第十一章 尺寸链的设计基础3.docx

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第十一章尺寸链的设计基础3

第十一章尺寸链的设计基础

前面我们已经学习了单个零件或相互配合的两个零件的尺寸公差、形位公差，但是仅仅进行这样一些几何精度的设计还是不够的，因为机械产品由零部件组成，零部件之间只有保持正确、合理的尺寸关系，才能实现其运动要求，满足其预定的功能要求。

而且由于机器零部件的尺寸、形状和位置之间彼此相互联系，因此有必要从整体装配的角度出发，根据产品的技术要求，分析影响装配精度与技术要求的因素，经济合理的确定零件的尺寸公差与形位公差，使产品获得最佳的技术经济效益。

所有这些可以通过尺寸链加以解决。

第一节尺寸链的基本概念

11.1.1尺寸链的定义及其特征

在机器装配或零件加工过程中，由相互连接的尺寸形成的尺寸组称为尺寸链。

尺寸链有以下两个基本特征：

（1）封闭性尺寸链必须由一系列相互连接的尺寸排列成封闭的结构。

这是尺寸链的表现形式。

（2）相关性尺寸链中任一独立尺寸的变化，将影响到其它尺寸，尺寸之间相互联系和影响。

这是尺寸链的实质。

图11.1为齿轮部件中各零件尺寸轴向定位要求形成的尺寸链。

齿轮两端各有一个挡板，轴槽中装有开口卡环。

齿轮需要相对于轴回转，因此，齿轮端面与挡板之间必须有间隙（为方便说明，图中将间隙集中画在一侧）。

对此间隙的大小有直接影响的尺寸是齿轮宽度A1，左挡板宽度A2，轴上的轴肩到轴槽尺寸A3，卡环宽度A4以及右挡板宽度A5五个尺寸。

间隙A0与这五个尺寸连接成封闭的尺寸组，形成尺寸链。

图11-1齿轮部件装配尺寸链

图11.2为托架位置（平行度、垂直度）形成的尺寸链。

托架零件图上标注孔轴线对底面的平行度公差A1＝0.03mm，右端面对轴线的垂直度公差A2＝0.05mm，这样便决定了该端面对底面的垂直度公差A0。

由A1、A2与A0连接形成的封闭尺寸组，形成尺寸链。

图11-2托架尺位置公差及其尺寸链

11.1.2尺寸链的组成和分类

1．尺寸链的组成

尺寸链是由环组成的.尺寸链中的每一个尺寸称为环。

如图11-1中的A0，A1，A2，A3，A4及A5，图11-2中的A0，A1及A2。

尺寸链中，环又可以分为封闭环和组成环。

（1）封闭环

尺寸链中在装配过程中或加工过程最后自然形成的一环，称为封闭环。

对于单个零件的加工来说，封闭环通常是零件设计图样上未注尺寸；对于装配图而言，封闭环通常是对有关要素间的联系提出的技术要求，如位置精度、装配间隙或过盈等，它是将事先已获得尺寸的零、部件进行装配以后才形成并得到保证的。

