线性代数郝志峰习题详解文档格式.doc

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8、设，由得，即，利用，利用，这时.

9、设，由得，即，故，这时，其中为常数.

10、

（1）,故;

（2），故.

11、，

12、

（1）根据对称矩阵的性质：

，根据反对称矩阵的性质：

；

（2）根据可逆对称矩阵的性质：

13、

（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：

（2）先证必要性，若是反对称矩阵，则；

为反对称矩阵，为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即可交换.

再证充分性，若，则为反对称矩阵。

设为反对称矩阵，为对称矩阵，则，即为反对称矩阵.

14、.

15、

（1）；

16、，则。

17、用数学归纳法去证。

当时，.

当时，成立.

则时，，

故为正整数时，.

18、用归纳法去证.

当时，，等式成立；

则当时，

故为正整数时，成立.

而

19、因，而，故，则均可逆.

20、因，而，故.

21、设，则，

由；

即.

22、，则，而，，故.

23、

（1），其中，，而，故；

（2），其中，而，故.

24、

故.

（矩阵行阶梯形）（矩阵行最简形）.

26、

这是矩阵A的标准形D.

27、

这是矩阵的标准型.

28、在秩为的矩阵中，有阶子式、有阶子式，如的，其中有等于0的一阶子式、二阶子式.

29、

（1）

，故.

（2）

，故.

30、，

当时，；

31、先证必要性若，即初等变换后化为矩阵，而初等变换不改变矩阵的秩，故；

再证充分性设，由矩阵的等价标准形理论知，矩阵与有等价标准形，，即，由等价关系的传递性知.

习题三

1、.

2、，则.

3、

，这时.

当时，可由线性表示.

这时，，为矩阵行阶梯形，为矩阵行最简形，于是.

说明：

这一题可用克莱姆法则求解.

5、

（1）记，因为向量组不能由向量组线性表示，所以，从而

这时，；

，

这时.

6、

（1）因为，所以线性相关.

（2）因为，所以线性相关.

（3）因为，所以线性无关.

（4）因为是四维三个向量，所以线性无关.

（5）因为是二维三个向量，所以线性相关.

7、因为，所以.

8、

（1），则线性相关，但不能由线性表示.

（2），则存在，使

，但线性无关，线性无关.

（3），则只有时，使，但这时线性无关，而线性相关.

9、因为线性相关，由相关定义知，有一组不全为零的数使得，假设，则不全为零，由上式得.

由相关定义知，线性相关，这与题设矛盾，故，于是，则可由线性表示.

10、用反证法，设有两种不同表示法，，则，而线性无关，故，最后的结果说明表示式是唯一的.

11、先证必要性。

设线性无关，为任意维向量，若，则，即可由线性表示。

若，则线性相关，因向量的个数大于向量的维数，而线性无关，故可由线性表示（例9已证）.

再证充分性。

任一向量可由线性表示，则维单位向量也可由线性表示，而向量组与向量组等价，因为线性无关，所以也线性无关.

12、

（1）因为，所以极大无关组为，亦或或。

13、

为矩阵的行阶梯形，为矩阵的行最简形.

（1）由矩阵可见，线性无关，这是所求的极大无关组；

（2）；

（3）由矩阵可见，记，则，即。

14、

（1）两个向量不成比例，故线性无关；

包含的极大无关组为.

（3）.

15、先证向量组等价.显然向量组可由向量组线性表示.又，即，从而

这说明向量组可由向量组线性表示，故向量组等价.

再证秩相等。

则由向量组等价，且个数相同（均为），故。

16、由作为列构成矩阵.

，故，则

，故两个向量组可以互相线性表示，因而向量组等价.

17、

（1）；

（2）.

18、

（1）；

（2），即.

19、因为，所以已成正交，故，则

再单位化：

20、取，则，

，

21、

（1）不是正交矩阵，因第一行元素平方之和；

（2）是正交矩阵，因第行元素平方之和等于1，第行、第行对应元素之和等于零.

22、先证为对称矩阵：

再证为正交矩阵：

23、因都是阶正交矩阵，故；

而，故为正交矩阵.

习题四

，故，取，则，基础解系为.

（2）、，得同解方程组，取，得，故基础解系为.

2、

（1）通解为，（为任意实数）.

，得同解方程组，取，则，基础解系为，通解为.

3、，第一个方程与第二个方程对调，并乘第一个方程，得：

当时，此方程组有非零解.

4、

，故无非零解.

