高考数学专题突破 37Word文件下载.docx

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0）的长轴长等于a.（　×

题型一　椭圆的简单性质

例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m（m>

0）的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标．

考点　椭圆的简单性质

题点　通过所给条件研究椭圆的简单性质

解　椭圆方程化为标准形式为＋＝1，且e＝.

（1）当0<

m<

4时，由e＝＝，解得m＝3，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，

焦点坐标为F1（－1,0），F2（1,0），

顶点坐标为A1（－2,0），A2（2,0），B1（0，－），B2（0，）．

（2）当m>

4时，由e＝＝，解得m＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，

焦点坐标为F1，F2，

顶点坐标为A1，A2，B1（－2,0），B2（2,0）．

反思感悟　解决椭圆的简单性质问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义求椭圆的基本量．

跟踪训练1　

（1）椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（　　）

A.B.

C．2D．4

考点　椭圆简单性质的应用

题点　由椭圆的简单特征求参数

答案　A

解析　∵椭圆x2＋＝1的焦点在x轴上，

∴a2＝1，b2＝m，则a＝1，b＝，

又长轴长是短轴长的两倍，∴2＝4，即m＝.

（2）对椭圆C1：

0）和椭圆C2：

0）的简单性质的表述正确的是（　　）

A．范围相同B．顶点坐标相同

C．焦点坐标相同D．离心率相同

答案　D

解析　椭圆C1：

0）的范围是－a≤x≤a，－b≤y≤b，顶点坐标是（－a,0），（a,0），（0，－b），（0，b），焦点坐标是（－c,0），（c,0），离心率e＝；

椭圆C2：

0）的范围是－a≤y≤a，－b≤x≤b，顶点坐标是（－b,0），（b,0），（0，－a），（0，a），焦点坐标是（0，－c），（0，c），离心率e＝，只有离心率相同．

题型二　利用简单性质求椭圆的标准方程

例2　

（1）椭圆过点（3,0），离心率e＝，求椭圆的标准方程．

（2）如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为－，求这个椭圆的方程．

题点　由椭圆的几何特征求方程

解　

（1）∵所求椭圆的方程为标准方程，

又椭圆过点（3,0），∴点（3,0）为椭圆的一个顶点．

①当椭圆的焦点在x轴上时，（3,0）为右顶点，则a＝3.

∵e＝＝，∴c＝a＝×

3＝，

∴b2＝a2－c2＝32－（）2＝9－6＝3，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

②当椭圆的焦点在y轴上时，（3,0）为右顶点，则b＝3，

∵e＝＝，∴c＝a，

∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，

∴a2＝3b2＝27，

综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.

（2）依题意，设椭圆的方程为＋＝1（a>

0），

由椭圆的对称性，知|B1F|＝|B2F|，

又B1F⊥B2F，

∴△B1FB2为等腰直角三角形，

∴|OB2|＝|OF|，即b＝c.

|FA|＝－，

即a－c＝－，且a2＝b2＋c2，

将上面三式联立，得

解得

∴所求椭圆方程为＋＝1.

反思感悟　解决利用简单性质求椭圆的标准方程问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．

跟踪训练2　如图，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为________．

答案　＋＝1

解析　设所求椭圆方程为＋＝1（a>

由题意知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.

∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.

∴S△ABF＝·

|AF|·

|BO|＝（a－c）·

b

＝（2b－b）b＝2－，

解得b2＝2，则a＝2b＝2.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

题型三　求椭圆的离心率

命题角度1　利用焦点三角形性质求椭圆的离心率

例3　椭圆＋＝1（a>

0）的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

题点　求椭圆离心率的值

答案　－1

解析　方法一　如图，

∵△DF1F2为正三角形，

N为DF2的中点，

∴F1N⊥F2N，∵|NF2|＝c，

∴|NF1|＝

＝＝c，

由椭圆的定义可知|NF1|＋|NF2|＝2a，

∴c＋c＝2a，

∴e＝＝＝－1.

方法二　在焦点△NF1F2中，∠NF1F2＝30°

，

∠NF2F1＝60°

，∠F1NF2＝90°

由离心率公式和正弦定理，得

e＝＝＝

＝

＝－1.

反思感悟　涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a与c的关系或利用e＝求解．

跟踪训练3　设F1，F2是椭圆E：

0）的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°

的等腰三角形，则E的离心率为（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　如图，设直线x＝交x轴于D点，

因为△F2PF1是底角为30°

的等腰三角形，

则有|F1F2|＝|F2P|.

因为∠PF1F2＝30°

所以∠PF2D＝60°

，∠DPF2＝30°

所以|DF2|＝|F2P|＝|F1F2|，

即－c＝×

2c，即＝2c，

即＝，

所以椭圆的离心率为e＝.

