多边形教案.docx
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多边形教案
第9章 多边形
三角形
第1课时认识三角形
教学目的
1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念。
2.会将三角形按角分类。
3.理解等腰三角形、等边三角形的概念。
重点、难点
1．重点：
三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念。
2．难点：
三角形的外角。
教学过程
一、引入新课
在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。
本章我们将学习三角形的基本性质。
二、新授
1．三角形的概念：
（1）什么是三角形呢?
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。
如图：
AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。
（如点A）三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。
A（顶点）
边
B C
（2）三角形的内角，外角的概念：
每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC。
每个三角形有几个内角?
三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。
A
外角
B C D
与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?
它们之间有什么关系?
练习：
（1）下图中有几个三角形?
并把它们表示出来。
A
D
B C
（2）指出△ADC的三个内角、三条边。
学生回答后教师接着问：
∠ADC能写成∠D吗?
∠ACD能写成∠C吗?
为什么?
（3）有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?
AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗?
（4）∠BDC是△BCD的什么角?
是△ACD的什么角?
∠BCD是△ACD的外角，对吗?
（5）请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。
2．三角形按角分类。
让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?
并用量角器或三角板加以验证。
1 2 3
第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角。
所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形。
三角形按角分类可分为：
锐角三角形（三个内角都是锐角）
直角三角形（有一个内角是直角）
钝角三角形（有一个内角是钝角）
3．等腰三角形、等边三角形的概念：
让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点?
1 2 3
经过观察，测量可知：
第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等（AB＝AC）；第三个三角形的三边都相等。
（1）等腰三角形：
两条边相等的三角形叫等腰三角形。
相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图
（2）AB、AC是这个等腰三角形的腰。
（2）等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形（或正三角形）
问：
等边三角形是不是等腰三角形?
[等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形]
三角形按边来分，可分为：
三边都不相等的三角形
只有两边相等的三角形
等边三角形
三、巩固练习
教科书图9．1．6中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角边、直角三角形、钝角三角形。
四、小结
l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角。
2．三角形的分类：
按角分为三类：
①锐角三角形，②直角三角形，③钝角三角形。
按边分为三类：
①三边都不相等的三角形；②等腰三角形。
等边三角形只是等腰三角形中的一种特殊的三角形。
五、作业
教科书第61页练习1、2。
第2课时三角形的中线、角平分线、高
教学目的
掌握三角形的角平分线、中线、高线的概念，并会画出任意三角形的角平分线、中线、高线，特别注意钝角三角形高的画法。
让学生从实践中得到三角形的三条中线、角平分线、高分别交于一点，直角三角形三条高的交点就是直角顶点，钝角三角形有两条高位于三角形的外部。
重点、难点
1．重点：
三角形角平分线、中线、高的概念及其画法。
2．难点：
钝角三角形高的画法。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫角平分线?
如何画一个角的平分线?
2．已知A、B分别是直线l上和直线l外一点，分别过点A、点B画直线l的垂线。
lA
·B
3．三角形按角分类可分为哪几种?
二、新授
今天我们要学习三角形中的三种重要线段——中线、角平分线和高。
1．三角形的中线：
三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线。
如图，点D是BC边的中点，即AD是△ABC的中线。
问：
三角形有几条中线?
若已知AD是三角形的中线，你可得到什么结论?
2．三角形的角平分线：
三角形内角的平分线与对边的交点和这个内角顶点之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，∠1=∠2，那么CE是△ABC的角平分线。
问：
三角形有几条角平分线?
三角形的角平分线和角平分线有什么不同?
3．三角形的高：
过三角形顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高。
如图BF⊥AC，垂足为F，则BF是△ABC的高，三角形有3条高。
例1．如图△ABC，边BC上的高画得对吗?
为什么?
[分析]根据三角形高的概念，BC边上的高应是BC边所对的顶点A向BC作垂线，顶点A与垂足间的线段，所以
（1），
（2），（4）都错了，只有（3）是对的。
4．做一做：
让学生拿出昨天做的三个锐角三角形。
（1）分别画出中线、角平分线、高。
（2）你能用折纸的办法得到这些线段吗?
