考研数学强化班高等数学讲义汤家凤文档格式.docx
《考研数学强化班高等数学讲义汤家凤文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学强化班高等数学讲义汤家凤文档格式.docx（121页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（x
0）；
（n
1）n1
sin
（1）lim1sinx21cosx；
x0
tanx
x3ln（12x）
（4）limcos
sinx
x0
种类三：
利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题
x2
sinx；
etanx
ex
x（1
cosx）
2cosx
1]；
（4）lim（
）；
3[（
）
tan
（5）lim（3x）
ln（1
f（x））
f（x）
（6）设lim
A，求lim
a
lim
cosx
e2
xsinx
种类四：
极限存在性问题：
1．设x11,xn1
xn
0，证明数列{xn}收敛，并求limxn。
2．设f（x）在[0,
）上单一减少、非负、连续，an
f（k）f（x）dx（n1,2,），证明：
k
liman存在。
种类五：
夹逼定理求极限问题：
1．求lim
1sinnx
01
dx
2．lim（an
bn
cn）n（a,b,c非负）；
3．limn1
0）。
种类六：
含参数的极限问题：
1．设lim（x3sin3x
ax2
b）0，求a,b；
2．设lim
b）
3，求a,b；
ax
xx1
种类七：
中值定理法求极限：
1、limn2（arctan
arctan
2、limx2（e2x1
e2x1）。
种类八：
变积分限函数求极限：
etcostdt
1、lim
x1
x0（xtanx）（
xf（xt）dt
2、设f（x）连续，且f
（1）
1，则lim1
二、连续与中断的判断
x）,x
1．设f（x）
0,x
，议论函数f（x）在x
0处的连续性。
1x1
1x
2．议论f（x）
（2x
1）,x
0在x
1,x
三、连续性命题的证明
C[a,
）且lim
f（x）存在，证明
f（x）在[a,
）上有界。
2．设f（x）在[a,b]上连续，任取
p
0,q0，证明：
存在
（a,b），使得
pf（a）
qf（b）
（p
q））f（）。
第二讲
微分学
第一部分
一元函数微分学
内容复习（略）
（一）与导数定义有关的问题
1．设f
f（x0
h）
f（x0
（x0）存在，求lim
h
（
h0
2f（x）
在x
1处连续，且
f（x）
，求f
（1）。
．设
3．设f（x）在（
）上有定义，对随意的
x,y有f（x
y）
f（x）f（y），且f（0）
1，求
f（x）。
4．设f（x）二阶连续可导，且
1，f
（0）e，则limef（x）2
______。
5．设f（x）在（
）上有定义，且对随意的
x有f（x
2f（x），又当x[0,1]
时，有
x2），议论f（x）在x
处的可导性。
（二）各种求导数的问题
1．设ye
1xex，求y；
2．设y
x，求y；
e
3．y
x（x
1）（x
2）（x
100）
，求y（0）,y（101）
t
t）
y；
4．设y
f（x）由
t3
t2
确立，求d
y
dx2
5．设xy
yx，求dy；
6．设exy
tan（xy）
y，求dy
dxx0
7．设y
tet
确立，求dy；
y（x）由
tant2
3siny
ty2
8．设f（x）
2aex,x0
在x0
处可导，求a,b；
9arctanx
2b（x
1）3,x
9．求以下函数的导数：
（1）设y
2xcost2dt，求dy；
（2）设y
tf（t2
x2）dt，求dy；
10．设f（x）连续，
（x）
A，求
（x），并议论
（x）在x0处
f（xt）dt，且lim
的连续性。
11．设f（x）
g（x）
cosx,x
，此中g（x）二阶可导且g（0）1。
a,x
（1）当a为什么值时，
f（x）在x
0处连续；
（2）求f（x）；
（3）研究f（x）在x
0处的连续
性。
解答：
f（x）lim
g（x）
cosx
lim[g（x）
g（0）g（0）
cosx]
lim[g（x）g（0）
cosx]
g（0），
于是当a
g（0）时，f（x）在x
0处连续。
（2）当x0时，limf（x）
g（0）x
即f
（0）
1[1g
（0）]；
x[g（x）
f（0）
g（0）
limg（x）
sinx1[1g（0）]，
2x
sinx]g（x）cosx
当x
0时，f（x）
，于是
（0）,x
f
（x）
sinx]
cosx,x
（3）由于limf（x）
x[g（x）
lim[g（x）
cosx]
1[1
g（0）]
f（0），
因此f
（x）在x0处连续。
12．设f（x）在[
1,1]上可导，f（x）在x
0处二阶可导，且f（0）0,f（0）
4，求
f[ln（1
x）]
13．设f（x）
x2en（x
b
，求f（x），并议论f（x）的连续性和可导性。
n（x1）
（三）高阶导数问题
1．设yexsinx，求y（n）；
2．设yln（x2
3x
2）
，求y（n）。
3．设f（x）xln（1
x2）
，求f（49）（0）。
第二部分一元函数微分学的应用
附：
中值定理部分的推行
1．设f（x）在xx0的邻域内n阶连续可导，则有
f（x0）f（x0）（xx0）
f（n）（x0）（xx0）n
o（（xx0）n）。
n!
2．（导数零点定理）设f（x）
C[a,b]，在（a,b）内可导，且f（a）f（b）
0，则存在
（a,b），
使得f
（）
0。
3．（导数介值定理）设设
C[a,b]，在（a,b）内可导，且f
（a）
f（b），不如设
f（a）
（b），则对随意的
[f
（a）,f（b）]，存在
（a,b），使得f（
4．设
C[a,b]，且f
（x）0（
0），则有
（）f（x0）f（x0）（x
x0），等号成立当且仅当x
x0。
（一）中值定理等式的证明
目标表达式中仅含
不含端点字母，且导数之间相差一阶
1．设f（x）在[0,1]
上连续，在
（0,1）内可导，且f（0）
1,f
（1）
0，证明：
（0,1），使
得
2f（
f（）
2．设f（x）在[0,1]
上可微，且
f
（1）
33ex
1f（x）dx，证明：
（0,1），使得
3．设f（x）在[0,1]
（0,1）内可导，f（0）
0,f
（1）
证明：
（1,1），使得f（
（1）存在
（2）对随意的k
），存在
（0,
），使得
k[f（）]1。
目标表达式中含两此中值
1．设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f（x）0，证明：
存在,（a,b），使得
eb
ea
2．设f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，f（a）
f（b）
1，证明：
存在,
（a,b），使
f（
）f（
e。
3．设f（x）
C[0,1]，在（0,1）
内可导，且
0,f
（1）1，证明：
对随意的正数
a,b，存在
ab。
4．设f（x）
C[a,b]，在（a,b）内可导（a0），证明：
1,2,3
（a,b），使
f
（1）（ab）
f
（2）
（a2
abb2）
f（3）
22
332
目标表达式中含有端点和中值
1．设f（x）,g（x）
[a,b]，在（a,b）内可导，且g（x）
0，证明：
（a,b），使得
）
升级会员 