命题角度2　利用a，c的齐次式，求椭圆的离心率（或其取值范围）

例4　

（1）设椭圆C：

0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率为________．

答案　

解析　直线AB：

x＝c，代入＋＝1，

得y＝±

∴设A，B.

∴

＝＝＝－，

∴直线BF1：

y－0＝－（x＋c），

令x＝0，则y＝－，

∴D，∴kAD＝＝.

由于AD⊥BF1，∴－·

＝－1，

∴3b4＝4a2c2，

∴b2＝2ac，即（a2－c2）＝2ac，

∴e2＋2e－＝0，

∴e＝＝，

∵e>

0，∴e＝＝＝.

（2）若椭圆＋＝1（a>

0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°

（F1，F2为椭圆的两个焦点），则椭圆的离心率e的取值范围是________．

题点　求离心率的取值范围

解析　椭圆＋＝1（a>

0），－b≤y≤b.

由题意知，以F1F2为直径的圆与椭圆至少有一个公共点，

则c≥b，即c2≥b2，

所以c2≥a2－c2，

所以e2≥1－e2，即e2≥.

又0<

1，

所以e的取值范围是.

反思感悟　若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．

跟踪训练4　设A，B是椭圆C：

＋＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°

，则椭圆C的离心率的取值范围是________．

解析　由题意知≤，

∵e＝，∴≤e<

1.

椭圆简单性质的应用

典例　神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行，实现了中国人民的航天梦想．某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆，地心为椭圆的一个焦点，如图所示．假设航天员到地球的最近距离为d1，最远距离为d2，地球的半径为R，我们想象存在一个镜像地球，其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上，上面住着一个神仙发射某种神秘信号，需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到，则传送神秘信号的最短距离为（　　）

A．d1＋d2＋RB．d2－d1＋2R

C．d2＋d1－2RD．d1＋d2

题点　椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性

解析　设椭圆的方程为＋＝1（a>

0），半焦距为c，两焦点分别为F1，F2，飞行中的航天员为点P，由已知可得则2a＝d1＋d2＋2R，故传送神秘信号的最短距离为|PF1|＋|PF2|－2R＝2a－2R＝d1＋d2.

[素养评析]　将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系．利用椭圆的简单性质来解决航空航天问题，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力.

1．椭圆25x2＋9y2＝1的范围为（　　）

A．|x|≤5，|y|≤3

B．|x|≤，|y|≤

C．|x|≤3，|y|≤5

D．|x|≤，|y|≤

题点　椭圆范围的简单应用

答案　B

解析　椭圆方程可化为＋＝1，

所以a＝，b＝，

又焦点在y轴上，所以|x|≤，|y|≤.故选B.

2．已知椭圆C1：

＋＝1，C2：

＋＝1，则（　　）

A．C1与C2顶点相同

B．C1与C2长轴长相同

C．C1与C2短轴长相同

D．C1与C2焦距相等

解析　由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为（±

2，0），（0，±

2），长轴长为4，短轴长为4，焦距为4；

C2的顶点坐标为（±

4,0），（0，±

2），长轴长为8，短轴长为4，焦距为4.故选D.

3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1

B.＋＝1

C.＋＝1或＋＝1

D．以上都不对

解析　由2a＋2b＝18,2c＝6，c2＝a2－b2，得a＝5，b＝4，

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.

4.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是（0,13），另一个顶点是（－10,0），则焦点坐标为________．

题点　由椭圆的几何特征求参数

答案　（0，±

）

解析　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为（0，±

）．

5．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为________．

解析　根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9（舍去）．

又因为a2－b2＝c2，

所以a＝5，c＝4，故e＝＝.

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．

2．根据椭圆的简单性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．

3．与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆可设为＋＝1.

4．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用.

一、选择题

1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋＝1

C.＋＝1D.＋＝1

解析　依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.

所以所求椭圆的方程为＋＝1.

2．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是（　　）

A.＋y2＝2

B．x2＋＝1

C.＋y2＝1或x2＋＝1

D．4x2＋y2＝1

考点　椭圆的性质的应用

解析　由题意知2b＝2，且a2＋b2＝5，得a＝2且b＝1，

由于椭圆焦点所在的位置不定，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或x2＋＝1.

3．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（2,0）的椭圆的方程是（　　）

A.＋y2＝1

B.＋y2＝1或x2＋＝1

C．x2＋4y2＝1

D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16

解析　若焦点在x轴上，则a＝2.

又e＝，∴c＝.

∴b2＝a2－c2＝1，

∴方程为＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.

若焦点在y轴上，则b＝2.

又e＝，∴＝1－＝，

∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1，即4x2＋y2＝16.

