七年级数学相交线与平行线讲义.docx
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七年级数学相交线与平行线讲义
相交线与平行线
知识点一(角)
【知识梳理】
1.如果两个角有一条公共边,并且它们的另一边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.
2.如果两个角有公共顶点,并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角.
3.对顶角的重要性质是对顶角相等.
4.当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
5.垂线的性质
性质1:
平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
性质2:
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
6.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
7.内错角为“Z”型,同位角为“F”型,同旁内角为“U”型。
【例题精讲】
题型1:
对顶角以及邻补角
例题1:
图中是对顶角的是().
例题2:
如图,∠1的邻补角是().
(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF
(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF
题型2:
垂线
例题3:
如图,直线AB,CD互相垂直,记作______;直线AB,CD互相垂直,垂足为O点,记作____________;线段PO的长度是点_________到直线_________的距离;点M到直线AB的距离是_______________.
题型3:
同位角、内错角、同旁内角
例题4:
如图所示,图中用数字标出的角中,同位角有______;内错角有______;同旁内角有______.
【课堂练习】
1、如图所示,直线l1,l2,l3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是().
(A)∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°
(B)∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30°
(C)∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°
(D)∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30°
2、判断正误
(1)如果两个角相等,那么这两个角是对顶角.()
(2)如果两个角有公共顶点且没有公共边,那么这两个角是对顶角.()
(3)有一条公共边的两个角是邻补角.()
(4)如果两个角是邻补角,那么它们一定互为补角.()
(5)对顶角的角平分线在同一直线上.()
(6)有一条公共边和公共顶点,且互为补角的两个角是邻补角.()
3、如图,过A点作CD⊥MN,过A点作PQ⊥EF于B.
图a图b图c
4、如图,过A点作BC边所在直线的垂线EF,垂足是D,并量出A点到BC边的距离.
5、如图,下列结论正确的是().
(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角
(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角
6、如图,直线AB,CD与直线EF,GH分别相交,图中的同旁内角共有().
(A)4对(B)8对
(C)12对(D)16对
知识点二(平行线的判定和证明)
【知识梳理】
1.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.若直线a与直线b平行,则记作a∥b.
2.在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交、平行.
3.平行公理是:
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
4.平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即三条直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.
5.两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外):
(1)两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.这个判定方法1可简述为:
同位角相等,两直线平行.
(2)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.这个判定方法2可简述为:
内错角相等,两直线平行.
(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.这个判定方法3可简述为:
同旁内角互补,两直线平行.
【例题精讲】
题型1:
例题1:
如图,根据下列条件,可推得哪两条直线平行?
并说明理由•
⑴∠CBD=∠ADB;
⑵∠BCD+∠ADC=180°
⑶∠ACD=∠BAC
例题2:
已知:
如图,请分别依据所给出的条件,判定相应的哪两条直线平行?
并写出推理的根据.
(1)如果∠2=∠3,那么____________.
(____________,____________)
(2)如果∠2=∠5,那么____________.
(____________,____________)
(3)如果∠2+∠1=180°,那么____________.
(____________,____________)
(4)如果∠5=∠3,那么____________.
(____________,____________)
(5)如果∠4+∠6=180°,那么____________.
(____________,____________)
(6)如果∠6=∠3,那么____________.
(____________,____________)
例题3:
已知:
如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)∵∠B=∠3(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(2)∵∠1=∠D(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(3)∵∠2=∠A(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
(4)∵∠B+∠BCE=180°(已知),
∴______∥______.(____________,____________)
.
例题4:
已知:
点P是∠AOB内一点.过点P分别作直线CD∥OA,直线EF∥OB.
【课堂练习】
1、如图①不能判定
∥
的一组条件是()
A.∠1=∠2B.∠1=∠5C.∠3=∠4D.∠2=∠6
2、如图②能够判定DE∥BC的条件是()
A.∠DCE+∠DEC=
B.∠EDC=∠DCB
C.∠BGF=∠DCBD.CD⊥AB,GF⊥AB
3、已知:
如图,∠1=∠2.求证:
AB∥CD.
(1)分析:
如图,欲证AB∥CD,只要证∠1=______.
证法1:
∵∠1=∠2,(已知)
又∠3=∠2,()
∴∠1=_______.()
∴AB∥CD.(___________,___________)
(2)分析:
如图,欲证AB∥CD,只要证∠3=∠4.