封闭环通常用符号“A0”来表示。

如图11-1和11-2中的A0

（2）组成环

尺寸链中处封闭环以外的每个环都称为组成环。

这些环中任一环的变动，必然引起封闭环的变动。

标准中组成环用A1、A2、A3、···An-1（n为尺寸链的总环数）表示。

如图11-1中A1、A2、A3、A4和A5。

根据组成环对封闭环的影响效应，可以把组成环分为增环和减环。

增环尺寸链中的某一组成环，该组成环的变动引起封闭环的同向变动。

所谓同向变动是指该组成环增大时封闭环也增大，该组成环减小时封闭环也减小。

本书约定增环用“A（+）”表示，如图11-1中的A3。

减环尺寸链中的某一组成环，该组成环的变动引起封闭环的反向变动，称为减环。

所谓反向变动是指该组成环增大时封闭环减小，该组成环减小时封闭环增大。

本书约定减环用“A（—）”表示，如图11-1中的A1，A2，A4及A5。

协调环在进行尺寸链反计算时，需要预先设定某一组成环，当其它组成环的精度确定以后，再通过计算确定该环，以使封闭环达到设计要求，这一预先设定的环称为协调环。

（3）传递系数

表示各组成环对封闭环影响大小的系数，称为传递系数。

它等于组成环在封闭环上引起的变动量与该组成环本身的变动量之比。

通常用ξ表示，对于增环，ξ为正值，对于减环ξ为负值。

2．尺寸链的分类

为了便于分析和计算尺寸链，通常可以从不同的角度对尺寸链加以分类。

1.按尺寸链的功能分类

（1）装配尺寸链全部组成环为不同零件设计尺寸所形成的尺寸链。

如图11-1所示。

（2）零件尺寸链全部组成环为同一零件设计尺寸所形成的尺寸链。

如图11-3所示。

（3）工艺尺寸链全部组成环为同一零件工艺尺寸所形成的尺寸链。

如图11-4所示。

图11-3零件尺寸链图11-4工艺尺寸链

2.按尺寸链的几何特征分类

（1）长度尺寸链全部环为长度尺寸的尺寸链。

如图11-1所示。

（2）角度尺寸链全部环为角度尺寸的尺寸链。

如图11-2所示。

3.按环的空间位置分类

（1）直线尺寸链全部组成环都平行于封闭环的尺寸链。

如图11-1所示。

（2）平面尺寸链全部组成环位于一个或几个平行平面内，但某些组成环不平行于封闭环的尺寸链。

可以用投影方法把各环尺寸换算在同一个方向上，使之成为线性尺寸链。

（3）空间尺寸链组成环位于几个不平行的平面内的尺寸链。

这类尺寸链可以通过两次投影变换而成为线性尺寸链。

4.按组成环的性质分类

（1）标量尺寸链全部组成环为标量尺寸的所形成的尺寸链。

如图11-1～11-4所示。

（2）矢量尺寸链全部组成环为矢量尺寸的所形成的尺寸链。

如图11-5所示。

图11-5矢量尺寸链

3.尺寸链建立的步骤

1.确定封闭环

对于装配尺寸链，封闭环为我就是装配后应达到的精度要求。

如保证机器可靠工作的相对位置尺寸和保证机器正常运动的间隙。

例如11-1所示的齿轮部件中，由于齿轮要在轴上回转，因此，齿轮端面分别与左、右挡板之间应有间隙，并且该间隙应控制在一定的范围之内，由于该间隙是在装配过程中自然形成的，所以它就是封闭环。

对于零件尺寸链，封闭环应为公差等级要求最低的环，一般在零件图上不进行标注。

对于工艺尺寸链，封闭化使加工以后自然形成的、需要间接保证的那个尺寸。

加工顺序不同，封闭环也不同，所以要在加工顺序确定之后才能判断。

2.查找组成环

查找组成环的方法应该从封闭环的一端开始，依次找出会影响封闭环的各个尺寸，直到封闭环的另一端为止。

3.画尺寸链图，判断增、减环

将尺寸链中各尺寸依次用带箭头的线段连接，直到与封闭环另一端连接，并分析判断各环的增、减性。

11.1..3尺寸链计算的任务和分析方法

1.尺寸链计算的任务

解尺寸链就是根据封闭环与各组成环之间的函数关系，利用已知环的基本尺寸、极限偏差，求出未知环的基本尺寸、极限偏差。

（1）正计算

当已知各个组成环的基本尺寸及其上下偏差，而要求封闭环的基本尺寸及其上下偏差。

正计算常用于验证设计和审核图纸尺寸标注的正确性，也称作校核计算。

（2）中间计算

当已知封闭环及其它n-1个组成环的基本尺寸及其上下偏差。

而剩余一个组成环的基本尺寸及其上下偏差待求，这类计算常用在工艺计算上。

（3）反计算

当已知封闭环的基本尺寸及其上下偏差以及所有组成环的基本尺寸，而组成环的公差和极限偏差未知。

这类计算主要用于设计上，即根据机器的使用要求来分配各组成环的公差，因此也叫设计计算。

2.尺寸链计算的方法

极值法（又称完全互换法）这种方法不考虑各环实际尺寸的分布情况，按尺寸链各组成环的极限值进行计算，按该方法解尺寸链装配时各组成环不需挑选或辅助加工装配后即能达到封闭环的公差要求，可以实现完全互换性。