试一试。
（只要求折出一条中线、一条高，一条角平分线）
（3）把锐角三角形换成直角三角形、钝角三角形再试一试。
将你的结果与同伴进行交流。
5．议一议：
（1）一个三角形中三条中线（高、角平分线）之间的位置关系怎样?
[三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点]
（2）一个三角形的三条中线（角平分线）的交点与三角形有怎样的位置关系?
[三条中线（角平分线）相交于一点，这一点在三角形内部]
（3）直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系?
钝角三角形呢?
[直角三角形有一条高在三角形内部，另外两条就是直角三角形的两条直角边，三条高的交点就是直角三角形的直角顶点，钝角三角形有一条高在形内，两条高在形外，三条高所在的直线的交点在形外。
]
（4）你能折出钝角三角形的三条高吗?
三、巩固练习教科书第62页练习。
第l题也可以让学生剪下一个等腰三角形，用折纸的方法验证底边上的高、中线、角平分线互相重合。
四、小结：
1．三角形的三种重要线段——中线、高、角平分线的概念。
2．三角形的中线、高、角平分线的画法。
3．三角形的三条中线（高、角平分线）之间的位置关系以及它们与三角形间的位置关系。
五、作业 补充作业
第3课时三角形的外角和
（1）
教学目的
1．使学生在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2．利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和。
3．会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算。
重点、难点
1．重点：
掌握三角形外角的性质以及其外角的和。
2．难点：
在三角形外角的性质证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫三角形的外角?
三角形的外角和它相邻的内角之间有什么关系?
2．三角形的内角和等于多少?
二、新授
我们已经知道三角形的内角和等于180°。
现在我们探索三角形的外角及外角和。
如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角。
∠DAC是三角形的一个外角，内角BAC与它相邻，内角∠B、∠C与它不相邻。
问：
三角形的外角与和它相邻内角有什么关系?
（互补）
探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间的关系。
请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如教科书图所示的图形，然后把∠ACB、∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A、C、B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样。
请你用文字语言叙述三角形的一个外角与它不相邻的两个内角间的关系。
由此可知：
三角形外角有两条性质：
（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
如图：
D是△ABC边BC上一点，则有 ∠ADC＝∠DAB+∠ABD∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD A
问：
∠ADB＝∠（ ）+∠（ ）
2．探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”的方法。
BDC
（1）你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和呢?
（2）你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？
3、探索三角形的外角和
（1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相等的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和。
（2）探索三角形的外角和是多少？
（3）探索三角形的外角和是360°的证明方法。
三、巩固练习
教科书第64页练习1、2、3
四、小结
三角形的内角和与外角和各是多少？
三角形的外角有哪些性质？
五、作业
教科书第52页习题第3题。
第4课时三角形的外角和
（2）
教学目的
使学生能熟练灵活地利用三角形内角和，外角和以及外角的两条性质进行有关计算。
重点：
利用三角形的内角和与外角的两条性质来求三角形的内角或外角。
难点：
比较复杂图形，灵活应用三角形外角的性质。
教学过程
一、复习提问
1．三角形的内角和与外角和各是多少?
2．三角形的外角有哪些性质?
二、新授
例1．在△ABC中，∠A＝
∠B＝
∠C，求△ABC各内角的度数。
分析：
由已知条件可得∠B＝2∠A，∠C＝3∠A所以可以根据三角形的内角和等于180°来解决。
做一做：
如图,在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝80°，∠C＝46°A
（1）你会求∠DAE的度数吗?
与你的同伴交流。
（2）你能发现∠DAE与∠B、∠C之间的关系吗?
（2）若只知道∠B－∠C＝20°，你能求出∠DAE的度数吗?
分析：
（1）∠DAE是哪个三角形的内角或外角?
（2）在△ADE中，已知什么?
要求∠DAE，必需先求什么?
BDEC
（3）∠AED是哪个三角形的外角?
（4）在△AEC中已知什么?
要求∠AEB，只需求什么?
（5）怎样求∠EAC的度数?