证法2:
∵∠4=∠1,∠3=∠2,()
又∠1=∠2,(已知)
从而∠3=_______.()
∴AB∥CD.(___________,___________)
4、如图,AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2,试说明DE与AB的位置关系.
解:
∵AD是∠BAC的平分线(已知)
∴∠BAC=2∠1(角平分线定义)
又∵EF平分∠DEC(已知)
∴()
又∵∠1=∠2(已知)
∴()
∴AB∥DE()
5、已知:
如图,CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2.试确定射线DF与AE的位置关系,并说明你的理由.
(1)问题的结论:
DF______AE.
(2)证明思路分析:
欲证DF______AE,只要证∠3=______.
(3)证明过程:
证明:
∵CD⊥DA,DA⊥AB,()
∴∠CDA=∠DAB=______°.(垂直定义)
又∠1=∠2,()
从而∠CDA-∠1=______-______,(等式的性质)
即∠3=___.
∴DF___AE.(____,____)
6、已知:
如图,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC.且∠1=∠3.
求证:
AB∥DC.
证明:
∵∠ABC=∠ADC,
()
又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,
()
∴∠______=∠______.()
∵∠1=∠3,()
∴∠2=∠______.(等量代换)
∴______∥______.()
7、已知:
如图,∠1=∠2,∠3+∠4=180°.试确定直线a与直线c的位置关系,并说明你的理由.
(1)问题的结论:
a______c.
(2)证明思路分析:
欲证a______c,只要证______∥______且______∥______.
(3)证明过程:
证明:
∵∠1=∠2,()
∴a∥______.(________,________)①
∵∠3+∠4=180°,()
∴c∥______.(________,________)②
由①、②,因为a∥______,c∥______,
∴a______c.(________,________)
8、如图,∠D=∠A,∠B=∠FCB,求证:
ED∥CF.
知识点三(能力提升)
【例题精讲】
1、如图,已知AB、CD、EF相交于点O,AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数.
2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:
∠1=8:
1,求∠4的度数.
3、已知:
如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,
∠AOD∶∠DOE=4∶1.求∠AOF的度数.
4、当两条直线相交于一点时,共有2对对顶角;
当三条直线相交于一点时,共有6对对顶角;
当四条直线相交于一点时,共有12对对顶角.
问:
当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
5、已知平面内有一条直线m及直线外三点A,B,C,分别过这三个点作直线m的垂线,想一想有几个不同的垂足?
画图说明.
6、已知点M,试在平面内作出四条直线l1,l2,l3,l4,使它们分别到点M的距离是1.5cm.
·M
2、已知∠B=∠C,∠1=∠2。
求证:
AE∥DF。
课后作业
1、如图,∠EAC=∠ADB=90°.下列说法正确的是()
A.α的余角只有∠BB.α的邻补角是∠DAC
C.∠ACF是α的余角D.α与∠ACF互补
2、如图,已知直线AB、CD被直线EF所截,则∠EMB的同位角为()
A.∠AMFB.∠BMFC.∠ENCD.∠END
3、下列语句中正确的是()
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.过直线上一点的直线只有一条
C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.垂线段就是点到直线的距离
4、如图,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,则下列结论中,正确的个数有()
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD>BD
A.0B.2C.4D.6
5、点A、B、C是直线l上的三点,点P是直线l外一点,且PA=4cm,PB=5cm,PC=6cm,则点P到直线l的距离是()
A.4cmB.5cmC.小于4cmD.不大于4cm
6、将一副直角三角板按图所示的方法旋转(直角顶点重合),则∠AOB+∠DOC=.
7、如图,矩形ABCD沿EF对折,且∠DEF=72°,则∠AEG=.
8、在同一平面内,若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.(a1与a10不重合)
9、如图所示,直线a、b被直线c所截,现给出下列四个条件:
①∠1=∠5,②∠1=∠7,
③∠2+∠3=180°,④∠4=∠7,其中能判断a∥b的条件的序号是.
10、在同一平面内两条直线的位置关系有.
11、如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠E=∠ABE+∠EDC.试说明AB∥CD?
12、如图,已知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,∠1=∠2,那么直线AB与CD的位置关系如何?
13、如图,推理填空:
⑴∵∠A=(已知)
∴AC∥ED()
⑵∵∠2=(已知)
∴AC∥ED()
⑶∵∠A+=180°(已知)
∴AB∥FD.
14、如图,请你填上一个适当的条件使AD∥BC.