5、

（1）总有解（因）.只有零解，就没有基础解系；

有非零解，则存在基础解系；

基础解系不唯一，基础解系中含有个解向量.

（2）若已知的一个基础解系为，则的通解形式为，其中为任意实数.

（3）若是的基础解系，则也是的基础解系，这因为：

，即，由于线性无关，故，从而得.

（4）有非零解，且，则，这是正确的结论.

6、先证必要性.若三个向量共面，由共面的充要条件为，知齐次线性方程有非零解.

再证充分性.若齐次线性方程组有非零解，则，即三个向量共面.

7、设为的基础解系，由两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等，故等价的线性无关向量组可以为，则可由线性表示，从而也是的解.

又线性无关，的任一解可由线性表示，从而可由线性表示，这就说明也是一个基础解系.

8、设为的基础解系，又设为的线性无关解，由第7题可知，只要证明这两个解向量等价即可.

因为基础解系，故可由线性表示，即

因为线性无关，所以，则可由线性表示，因而这两个向量组等价.

9、利用原方程组与方程组同解，的秩相等，则可证明可由线性表示.

10、记，由，故是的解.反之，若是的解，则.

11、将通解改写为，由此可知，所求方程组有两个自由未知数，且对应的齐次线性方程组为，即，所给表达式为其通解.

12、因为，所以，对施以初等行变换，化为行阶梯形矩阵，

，要使，则必有，此时与同解方程组为，取，则有，故基础解系为

13、因，且中某元素的代数余子式，故存在非零的阶子式，从而可知，则基础解系中所含解向量的个数为.

14、

（1），即

则

同解方程组为，

则（其中为任意常数）.

15、

当时，方程组有唯一解.

当时，，因为，所以方程组无解.

，即有同解方程组，解为

其中为任意常数.

16、

，故，方程组有解.

17、

，当时，有解.

18、解一，，当时，方程组有唯一解.

当时，原方程组为；

，同解方程组为，

即（为任意常数）.

当时，原方程组为，即，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.

解二，对原方程组的增广矩阵施初等行变换，

于是，当时，原方程组无解；

当时，原方程组有唯一解；

当时，原方程组有无穷多组解，其全部解为（其中为任意常数），（或（为任意常数））.

19、

（1）若，则必有解，且有无穷多解.

（2）若，则必有解，且有唯一解.

（3）若只有零解，则有唯一解，这是错误的结论，因二者不一定相等.

20、设，得线性方程组为

其系数行列式，由此可见：

（1）当时，则方程组有唯一解；

故可由唯一的线性表示；

（2）当时，则方程组有无穷多解，故可由线性表示，这时；

（3）当时，则方程组的增广矩阵

因，故方程组无解；

从而不能由线性表示.

21、证一，用非齐次方程组解的定义去证：

因为，

所以是的解.

证二，用非齐次方程组解的结构定理去证：

因为是的解，则是的解，

所以也是的解，即

是的解.

22、

有解的充要条件为，故必要求.

23、由题设知均为的解，且线性无关，而为的解，则的通解为.

24、对增广矩阵施初等行变换，得

同解方程组为，取得，即得非齐次线性方程组的一个解为.对应齐次线性方程组，取得，即对应齐次线性方程组的基础解系为.

25、因为线性无关，且，所以，从而的基础解系中含个解向量，又由得，故是的一个基础解系；

又由得，即，可见是的一个特解，故的通解为（（为任意常数）.

26、四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩，又是的三个解向量，则，故的通解为（为任意常数）.

27、设小鸡、母鸡、公鸡的个数为，则，由

（2）得

，由得，即，

现求其正整数解为.

习题五

1、

（1），

，故的特征值.

当时，解方程，由

，得基础解系为，对应于全部特征向量为（的任意常数）.

当时，解方程，由，得基础解系为，对应于全部特征向量为（不同时为零的任意常数）.

（2），

，故的特征值为.

，得基础解系为，对应于全部特征向量为（任意常数）.

（3），故的特征值为.

当时，解方程，由，得基础解系中解向量个数为，因而任意三个线性无关的向量都是它的一个基础解系，不妨取三维单位向量组，就是对应特征值的特征向量，对应于全部特征向量为（不全为零的任意常数）.

此结论可推广至阶，不妨取个单位向量组，就是对应于特征值的特征向量。

2、由为矩阵的特征值知，从而；

把代入矩阵，通过计算得，故.

3、由两边左乘得，由得，即，因为，所以，由此得.

