圆的对称性垂径定理.ppt

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圆对称性

（1）垂径定理,九年级数学（下）第三章圆,3.2,圆的对称性,3.2圆的对称性,？

复习提问：

1、什么是轴对称图形？

我们在直线形中学过哪些轴对称图形？

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,圆是轴对称图形吗？

如果是,它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴？

你是用什么方法解决上述问题的?

圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,3.2圆的对称性,O,A,C,B,N,M,D,圆是轴对称图形，,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

O,A,C,B,N,M,D,或：

任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。

任意一条直径都是圆的对称轴（）,练习1.判断题

（1）直径是弦.

（2）过圆心的线段是直径.（3）半圆是弧.（4）两个半圆是等弧.（5）面积不等的两圆不是等圆.（6）长度相等的两条弧是等弧.,（）,（）,（）,（）,（）,（）,看一看,AEBE,AEBE,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?

与同伴说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?

如果是,其对称轴是什么?

由CD是直径,CDAB,题设,结论,如图,小明的理由是:

连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,

（1）直径

（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,垂径定理三种语言,定理:

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示:

垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图CD是直径,AM=BM,在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。

E,解：

连结OA.过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。

AB8厘米AE4厘米在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米O的半径为5厘米,练习,课题：

垂直于弦的直径

（2）,垂径定理的推论,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心AC=BC,MNAB,弧AM=弧BM弧AN=弧BN,探索一：

结论：

推论1.

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。

因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。

推论1.

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

C,D,M,O,A,C,B,N,MNABAC=BC,直线MN过圆心O,弧AM=弧BM弧AN=弧BN,探索二：

推论1:

（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N,MNABAC=BC弧AM=弧BM,直线MN过圆心O弧AN=弧BN,探索三：

推论1:

（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？

等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。

作AB的垂直平分线CD。

作ATBT的垂直平分线EFGH,你可以写出相应的命题吗?

如图,在下列五个条件中:

只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的逆定理,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的推论2,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?

老师提示:

这两条弦在圆中位置有两种情况:

垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.,推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。

挑战自我画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,C,D,A,B,E,例：

平分已知弧AB,已知：

弧AB,作法：

连结AB.,作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。

求作：

弧AB的中点,挑战自我画一画,C,D,A,B,E,F,G,变式一：

求弧AB的四等分点。

m,n,C,A,B,E,变式二：

你能确定弧AB的圆心吗？

m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？

A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。

破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

作图依据：

判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧（）,弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心（）,圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分（）,平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧（）,圆内两条非直径的弦不能互相平分（）,挑战自我填一填,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。

（7）平分弦的直线，必定过圆心。

（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。

挑战自我填一填,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.,平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,挑战自我填一填,2.已知：

如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.,挑战自我填一填,3、已知：

如图，O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,挑战自我做一做,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,挑战自我做一做,5.已知：

AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半径为5cm，,

（1）请根据题意画出符合条件的图形,

（2）求出AB、与CD间的距离。

（1）,

（2）,挑战自我做一做,解：

（1）,OAB+AOC=90,挑战自我做一做,解：

（2）,挑战自我做一做,小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

已知：

AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：

ECDF,挑战自我再上新台阶,回味引伸垂径定理及其推论1的实质是把

（1）直线MN过圆心;

（2）直线MN垂直AB;（3）直线MN平分AB;（4）直线MN平分弧AMB;（5）直线MN平分弧ANB中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们课下不妨试一试.,课堂小结：

本节课探索发现了垂径定理的推论1和推论2,并且运用推论1等分弧。

要分清推论1的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论.这是正确理解应用推论1的关键;例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想在这里的运用.,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧（arc）.,直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆（如弧）.,连接圆上任意两点间的线段叫做弦（chord）（如弦AB）.,经过圆心的弦叫做直径（diameter）（如直径AC）.,同心圆:

圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。

弓形:

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.,等圆、等弧:

能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.,