分类讨论方法在物理解题中的应用.docx
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分类讨论方法在物理解题中的应用
分类讨论方法在物理解题中的应用
全国高等学校统一考试物理科考试说明中提出了五种能力要求：
理解能力，推理能力，分析综合能力，应用数学知识处理物理问题的能力，实验与探究能力。
这五种能力要求都联系着一种共同的思想方法-分类讨论。
所谓分类讨论，通俗地说就是分情况讨论，在很多的物理问题中，研究的对象和过程具有多元性，因而决定了相互间作用和运动情况以及可能结果的多样性，正确运用分类讨论的方法，才能使研究的问题变得清晰、条理，研究方向变得明确，因而得到问题的完整解。
即使是理解能力的层次，也会涉及把较复杂的问题分解为若干简单的问题，然后各个击破，作出正确判断或者得到合理结论；对推理、分析综合能力层次的问题更加离不开分类讨论；在运用数学知识处理物理问题时，往往求解得到的相关中间结果，必须经过分类讨论才能得到最终正确答案；在物理实验与探究能力层次，对实验条件、过程的控制和结果的预期等，都应用到分类讨论的思想。
本文将通过几个具体的案例来说明分类讨论思想在物理解题中的应用。
[TP12GW142。
TIF，Y#]
例1滑雪者从A点由静止沿斜面滑下，沿一平台后水平飞离B点，地面上紧靠平台有一个水平台阶，空间几何尺度如图1所示，斜面、平台与滑雪板之间的动摩擦因数为μ。
假设滑雪者由斜面底端进入平台后立即沿水平方向运动，且速度大小不变。
求：
滑雪者从B点开始做平抛运动的水平距离s。
分析本题平抛落点具有不确定性，需分类讨论。
由于试题中的相关条件是以字母呈现的，因此，随着物理量间关系的不同，滑雪者从B点开始做平抛运动会出现两种可能，一是vB比较小滑雪者将落在台阶上，二是vB比较大滑雪者将落在地面上。
因此，求解必须分两种情况讨论，阐明两种情况对应的条件和结果。
解设滑雪者质量为m，斜面与水平面夹角为θ，滑雪者滑行过程中克服摩擦力做功
[JZ]Wf=μmgcosθ・s+μmg（L-scosθ）=μmgL。
AB由动能定理mg（H-h）-Wf=[SX（]1[]2[SX）]mv2，
离开B点时的速度v=[KF（]2g（H-h-μL）[KF）]。
（1）设滑雪者离开B点后落在台阶上
[JZ][SX（]h[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]gt21，
[JZ]s1=vt1
可解得[JZ]s1=[KF（]2h（H-h-μL）[KF）]，
此时必须满足[JZ]H-μL
（2）当H-μL>2h时，滑雪者直接落到地面上，
[JZ]h=[SX（]1[]2[SX）]gt22，s2=vt2，
可解得[JZ]S2=2[KF（]h（H-h-μL）[KF）]。
[TP12GW143。
TIF，Y#]
例2如图2，质量为M、长为L、高为h的矩形滑块置于水平地面上，滑块与地面间动摩擦因数为μ；滑块上表面光滑，其右端放置一个质量为m的小球。
用水平外力击打滑块左端，使其在极短时间内获得向右的速度v0，经过一段时间后小球落地。
求小球落地时距滑块左端的水平距离。
分析本题两物体停止运动的先后具有不确定性，需分类讨论。
试题的条件也是用字母呈现的，当小球离开滑块下落的同时，滑块作匀减速运动，一种可能是小球落地时滑块还在运动，第二种可能是滑块停止运动时小球还未落地。
解小球下落前滑块的加速度
[JZ]a1=[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]，
滑块做匀减速运动，到小球开始下落时的速度
[JZ]v=[KF（]v20-2a1L[KF）]，
小球落地时间[JZ]t1=[KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]，
小球离开滑块后，滑块的加速度a2=[SX（]μMg[]M[SX）]=μg，
按此加速度，滑块停止运动时间
[JZ]t2=[SX（]v[]a2[SX）]=[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]。
（1）若小球落地时间大于或等于滑块停止时间，即
[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]≥[SX（][KF（]v20-2[SX（]μ（M+m）g[]M[SX）]L[KF）][]μg[SX）]，
则小球落地时距滑块左侧
[JZ]s=[SX（]v2[]2a2[SX）]=[SX（]v20[]2μg[SX）]-[SX（]（M+m）L[]M[SX）]。
（2）若小球落地时间小于滑块停止时间，即
[JZ][KF（][SX（]2h[]g[SX）][KF）]
则小球落地时距滑块左侧
[JZ]s=vt-[SX（]1[]2[SX）]a2t2=[KF（][SX（]2h[]g[SX）]v20-[SX（]4μ（M+m）Lh[]M[SX）][KF）]-μh。
[TP12GW144。
TIF，Y#]
例31932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器。
回旋加速器的工作原理如图3所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计。
磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直。
A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，在加速器中被加速，加速电压为U。
加速过程中不考虑相对论效应和重力作用。
实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制。
若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm、fm，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。
分析本题条件Bm、fm所决定的Ekm具有不确定性，需分类讨论。
由Ek=[SX（]1[]2[SX）]mv2=[SX（]1[]2[SX）]m（2πR・f）2可知，粒子的最大动能取决于加速电场的频率，而加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即f=[SX（]qB[]2πm[SX）]，当磁感应强度为Bm时，加速电场的频率应为fBm≤fm，当≤时，粒子的最大动能由Bm决定。
当fBm≥fm时，粒子的最大动能由fm决定。
解
（1）当fBm≤fm时，qvmBm=m[SX（]v2m[]R[SX）]，解得Ekm=[SX（]q2B2mR2[]2m[SX）]。
（2）当fBm≥fm时，vm=2πfmR，解得Ekm=2π2mf2mR2。
例4甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏。
甲和他的冰车的质量共为M=30kg，乙和他的冰车的质量也是30kg。
游戏时，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为v0=2。
0m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来。
为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。
[TP12GW145。
TIF，Y#]若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于地面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
分析本题最终甲和乙运动速度（大小、方向）具有不确定性，需分类讨论。
设甲推出箱子后的速度大小为v甲，乙接到箱子后的速度大小为v乙。
v甲、v乙及其是否相碰情况列表（表1）分析如下。
[JZ][HT6]表1
[BG（！
][BHDFG2，WK6，K10，K8W]
v甲[]v乙[]甲乙碰撞情况
[BHD]向左[]向右[]不相碰
[BH]0（静止）[]向右[]不相碰
[BHDG10，WK6，K18W]向右
[][ZB（][BHDG2，WK10，K8W]向左[]相碰
[BH]0（静止）[]相碰
[BHDG6，WK4，K14W]向右
[][ZB（][BHDG2，WK6，K8W]
v甲
[BH]v甲=v乙[]恰不相碰
[BH]v甲>v乙[]相碰[ZB）][ZB）][BG）F]
表中相关判断必须考虑系统动量守恒，系统总动量是向右的。
解设箱子推出后其速度为v，甲孩的速度为v1，根据动量守恒可得
mv+Mv1=（m+M）v0
（1）
设乙孩抓住箱子后其速度为v2，根据动量守恒可得
（m+M）v2=mv-Mv0
（2）
刚好不相碰的条件要求v1=v2（3）
由
（1）、
（2）、（3）三式可解得
v=[SX（]m2+2mM+2M2[]m2+2mM[SX）]・v0，
代入数值可得[JZ]v=5。
2m/s。
例5如图5所示，A为放在水平光滑桌面上的长方形物块，在它上面放有物块B和C。
A、B、C的质量分别为m、5m、m。
B、C与A之间的静摩擦因数和滑动摩擦因数皆为0。
1。
K为轻滑轮，绕过轻滑轮连接B和C的轻细绳都处于水平位置。
现用沿水平方向的恒定外力F拉滑轮，使A的加速度等于0。
20g，g为重力加速度。
在这种情况时，B、A之间沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，C、A之间沿水平方向的作用力的大小等于[CD#3]，外力F的大小等于[CD#3]。
[TP12GW146。
TIF，Y#]
分析本题A、B、C三个物体相对运动关系具有不确定性，需分类讨论。
A、B、C的相对运动可以分以下几种情况：
（1）A、B、C三物体相对静止；
（2）A、B、C三物体均有相对运动；（3）B、C相对静止他们与A有相对运动；（4）A、C相对静止他们与B有相对运动；（5）A、B相对静止他们与C有相对运动；
现对几种情形逐一分析。
（1）假设该情形成立，对ABC整体，由牛顿第二定律F=7ma得F=1。
4mg，对滑轮有F=2T，即T=0。
7mg，对物体C，合力FC=0。
2mg，可得A给C必须有向左的摩擦力f1=0。
5mg，而AC间最大摩擦力为fCA=0。
1mg，显然矛盾，即ABC不可能相对静止，情形1不可能。
（2）假设该情形成立，对A，fBA+fCA=maA，将fBA=0。
5mg，fCA=0。
1mg，maA=0。