概率法（又称大数互换法）这种方法以保证大多数同规格的零件具有互换性为出发点。

在相同公差条件下，概率法解尺寸链能放宽组成环公差，降低加工成本，具有较好的技术经济效益，适用于大批量生产。

在某些场合下，装配精度要求高，而生产条件无法满足时或为了避免成本过高，可用分组互换法、修配法和调整法。

第二节极值法解尺寸链

极值法又称完全互换法，它是从尺寸链各环的极限值出发来进行计算的，用这种方法能够保证完全互换性。

这是尺寸链计算中最基本的方法。

11.2.1基本公式

1.直线尺寸链的计算

（1）基本尺寸的计算封闭环基本尺寸A0等于所有增环基本尺寸A（+）之和减去所有减环基本尺寸A（—）之和，即：

（11-1）

式中：

n—组成环数；m—增环数。

（2）极限尺寸计算封闭环最大极限尺寸A0max等于所有增环最大极限尺寸A（+）max之和减去所有减环最小极限尺寸A（-）min之和；封闭环最小极限尺寸A0min等于所有增环最小极限尺寸A（+）,min之和减去所有减环最大极限尺寸A（-）max之和，即：

（11-2）

（11-3）

（3）极限偏差的计算封闭环的上偏差ES0等于所有增环的上偏差ES（+）之和减去所有减环下偏差EI（-）之和；封闭环的下偏差EI0等于所有增环的下偏差EI（+）之和减去所有减环的上偏差ES（-）之和，即：

（11-4）

（11-5）

（4）公差的计算由式（11-2）减去（11-3）或式（11-4）减去（11-5），即得封闭环的公差：

封闭环的公差（T0）等于各组成环公差（Ti）之和，即：

（11-6）

由式11-6可知，为了提高尺寸链封闭环的精度，可以通过缩小组成环的公差（Ti）或者减小尺寸链环数（n）。

前者将使制造成本提高，因此设计中主要是采取措施减小尺寸链环数，这就是结构设计中应遵循的“最短尺寸链”原则。

2.平面尺寸链的计算

平面尺寸链与直线尺寸链不同，它要考虑到不等于±1的传递系数ξi。

封闭环的基本尺寸A0与各组成环的基本尺寸Ai的关系为：

（11-7）

封闭环的公差

（11-8）

11.2.2尺寸链的计算

1.校核计算

例11-1如图11-6所示的零件，图样标注的尺寸为A1＝500-0.24mm，A2=100-0.15mm，A3=15±0.12mm，求解尺寸A0。

解：

本例中的尺寸A0时需要间接保证的尺寸，应根据A1、A2、A3来校核A0，因此A0为封闭环，其余尺寸A1、A2和A3为组成环，其中A1为增环，A2和A3为减环。

图11-6校核计算举例

由尺寸A0、A1、A2和A3四个线性尺寸首尾相连画出尺寸链图，如图11-6所示。

封闭环A0的基本尺寸为：

A0＝A1－A2－A3＝50－10－15＝25mm

封闭环的上、下偏差为：

ES0＝ES1－EI2－EI3＝0－（－0.15）－（－0.12）＝＋0.27mm

EI0＝EI1－ES2－ES3＝（－0.24）－0－（＋0.12）＝－0.36mm

封闭环的公差T0＝ES0－EI0＝（＋0.27）－（－0.36）＝0.63mm

所以A0＝25＋0.27－0.36。

2.中间计算

例11-2如图11-7所示一阶梯轴零件，其加工顺序为：

先截取总长度A1＝600－0.054mm，再加工右端小径外圆A2＝220－0.033mm，再按长度A3车左端小径外圆，并保证尺寸A4＝20＋0.054－0.066mm。

求A3。

解：

本例中尺寸链由A1、A2、A3、A4四个尺寸组成，按照加工的先后顺序，只有A4使加工后自然形成的，因此A4是封闭环，即有A4＝A0，其余A1、A2、A3都是组成环，因此画出尺寸链图如图11-7所示。

图11-7中间计算举例

在A1、A2、A3当中显然有A1增环，A2、A3为减环。

则A3的基本尺寸

A3＝A1－A2－A0＝90－25－45＝18mm

A3的基本偏差：

ES3＝EI1－ES2－EI0＝（－0.054）－0－（－0.066）＝+0.012mm

EI3＝ES1－EI2－ES0＝0－（－0.033）－（＋0.054）＝－0.021mm

所以A3＝18＋0.012－0.021mm.

