（二）看课本P75～P76，然后小结．

本节课我们主要探讨并证明了平行四边形的判定定理、课本以“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”和“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这两个定理为主，以其他两个为辅，但我们都要掌握，并且在解题过程中应灵活应用．

五、课堂作业

课本P77　习题3.2　2

一、猜想：

二、做一做

____________________________________________________________________________

3.1.3　平行四边形（三）

1．了解三角形的中位线的定义．

2．会证明三角形中位线定理．

三角形中位线定理的证明．

施教时间

任意作一个四边形．依次连接它各边的中点，这时我们得到一个怎样的四边形呢？

顺次连接不同的四边形各边中点，所得到的均是平行四边形．这种神奇的结论与三角形中的一条重要线段有关，这就是三角形的中位线．这节课我们就来研究三角形的中位线及其性质．

（1）三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

如下图，已知DE是△ABC的中位线．求证：

DE//BC，DE＝

BC．

三角形的中位线平行于第三边．且等于第三边的一半．

应用时书写：

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC，DE＝

（2）做一做：

如下图，任意作一个四边形，并将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四边形的形状有什么特征？

请你证明你的结论，并与同伴进行交流．

（一）课本P80随堂练习1

如图，A、B两地被池溏隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A、B间的距离：

先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点M、N，并测出了MN的长，由此他就知道了A、B间的距离．你能说说其中的道理吗？

答：

因为MN是△ABC的中位线，因此：

MN＝

AB，即AB＝2MN．

（二）读一读，P81“比赛的名次”．

这节课我们主要探讨了三角形的中位线的定义及其性质．

三角形的中位线定理：

∵点D、E分别是AB、AC的中点，

课本P83习题3.3　1、2、3、4

一、三角形的中位线：

连接三角形两边的中点的线段．

二、定理：

三角形的中位线平行于第三边。

且等于第三边的一半．

三、做一做

五、课时小结

3.2.1　特殊平行四边形

（一）

1．知识与能力：

让学生能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论；

能运用矩形的性质进行简单的证明与计算．

2．过程与方法：

通过合作与交流，自己探索有关结论，培养学生推理论证的能力

3．情感态度与价值观：

培养学生合作交流的能力

矩形的性质的证明．

矩形的性质的证明以及它与平行四边形的从属关系．

一、巧设现实情境，引入新课

上两节课我们探讨了平行四边形的性质定理及判定定理．下面我们来共同回忆总结：

对边平行，对边相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分；

两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形

了解了平行四边形后，特殊的平行四边形与平行四边形的关系吗？

能用一张图来表示它们之间的关系吗？

可用下图来表示它们之间的关系：

1．前面我们已探讨过矩形的性质，矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等．那你能证明它们吗？

已知四边形ABCD是矩形．求证：

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

．

已知矩形ABCD，求证：

AC＝DB．

矩形的四个角都是直角．矩形的对角线相等．

2．如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

为什么？

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线．

BE＝

AC．

直接应用：

∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，

∴BE＝

AC．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

3．例题：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°

，AB＝2．5cm．求矩形对角线的长．

小明认为，这个题还可以这样想：

∠AOD＝120°

→∠AOB＝60°

→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×

2.5＝5（cm）．

你能帮小明写出完整的解题过程吗？

（一）课本P84随堂练习1

1．证明：

有三个角是直角的四边形是矩形．

矩形的性质，现在来归纳：

课本P85随堂练习1

课本P86,习题3.4　2、3

1．文氏图（四边形的关系）

2．定理：

矩形的四个角都是直角．

矩形的对角线相等．

3．议一议：

4．例题：

　　5．课堂练习：

有三个角是直角的四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形．

3.2.2　特殊平行四边形

（二）

1．菱形的性质定理的证明．

2．菱形的判定定理的证明．

3．正方形的性质及判定定理的证明．

菱形的性质及判定定理的证明．

我们曾在前面探讨过另一种特殊的平行四边形——菱形．大家还记得它吗？

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

因为菱形是特殊的平行四边形，所以它不仅具有平行四边形的所有性质，而且具有它本身独特的性质．即对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相平分、垂直，并且每条对角线平分一组对角；

菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以根据平行四边形对边相等的性质．可以得到：

菱形的四条边相等．

1．如图，已知四边形ABCD是菱形，

AB＝BC＝CD＝DA．

2．如图：

已知在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，

AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC．

3．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，

求：

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．

如果菱形的两条对角线长分别是a、b，则菱形的面积为S＝

a·

b．

4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．

有一组邻边相等的平行四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

在□ABCD中，对角线AC⊥BD．

□ABCD是菱形．

四条边都相等的四边形是菱形．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

三、课堂练习：

课本P88，随堂练习1．

四条边都相等的四边形是菱形．

如图，已知在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA

四边形ABCD是菱形．

这节课我们主要证明了菱形的性质定理和判定定理．

注意：

菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；

菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此，有关菱形的问题，往往可转化为等腰三角形或直角三角形的问题来解决．要学会这种“转化”的思想方法．

（一）课本P88习题3.5　1、2、3．

（二）总结特殊的平行四边形的性质及判定定理．

1．菱形定义

菱形性质

2．例题：

3．菱形的判定定理

4．课堂练习

3.2.3　特殊平行四边形（三）

1．能进一步理解掌握矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理．

2．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用．

特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．

通过前几节内容的学习，我们进一步理解了平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理．

（1）想一想：

依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接正方形各边的中点．（如图）能得到—个怎样的图形呢？

先猜一猜，再证明．

想一想　　　　　　　　议一议

依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形．

这个题是先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．

证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用中位线的性质定理和正方形的性质来证明．要灵活应用这些性质

（2）议一议

（1）依次连结菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形？

（2）依次连接平行四边形四边的中点呢？

依次连结四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关？

有怎样的关系．

（3）已知在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，

四边形A1B1C1D1是矩形．

用类比的方法，证明了连结平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连结四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关？

有怎样的关系？

只要四边形的对角线互相垂直，那么连接这个四边形各边的中点所得到的图形就是矩形．

（4）做一做

ABCDXA表示一条环形高速公路，X表示一座水库，B、C表示两个大市镇．已知ABCD是一个正方形，XAD是一个等边三角形，假设政府要铺没两条输水管XB和XC，从水库向B、C两个市镇供水，那么这两条水管的夹角（即∠BXC）是多少度？

（图见课本）

（一）课本P90，随堂练习1．

（二）看课本P89～P90，然后小结．

这节课我们主要应用了本章的主要定理解决了一些实际问题，大家应掌握本章的主要定理及推论并会灵活应用．

四、课后作业

（一）课本P91习题3.6　1、2．

（二）总结本章的知识点．

1．依次连结任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形．

2．议一议

3．做一做：

回顾与思考

（一）

1．通过回顾与思考．进一步发展学生的推理论证能力．

2．通过回顾与思考，使学生能进一步掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形等有关的性质定理和判定定理，并会灵活应用．

探索证明的思路与方法．

对所学的公理、定理的灵活应用．

2006年　月　日

一、引入新课

本章的内容已经全部学完，这节课我们来进行复习回顾．

二、回顾与思考

分小组讨论

1．说说平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．

2．“等腰梯形在同一底上的两个角相等”与“等腰三角形的两个底角相等”的证明过程有什么联系？

矩形、菱形、正方形都是平行四边形．但它们都是有特殊性质的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而已是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角为直角的特殊菱形．它们的包含关系如图：

在命题的探索和证明过程中，蕴涵着一些数学思想方法．如：

归纳、类比、转化等．

1.性质结构；

2.判定结构

“矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形．正方形是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的特殊菱形．因此我们可以用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．”

回答下列问题：

①将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们所包含的关系中．如下图．

②要证明一个四边形是正方形，可以先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的_______相等；

或先证明四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是_________；

③如下图，某同学根据菱形的面积计算公式推导出对角线长为a的正方形面积是

a2，对此结论，你认为是否正确，若正确，给予证明，若不正确，举一个反例说明．

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F求证：

（1）△BDE≌△CDF；

（2）∠A＝90°

时，四边形AEDF是正方形．

本节课我们重点复习了本章所学的内容．在这一章里，不仅要理清特殊四边形之间的关系，还要会用几何推理来证明一些问题，而且还要体会数学思想方法在几何证明中的应用．

（一）课本P92复习题A组，1～9．

（二）复习总结《证明》

（一）、

（二）、（三）的知识内容，并梳理知识体系．

（三）完成一份小结，用白己的语言梳理本章的内容．

1．问题串

2．练习

3．课时小结

4．课后作业

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