4、已知是的特征值，故是的一个特征值，则的一个特征值为.

5、因是的特征值，故，从而的特征值为，即

的特征值为，于是的特征值为，

因而.

6、用反证法设是A的属于特征值的特征向量，即

则由，得

即.

因是分别属于不同的特征值的特征向量，从而线性无关，故由上式得

即

这与矛盾，因而不是A的特征向量.

7、则；

相似对角矩阵为

8、

（1）A中有特征值1,3,0，有三个不同的特征值，故A可相似对角化.

（2）B中特征值为1,1,3，当时，

故的基础解系中仅含有一个向量

即只有一个线性无关的特征向量，故B不能相似对角化.

（3）由得C的特征值为1个6,2个0，当时，,这说明的基础解系由2个解向量组成，故有两个线性无关的特征向量，故C可相似对角化.

9、

（1）题设是属于特征值的特征向量，由得

即

（2）由得A的特征值为，因,故，

只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化.

10、

（1）因,故其特征多项式相同，即,这时，

令，得即令，得，即则.

（2）由

（1）知，故A与B的特征值为-1,2,-2

将代入得

，解方程组可求得一个基础解系为

故是A属于特征值的特征向量.

解方程组，可得一个基础解系为，是A属于特征值的特征向量.

将代入得

11、令，可使

由得

.

12、对称矩阵对应于不同特征值的特征向量互相正交，现已知对应于特征值的特征向量，故对应于特征向量为，则有即

解此方程组，由

即

令，解得，

将其单位化得

，

令，

则由得

13、对称矩阵对应于不同特征值的特征向量互相正交，现已知对应于特征值的特征向量，对应于特征值的特征向量则有即是齐次线性方程组的两个线性无关解，于是由方程组，即，令，则对应有.

将正交化，取

，再将单位化得

令

，则由

14、设，则由得

，即

15、由

求得A的特征值为

对应于解方程组，由

便得令，则对应有，得基础解系.

将正交化，取，

再将单位化得：

对应于，解方程组，

便得则对应有，于是基础解系，

将单位化得，将构成正交矩阵，有.

16、

（1）由§

5.2相似矩阵的性质（6），得

（2）令,则A,B有相同的多项式（即），但A,B不相似，否则存在可逆矩阵P,使，从而,矛盾.

（3）由A,B均为矩阵知A,B均相似对角矩阵，则有，即存在可逆矩阵使,于是.

17、由

得A的特征值，对应于的特征向量为，对应于的特征向量为，经正交化、单位化后，

使则

18、

A有特征值.

对应于，

故则

19、把用表示

则.

20、令.化A为对角矩阵，为此要找出P,使,求出,则

再作

原方程组的通解为

21、

（1）由

（2）.，

（3）.

习题六

1.其中

2.观察A,B发现，交换A的第1，2列，再交换A的第1,2行，即可的B,由初等变换可知，

左乘及右乘得，

3.A对调的第二、三列与第二、三行，由初等变换可知，左乘与右乘得

4.

故有特征值为，则的正惯性指数为2.

5.令

6.二次型矩阵为

故A有特征值可求得对应于对应的特征向量为

单位化得：

正交变换为：

7.二次型矩阵与标准形矩阵为

在正交变换下相似，故有

则A的特征值为3,3，-3.

对，由求得基础解系为这就是对应于线性无关特征向量（）。

对，由求得基础解系为这就是对应于的特征向量。

因不正交，故需正交化，令

再单位化得：

所用的正交变换为

8.因。

9.写出二次型矩阵由求得A有特征值为，则的标准形为.

10.二次型矩阵为作初等变换

则可作可逆变换化为标准形.

11.令.

12.写出二次型矩阵由求得A有特征值为，若规形为，说明两个特征值为正，一个为零.则若即符合题意.

若这时不符合题意.

若，这时不符合题意.

13．写出二次型矩阵

得A有特征值为

当由

取得基础解系为这就是对应于的特征向量.

当时，由得基础解系为

当6时，由得基础解系为

对于对称矩阵不同的特征值的特征向量已成正交，故只需单位化，有

令，经正交变换，二次型化为标准形

当时，有

，这时

14.

（1）二次型矩阵

，故A为正定.

（2）二次型矩阵

故为负定.

15.对任意，由为正定矩阵，A为对称矩阵，总有

由此对任意，恒有只有零解，从而可逆.

16.设则，令则，这时

，上式表明，对任意，总有，于是由定义知：

为正定二次型.

17.