验算：

由题中的已知条件可置封闭环的公差T0

T0＝|ES0－EI0|＝|（＋0.054）－（－0.066）|＝0.12mm

将本题的计算结果待入式11-8，可得到的封闭环的公差为：

T0＝T1＋T2＋T3

＝|ES1－EI1|＋|ES2－EI2|＋|ES3－EI3|

＝0.054＋0.033＋0.033＝0.12mm

计算结果正确，符合设计要求。

3.设计计算

如前所述设计计算是根据封闭环的精度决定各组成环的精度，即根据封闭环的公差和极限偏差来确定各组成环的公差和极限偏差。

显然，仅仅根据尺寸链的精度关系公式还不能完全确定各组成环的精度。

要将封闭环的精度分配到各组成环上，需要确定一些约束条件，即精度的分配方法。

通常采用“等公差法”和“等精度法”。

当各组成环的基本尺寸相差不大时，可将封闭环的公差“平均分配”给各组成环，称为等公差法。

（11-9）

当各组成环的基本尺寸相差较大时，采用各环公差等级相等的方法将封闭环的公差分配到各组成环，即各环的公差等级系数相等，设其均值为aav，则：

a1＝a2＝···＝an-1＝aav

基本尺寸小于500mm时，公差值按下式计算：

按照等公差等级的原则，各组成环的公差等级系数相等，设为aav，可得：

（11-10）

确定各组成环的公差之后，按照“入体原则”确定其极限偏差，即对于孔，其基本偏差取H，对于轴，其基本偏差取h。

特殊情况，对于组成环是包容或被包容面尺寸，如中心距尺寸，其基本偏差按JS计算。

例11-3在图11-1中，根据使用要求，间隙A0应在0.05～0.35mm之间，已知各零件的基本尺寸为A1＝30mm，A2＝5mm，A3=43mm，A4=30-0.05mm，A5=5mm，求各个尺寸的上下偏差。

解第一步首先确定封闭环。

显然，在图11-1中装配后自然形成的尺寸是A0，因此，它就是封闭环。

第二步画出尺寸链。

按图11-1中各零件的位置顺序，依次画出A3、A2、A1、A0、A5和A4，形成封闭回路。

第三步判断增环和减环。

依次判断各组成环的增减性，如图11-1中增环为A3，减环为A1、A2、A4和A5，为应用计算公式做好准备。

计算封闭环的基本尺寸及其极限偏差和公差。

封闭环的基本尺寸A0为：

A0=A3－（A1＋A2＋A4＋A5）＝43－（30＋5＋3＋5）＝0（mm）

封闭环的上下偏差分别为；

ES0＝A0max－A0＝0.35－0＝+0.35（mm）

EI0＝A0min－A0＝0.05－0＝+0.05（mm）

封闭环的公差T0

T0＝|A0max－A0min|＝|ES0－EI0|＝|0.35-0.05|＝0.30（mm）

计算各组成环的公差：

根据式11-10和表可求得平均公差等级系数

≈62

查标准公差的计算公式确定各组成环的公差等级为IT10（IT10＝64i）。

查标准公差的数值表得：

（已知）

计算协调环A5的公差

按照“入体原则”确定除：

“协调环”之外的各组成环的极限偏差：

A1=300－0.084，A2＝50－0.048，A3=30＋0.10。

计算协调环的上、下偏差：

＝0－0－0－0－0.05

＝－0.05mm

＝0.1－（－0.084）－（－0.048）－（－0.05）－（＋0.35）

＝－0.068mm

则有

A5=5－0.050－0.058

最后结果为：

A1=300－0.084，A2=50－0.048，A3=30＋0.10，A5=5－0.050－0.058。

第三节概率法计算尺寸链

在成批和大量生产中，正常情况下各组成环的实际尺寸趋近极限尺寸平均值的概率较大，趋近极限尺寸的概率较小，由于各组成环的获得无相互联系，他们皆为独立随机变量，因此它们形成的封闭环也是随机变量，其实际尺寸也按一定的规律分布。