2mg代入，显然矛盾，即不可能出现ABC三物体均有相对运动，情形2不可能。
（3）由对情形2的分析可知，情形3也不可能。
（4）假设该情形成立，先讨论第一种可能性aAC>aB，对AC由牛顿第二定律：
T-fAB=2maA，将fAB=0。
5mg，maA=0。
2mg代入得：
T=0。
9mg。
对B由牛顿第二定律：
T+fAB=5maB，解得：
aB=0。
28g>aAC，与假设矛盾，假设不成立；再讨论第二种可能性aAC
（5）假设该情形成立，合理的情景是C相对AB向右滑，对AB整体，由牛顿第二定律：
T+fCA=6maA，其中，fCA=0。
1mg，aA=0。
2g，可解得T=1。
1mg，对A，由牛顿第二定律：
fBA+fCA=maA，解得fBA=0。
1mgaA情形合理。
根据以上讨论，情形5成立，而且是本题中ABC相对运动关系唯一存在的可能。
解根据以上情形5的讨论，AC间摩擦力为滑动摩擦，大小为fAC=0。
1mg，对B，由牛顿第二定律：
T-fAB=5maA，解得fAB=0。
1mg，即AB间为静摩擦力，A给B的静摩擦力方向向左。
对滑轮，有F=2T=2。
2mg。
[TP12GW147。
TIF，Y#]
例6如图6所示，待测区域Oxyz空间存在匀强电场和匀强磁场，根据带电粒子射入时的受力情况可推测其电场和磁场。
已知粒子质量为m，电荷量为+q。
当粒子以不同速度水平向右射入待测区域，刚进入时的受力大小均为F。
现保持粒子进入待测区域时的速度大小为v0（不变），使粒子沿不同的坐标轴方向射入待测区域，粒子刚射入时的受力大小如表2所示（不考虑粒子受到的重力）。
请推测该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向。
[JZ][HT6]表2
[BG（！
][BHDFG2，WK6，K5＼。
4W]
射入方向[]y[]-y[]z[]-z
[BHD]受力大小[][KF（]5[KF）]F[][KF（]5[KF）]F[][KF（]7[KF）]F[][KF（]3[KF）]F
[BG）F]
分析本题电场强度E和磁感应强度B的大小、方向具有不确定性，需分类讨论。
根据题目提供的信息，按如下程序进行讨论。
（1）磁场方向平行于x轴。
由沿x轴方向射入时的受力情况可知，粒子不受磁场力，B必定平行于x轴，方向有沿±x两种情况。
电场强度的大小E=F/q，方向待进一步讨论。
（2）电场的z分量等于零。
由粒子沿±y进入，磁场力分别沿z轴的负方向和正方向，而粒子受电场力与磁场力的合力不变，故电场力的z分量必定为零，因此，电场E的z分量等于零。
（3）粒子沿±y或±z进入，磁场力f大小等于2F。
设B沿+x方向。
粒子沿±y进入或±z进入，磁场力大小均为f=qv0B，粒子沿±y进入时磁场力方向分别沿-z和+z；粒子沿±z进入时磁场力方向分别沿+y和-y；
设电场力的x、y分量分别为Fx、Fy。
当v0沿x方向时，F2x+F2y=F2，
当v0沿y方向时，F2x+F2y+f2=5F2
（1）
解以上两式可得[JZ]f=2F。
（4）确定磁感应强度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。
由f=2F及f=qv0B可解得B。
（5）确定电场力的两个分力Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=[SX（]1[]2[SX）]F。
当v0沿+z方向时，F2x+（Fy+f）2=7F2
（2）
当v0沿-z方向时，F2x+（Fy-f）2=3F2（3）
解
（2）、（3）得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=[SX（]1[]2[SX）]F。
（6）确定电场方向与x轴正方向的夹角为30°或150°。
由以上解得的Fx、Fy可作出图7所示矢量关系的平行四边形，容易得到电场E和x正方向的夹角α1=30°或α2=150°。
[TP12GW148。
TIF，BP#]
（7）设B沿-x方向。
确定电场方向与x轴正方向的夹角为-30°或-150°。
重复以上（3）～（6）讨论，将
（1）、
（2）、（3）式中的磁场力改为-f，
可解得Fx=±[SX（][KF（]3[KF）][]2[SX）]F，Fy=-[SX（]1[]2[SX）]F。
同样，可作出图8所示矢量关系的平行四边形，容易得到电场E和x正方向的夹角α1=-30°或α2=-150°。
[TP12GW149。
TIF，BP#]
解根据以上分析，该区域中电场强度和磁感应强度的大小及可能的方向表述如下。
电场强度大小E=F/q。
电场强度的方向和Oxy平面平行，且与x轴方向的夹角为30°或150°（磁场B沿+x方向）。
电场强度的方向和Oxy平面平行，且与x轴方向的夹角为-30°或-150°（磁场B沿-x方向）。
磁感应强度大小B=[SX（]2F[]qv0[SX）]。
磁感应强度方向可能沿+x方向也可能沿-x方向。
从以上几例的研究可以发现，物理问题的不确定性，可能是由于条件的不确定性引起的，可能是由于过程的不确定性引起的，也可能是由于结果的不确定性引起的，我们要克服思维定势，培养发散思维能力，自觉养成分类讨论的习惯，追求物理解题的完整和完美。
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