三、巩固练习
如图，△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝60°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC，∠ADB的度数。
2．已知在△ABC中，∠A＝2∠B-10°，∠B＝∠C+20°。
求三角形的各内角的度数。
四、小结
三角形的内角和，外角的性质反映了三角形的三个内角外角是互相联系与制约的，我们可以用它来求三角形的内角或外角，解题时，有时还需添加辅助线，有时结合代数，用方程来解比较方便。
五、作业
补充作业
第5课时三角形的三边关系
教学目的
1.让学生通过作三角形（已知三条线段）的过程中，发现“三角形任何两边之和大于第三边”．并会利用这个不等量关系判断不知的三条线段能否组成三角形以及已知三角形的二边会求第三边的取值范围。
2．会利用三角形的稳定性解决一些实际问题。
重点、难点
1.重点；三角形任何两边之和大于第三边的应用。
2．重点：
已知三角形的两边求第三边的范围．
教学过程
一、复习提问
1.三角形的三个内角和是多少?
三角形的外角有什么性质?
2.在连结两点的所有线中最短的是哪一种?
二、新授
我们已探索了三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，今天我们要探索三角形的三边之间的不等量关系。
1．让学生拿出预先准备好的四根牙签（2cm，3cm，5cm，6cm各一根），请你用其中的三根，首尾连接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形?
若不是，哪些可以，哪些不可以?
你从中发现了什么?
从4根中取出3根有以下几种情况：
（1）2cm，5cm，6cm
（2）3cm，5cm，6cm（3）2cm，3cm，5cm（4）2cm，3cm，6cm
经过实践可知
（1）.
（2）可以摆出三角形，（3）、（4）不能摆成三角形。
我们可以发现在这三根牙签中。
如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。
这就是说：
三角形的任何两边的和大于第三边。
2．下面我们再通过用圆规、直尺画三角形来验证
画一个三角形；使它的三条边分别为7cm、5cm、4cm。
画法步骤如下：
（1）先画线段AB=7cm
（2）以点A为圆心，4cm长为半径画圆弧，
（3）再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；
（4）连接AC、BC．
△ABC就是所要画的三角形。
这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等。
试一试：
能否画一个三角形，使它的三边分别为
（1）7cm，4cm，2cm
（2）9cm，5cm，4cm
大家在画图过程中，发现两条弧不会相交，这就是说不能作出三角形。
你能否利用前面说过的线段的基本性质来说明这一结论的正确性?
例1．有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一个三角形，你说第三根要多长呢?
用长度为3cm的木棒行吗?
为什么?
长度为14cm的木棒呢?
3．三角形的稳定性。
教师演示简易的教具——用木条钉成的三角形和四边形，用力一拉四边形变形了，而三角形却一点不变。
这就是说三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了。
三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
四边形就不具有这个性质。
三角形的稳定性在生产、生活实践中有着广泛的应用；如桥拉杆、电视塔架底座，都是三角形结构（如教科书、图9.1.13）
你能举出三角形的稳定牲在生产、生活中应用的例子吗?
三、巩固练习教科书第66页练习1、2、3。
四、小结
本节课我们研究、探索了三角形中边的不等量关系，三角形任何两边的和大于第三边。
注意“任何”两宇，如三角形的三边分别为a、b、c，则a+b>c，a+c>b，b+c>a都成立才可以，但如果确定了最长的一条线段，只要其余两条线段之和大于最长的一条，它们必定可以构成三角角形。
如果已有两条线段，要确定第三条应该是什么样的长度才能使它们构成三角形?
第三边的取值范围是大于这两边的差而小于这两边的和。
五、作业
教科书第67页，习题第1、4题。
多边形的内角和与外角和
教学目的
1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。
2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会利用它们进行有关计算。
重点、难点
1．重点：
多边形的内角和与外角和定理。
2．难点：
多边形的内角和，外角和定理的推导。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫三角形?
2．三角形的内角和是多少?
3．什么叫三角形的外角?
什么叫外角和?
三角形的外角和是多少?
二、新授
1．多边形的概念，
三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但习惯称三角形）。
我们知道：
不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。
你能说出什么叫四边形、五边形吗?