4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）

C.D.

题点　求椭圆的离心率的值

解析　如图，|OF1|＝c，|OB|＝b，

则|BF1|＝a，

设原点到l的距离为d，则ad＝bc，

∴d＝，

又d＝×

2b，则＝b，

∴e＝＝.

5．已知焦点在y轴上的椭圆＋y2＝1，其离心率为，则实数m的值是（　　）

A．4B.

C．4或D.

解析　∵焦点在y轴上，∴a2＝1，b2＝m，

∴e＝＝＝＝，

∴m＝.

6．已知椭圆C：

0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　）

A.＋＝1B.＋y2＝1

解析　由e＝得＝.①

∵△AF1B的周长为4，由椭圆定义，

得4a＝4，得a＝.

代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，

∴C的方程为＋＝1.

7．从椭圆＋＝1（a>

0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（　　）

考点　椭圆性质的应用

题点　求椭圆的离心率

解析　由题意可设P（－c，y0）（c为半焦距），

则kOP＝－，kAB＝－，

∵OP∥AB，∴－＝－，即y0＝.

把P代入椭圆方程，得＋＝1，

∴2＝，∴e＝＝.

8．已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有（　　）

A．3个B．4个

C．6个D．8个

题点　椭圆对称性的应用

解析　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；

同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；

当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P共有6个．故选C.

二、填空题

9．已知长方形ABCD，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．

考点　椭圆的离心率问题

题点　由a与c的关系式得离心率

解析　如图，|AB|＝2c＝4，

∵点C在椭圆上，

∴|CB|＋|CA|＝2a＝3＋5＝8，

∴e＝＝＝.

10．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<

e≤，则长轴长的取值范围是________．

答案　（2,4]

解析　∵e＝＝，

∴0<

≤，

得1<

a≤2，∴2<

2a≤4.

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a>

0）的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°

，则椭圆的离心率是________．

解析　∵∠BAO＋∠BFO＝90°

∴∠BAO＝∠FBO，

∴tan∠BAO＝tan∠FBO，

即＝，得b2＝ac，

∴a2－c2＝ac，

即e2＋e－1＝0，

∵0<

1，∴e＝.

三、解答题

12．已知椭圆C1：

＋＝1，若椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．

（1）求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

（2）写出椭圆C2的方程，并研究其性质．

题点　由条件研究椭圆的简单性质

解　

（1）由椭圆C1：

＋＝1，可得其长半轴长为10，

短半轴长为8，焦点坐标（6,0），（－6,0），离心率e＝.

（2）椭圆C2：

＋＝1，性质：

①范围：

－8≤x≤8，－10≤y≤10；

②对称性：

关于x轴、y轴、原点对称；

③顶点：

长轴端点（0,10），（0，－10），短轴端点（－8,0），（8,0）；

④离心率e＝.

13．已知F1，F2是椭圆＋＝1（a>

0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，若·

＝0，椭圆的离心率等于，△AOF2的面积为2，求椭圆的方程．

题点　椭圆性质的综合应用

解　如图，∵·

＝0，

∴AF2⊥F1F2.

∵椭圆的离心率e＝＝，

∴b2＝a2.

设A（x，y）（x>

0，y>

由AF2⊥F1F2知x＝c，

∴A（c，y）代入椭圆方程得＋＝1，

∴y＝.

∵△AOF2的面积为2，

∴S△AOF2＝cy＝2.

即c·

＝2.

∵＝，∴b2＝8，

∴a2＝2b2＝16，

∴椭圆方程为＋＝1.

14.如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

解析　∠B1PB2为与的夹角，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距的长度分别为a，b，c，则＝（－a，b），＝（－c，－b），

∵当向量的夹角为钝角时，·

<

0，

∴ac－b2<

0，又b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2>

不等式两边同除以a2，得1－e－e2>

0，即e2＋e－1<

0，解得<

又∵0<

1，∴0<

.

15.设椭圆方程为＋＝1（a>

0），F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B（如图）．

（1）若∠F1AB＝90°

，求椭圆的离心率；

（2）若＝2，·

＝，求椭圆的方程．

解　

（1）若∠F1AB＝90°

，则△AOF2为等腰直角三角形，

所以有OA＝OF2，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

（2）由题意知A（0，b），F1（－c,0），F2（c,0）．

其中c＝，设B（x，y）．

由＝2，得（c，－b）＝2（x－c，y），

解得x＝，y＝－，即B.

将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，

即＋＝1，解得a2＝3c2.①

又由·

＝（－c，－b）·

＝，

即b2－c2＝1，

即有a2－2c2＝1.②

由①②解得c2＝1，a2＝3，

从而有b2＝2.

所以椭圆方程为＋＝1.