（1）证一，因为正定矩阵，故为正定二次型，又由于正定二次型进行非奇异线性变换所得的二次型仍为正定的，故对经变换后得仍为正定二次型，故为正定矩阵.

证二，根据对称矩阵为正定的充要条件是的特征值全大于零，设是的一个特征值，是的等于的一个特征值，则，从而，因而是的特征值，而是正定矩阵，故，因此的全部特征值大于零，故是正定矩阵（见P27倒数第5行）.

（2）因均为正定矩阵，故均为对称矩阵，从而为对称矩阵，且为正定二次型，于是，对不全为零的实数令有,故即二次型为正定的，则为正定矩阵.

18、,即为对称矩阵，又对于任意，有故为正定矩阵。

19，记则二次型的矩阵为

因

故的特征值为可求得对应的特征向量为

单位化得

因而正交变换为，即

化二次曲面方程为标准方程.

20、记原二次曲面方程的左边为，则其中，因二次型经正交变换化为，故A的特征值为再由

21，矩阵A经初等变换的矩阵B，故A与B等价。

用初等变换知因为,所以A与B相似，合同。

22,因为且A与B为同型矩阵，所以矩阵A与B等价，又因为A与B特征值不等，所以A与B不相似，再因矩阵A与B，若故A与B不合同。

23、，

，在驻点（0,0,1）处的赫斯矩阵为

因故为负定矩阵，因而的极大值.

习题七

1.

（1）任取由矩阵的定义及矩阵的加法，数乘的定义，可知这就是说二阶矩阵的集合,对于矩阵的加法和数乘运算是封闭的，又根据加法和数乘运算满足的运算规律，可知这两种运算满足线性运算的八条规律，因此据线性空间的定义，对于矩阵的加法和数乘运算，集合构成线性空间.

今在线性空间中取一个向量组

显然，是一个线性无关组，又对任意,有,即中的任意向量都可由向量组线性表示，故为的一个基，维数为4.

（2）.由于是的子集，只要验证对于矩阵的加法和数乘运算封闭即可，任取,其中有,又任意,因,故,这就是说集合对于矩阵的加法和数乘运算是封闭的，据线性空间的定义对于矩阵的加法和数乘运算，集合构成线性空间，今在线性空间中取一向量组

显然，是一个线性无关组，又对任意其中有

即中的任意向量可由向量组线性表示，故是中的一个基，维数为3.

2.因由,得则此全部解向量组成的集合对于中加法不封闭，故集合不构成线性空间.

3、设的维数为，如果那么与都是零空间，则.

当时，任取的一个基由于,且的维数为，故也是的一个基，因此中每个向量都可由它线性表示，而的任意线性组合都是中的向量，故，从而.

4.证一，用基的定义去证.令则有欲使等式成立，只有

，由此得可见线性无关，因而它是一个基.

证二，用基变换去证.因是一个基，且

5、解一.设则问题转化为求解线性方程组，于是对增广矩阵施以初等变换，使之变为行最简形矩阵：

，

解得故，即向量在所给基下的坐标列为.

解二.在中取单位坐标向量组作为另一组基，则在下的坐标列就是它自己，即，今记，由于,此即说明由基到基的过渡矩阵是,故据坐标变换公式，向量在另一个基下的坐标列为,则问题转化为求.

解得，故，

即向量在所给基下的坐标为.

6、设过渡矩阵为，由得，由

可知，

7.设由基到基的过渡矩阵为，由

因向量在基下的坐标就是它自己，而在基下的坐标由坐标变换公式为，故要使在两个基下有相同的坐标列，必须且需，即，亦即，这是一个，对系数矩阵施以初等行变换，化为行最简形矩阵：

令，故得的基础解系为，从而求得在两个基下有相同坐标的向量为（其中为任意常数）.

8.设，

（其中为任意常数），合同变换的线性变换.

9、设，则

（1）,而

而，

故当且仅当时才是线性变换.

（2）

而

故

因而不是线性变换.

（3），

而

故，

因而是线性变换.

10、

（1）因，故平面上该变换是表示以轴为镜面的镜面反射映射，或者说，像与源关于轴对称.

（2）因，故平面上该变换是表示以直线

为镜面的镜面反射映射，或者说，像与源关于对称.

即，故在此基下的矩阵为.

12、由得基到基的过渡矩阵为

求出，

故.

13．因，由基到基的过渡矩阵，求出，

故

14，按线性变换定义去证。

设

有

故为线性变换（其中为任意常数）.

由得，

故 .