概率法是根据各组成环的尺寸分布情况，按统计公差公式进行计算的。

应用此法进行装配时，绝大多数产品的组成环不需挑选或改变其大小、位置，即可达到封闭环的公差要求。

11.3.1基本公式

根据概率论关于独立随机变量的合成规则，各组成环（独立随机变量）的标准偏差与封闭环的标准偏差σ0的关系为：

（11-11）

式中：

σi—尺寸链中第i各组成环的标准偏差。

如果各组成环的实际尺寸都为正态分布，并且分布范围与公差带宽度一致，分布中心与公差带中心重合，如图11-8所示，则封闭环的实际尺寸也服从正态分布，各环公差与标准偏差关系如下：

（11-12）

即封闭环的公差等于所有组成环公差的平方和的方根。

由图11-1可见，各组成环的中间偏差为其上下偏差的平均值。

封闭环的中间偏差Δ0和组成环的中间偏差Δi分别为：

（11-13）

（11-14）

各组成环的中心尺寸为极限尺寸的平均值，封闭环的中间尺寸A0中为封闭环的基本尺寸A0与其中间偏差Δ0之和

（11-15）

组成环的中间尺寸Ai中为封闭环的基本尺寸Ai与其中间偏差Δi之和

（11-16）

（11-15）和（11-16）两式相加以后取平均值可得：

（11-17）

即封闭环中间尺寸等于所有增环的中间尺寸之和减去所有减环的中间尺寸之和，将以上公式整理得

（11-18）

即封闭环中间偏差等于所有增环的中间偏差之和减去所有减环的中间偏差之和。

如果组成环的实际尺寸不服从正态分布，或是组成环分布中心偏离公差带中心，那么本节所述公式应加以修正。

用概率法计算尺寸链的步骤基本上与极值法相同。

但在计算封闭环和组成环的上下偏差时，需要先算出它们的中间偏差。

11.3.2解尺寸链

概率法（大数互换法）解尺寸链，根据不同的要求，也有正计算、反计算和中间计算三种类型。

例11-4对例题11-1采用（概率法）大数互换法求解。

在图11-1（a）中，根据使用要求，间隙A0应在0.05～0.35mm之间，已知各零件的基本尺寸为A1＝30mm，A2＝5mm，A3=43mm，A4=30-0.05mm，A5=5mm，求各个尺寸的上下偏差。

解；

（1）画尺寸链图，如图11-1所示。

（2）查找封闭环，各组成环以及判断它们的增减性。

（3）采用等精度法计算各组成环的公差，其中：

≈128

公差等级系数a接近于IT11＝100i，故从标准公差数值表可知：

T1＝0.13mm，T2＝0.075mm，T3＝0.16mm，T4＝0.06mm，T5＝0.075mm

（为了充分利用公差，也可以在满足上式的前提下将协调环尺寸（如A5）的公差适当放大）

（4）确定各组成环的极性偏差

按照“入体原则”确定除“协调环”之外的各组成环的极限偏差：

A0＝0＋0.35＋0.05，A1=300-0.13mm，A2＝50-0.075mm，A3=430-0.16mm，A4=30-0.05mm。

则：

Δ0＝＋0.2mm，Δ1＝－0.065mm，Δ2＝－0.0375mm，Δ3＝－0.08mm，Δ4＝－0.025mm，

所以Δ5＝Δ3－Δ0－Δ1－Δ2－Δ4＝－0.08－（＋0.2）－（－0.065）－（－0.0375）－（－0.025）＝－0.1525mm

ES5＝Δ5＋T5／2＝－0.1525＋0.0375＝－0.115mm

EI5＝Δ5－T5／2＝－0.1525－0.0375＝－0.190mm

所以：

A5＝5－0.115－0.190mm。

通过本例的两种解尺寸链的方法可以看出，与完全互换法解尺寸链相比，概率法解尺寸链可以扩大组成环的公差，实际上，根据统计这种公差的扩大所造成的产品不合格率仅为0.27％，却可以获得相当明显的经济效益。