如图
（1）它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。
（按顺时针或逆时针方向书写）
DD
C
ACE
AB
B
图
（2）是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE。
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n边形，又称多边形。
与三角形类似如图，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。
一个n边形有n个内角，有2n个外角。
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等。
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。
问：
（1）四边形有几条对角线?
（两条AC、BD）
（2）五边形有几条对角线?
以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以月为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。
所以只有5条。
（3）六边形有几条对角线?
n边形呢?
六边形有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引（n-3）条，（除本身这个点以及和这点相邻的两点外），那么n个顶点，就有n（n-3）条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。
大家可以加以验证：
当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；当n=5时，有5条：
当n=6时，有9条…
2．多边形的内角和公式。
三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?
让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。
从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。
让学生填写教科书表8.3.1由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?
n边形的内角和＝（n-2）·180°知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。
例1．一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数。
问题：
一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形?
分析：
正多边形的每个内角都相等。
多边形的内角和等于（n-2）·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?
这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?
请你试一试。
对有困难的学生教师可以加以引导。
如图（教科书图9.2.5）每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以P为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。
因此，n边形的内角和为：
n·180°-360°＝n·180°-2·180°=（n-2）·180°
问：
还有其他方法吗?
让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。
3．多边形的外角和。
什么叫多边形的外角和。
与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，
得到的和称为多边形的外角和，如教科书图9.2.6，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形的外角和。
多边形的外角和是否也可以用公式表示呢?
下面我们也来探讨。
因为n边形的一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可先求出多边形的内角与外角的总和，再减去内角和，就可得到外角和。
让学生填写填教科写表9.2.2
n边形的内角与外角的总和为n·180°
n边形的内角和为（n-2）·180°
那么n边形的外角和为n·180°－（n－2）·180°=n·180°-n·180°+360°=360°
这就是说多边形的9L角和与边数无关，都等于360°。
例2．一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数。
分析：
正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角度数，就可知是几边形了。
点拨；多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
三、巩固练习
1．教科书第70页练习1、2。
第2题引导学生从外角考虑，多边形的内角是锐角，那么和这个内角相邻的外角是什么样的角?
[钝角]
多边形的外角和是360°，那么在这些外角中钝角的个数最多可以是几个?
3个可以吗?
4个呢?
让学生动手算一算，由他们自己得出结论．
从而得到最多可以有3个外角是钝角，即多边形的内角中最多可以有3个是锐角。
四、小结
本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为（n-2）·180°。
这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。
由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内角的问题转化为外角和来处理。
五、作业
教科书P71习题第1、2、3、4题。
用正多边形拼地板
第1课时 用相同的正多边形拼地板
教学目的
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式。
2．通过“拼地板”和有关计算，使学生从中发现能拼成一个不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的内角相加要等于360°。
3．使学生进一步认识图形在日常生活中的应用。
重点、难点
1．重点：
通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键。
2．难点：
同上。
教学过程
一、复习提问
1．多边形的内角和公式是什么?
外角和?
2．什么叫正多边形?
二、新授
本章开头已提出关于瓷砖的铺设问题，今天我们来探究用什么样的正多边形能拼成一个既不留下一丝空白，又不相互重叠的平面图形。
请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。
先用正三角形拼图，你能拼出既不留空隙，又不重叠的平面图形?
再依次用正方形、正五边形、正六边形，正八边形试一试，哪些可以，哪些不可以，你从中发现了什么?
通过学生亲自动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角相加恰好等于360°。
下面我们再通过用计算器计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形。
让学生填教科书表9.3.1
每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图呢?
因为60°×6=360°用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面
90°×4=360°即用4个正方形瓷砖就可以铺满地面。
为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢?
正八边形也不行?
（因为360°÷108°，360°÷154°得数都不是整数）
这就是说，当（360°÷
）为正整数时
即
为正整数时，用这样的正n边形就可以铺满地面。
请同学们把教科书翻到第58页，看图9.1.1中
（1）、
（2）、（3）分别是用正三角形、正方形、正六边形拼成的。
三、巩固练习
你能用正三角形和正六边形两个结合在一起铺满地面吗?
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