思考题与练习题

11-1什么是尺寸链？

它有何特点？

11-2如何确定尺寸链的封闭环？

下列说法是否正确？

（1）尺寸链中未知的环就是封闭环；

（2）尺寸链中精度要求最高的环就是封闭环。

11-3解尺寸链的方法有哪几种？

分别适用于什么场合？

11-4在分配各零件公差时，“等精度法”和“等公差法”各适用于什么场合？

11-5有一孔、轴配合，装配前孔和轴均需镀铬，镀层厚度均为（10±2）μm，镀后应满足30H8/f7的配合，求孔和轴在镀铬前的尺寸应为多少？

（用完全互换法求解）

11-6某厂加工一批曲轴、连杆及轴承衬套等零件，如图11-9所示。

经调试运转，发现有的曲轴肩与轴承衬套端面有划伤现象。

依照设计要求，A0＝0.1～0.2mm，A1＝150＋0.0180mm，A2＝A3＝75－0.02－0.08mm，试用完全互换法验算上述给定零件尺寸的极限偏差是否合理？

图11-9曲轴、连杆及衬套装配图

思考与练习题参考答案

11-1：

略

11-2：

略

11-3：

略

11-4：

略

11-5解：

查表得：

ø30f7＝ø30-0.020-0.041mm，ø30H8＝ø30＋0.0330mm。

分别建立轴和孔的尺寸链图，如图11-20所示。

对于轴的尺寸链：

A0＝15-0.0100-0.0205mm是镀层后的半径，封闭环A1是镀层前的半径，是增环；

图11-20习题11-5参考答案尺寸链

A2＝0mm是镀层的厚度，也是增环。

A1＝A0－A2＝（15－0）mm＝15mm

由于ES0＝ES1＋ES2所以ES1＝ES0－ES2＝（－0.010－0.012）mm＝－0.022mm

又EI0＝EI1＋EI2所以EI1＝EI0－EI2＝（－0.0205－0.008）mm＝－0.0285mm

故镀层前轴的半径为15-0.0020-0.0205mm，直径为ø30-0.044-0.057mm.

同理，对于孔的尺寸链：

B0＝15+0.01650mm是镀层后的半径，封闭环B1是镀层前的半径，是增环；B2＝0+0.012+0.008mm是镀层的厚度，是减环。

B1＝B0＋B2＝（15＋0）mm＝15mm

由于ES0＝ES1－ES2所以ES1＝ES0＋ES2＝（＋0.0165＋0.008）mm＝＋0.0245mm

又EI0＝EI1－EI2所以EI1＝EI0＋EI2＝（0＋0.012）mm＝＋0.012mm

故镀层前孔的半径为15＋0.0245＋0.012mm，直径为ø30＋0.049＋0.024mm.。

11-6解：

建立尺寸链，如图11-21所示。

图11-21习题11-6参考答案尺寸链

A0＝0＋0.2＋0.1mm是应保证的间隙，是封闭环；

A1＝150＋0.0180mm是曲轴轴间的距离，是增环；

A2＝A3＝75—0.02－0.08mm时轴承层套的厚度，是减环。

按照零件给定的极限偏差验算：

ES0＝ES1－ES2－ES3＝［（＋0.018）－（－0.08）－（－0.08）］mm＝＋0.178mm

EI0＝EI1－EI2－EI3＝［0－（－0.02）－（－0.02）］mm＝＋0.04mm

不能满足0.1～0.2mm的间隙要求，若有形位误差的影响，就会产生划伤现象，所以零件给定的极限偏差不够合理。

主要参考文献

［1］张玉刘平主编几何量公差与测量技术沈阳东北大学出版社1999年9月

［2］高晓康主编几何精度设计与检测上海上海交通大学出版社2002年1月

［3］刘品张也晗主编机械精度设计与检测基础哈尔滨哈尔滨工业大学出版社2003年1月

［4］孙玉芹孟兆新主编机械精度设计基础北京科学出版社2003年8月

［5］潘淑清主编几何精度规范学北京北京理工大学出版社2003年8月