第二届华杯赛复赛试题及答案.docx

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第二届华杯赛复赛试题及答案

第2届华杯赛复赛试题

1.计算：

（0.5＋0.25＋0.125）÷（0.5×0.25×0.125）×

2．有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）。

从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。

请你将其中的素数都写出来。

3．有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。

把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。

如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？

4．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图。

小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。

他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。

最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。

你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？

5．试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下图的方框中，每个数字只用一次：

使得这三个数中任意两个都互质。

其中一个三位数已填好，它是714。

6．下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。

请问小王从A出发走到B，最快需要几分钟？

7．梯形ABCD的中位线EF长15厘米（见图），∠ABC=∠AEF=90°，G是EF上的一点。

如果三角形ABG的面积是梯形ABCD面积的1/5，那么EG的长是几厘米？

8．有三堆砝码，第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。

请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克写出的取法：

需要多少个砝码？

其中3克、5克和7克的砝码各有几个？

9．有5块圆形的花圃，它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米；请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两班所管理的面积尽可能接近。

10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：

头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：

这串数的前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？

11．王师傅驾车从甲地开乙地交货。

如果他往返都以每小时60公里的速度行驶，正好可以按时返回甲地。

可是，当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55公里，如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？

12．如图，大圈是400米跑道，由A到B的跑道长是200米，直线距离是50米。

父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到B点便沿各直线跑。

父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。

如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？

参考答案

1．

　　2．共有五个质数：

2，3，13，23，31　　3．

　　4．91个　　5．（见下）

6．48分钟　　7．6厘米　　8．（见下）　　9．（见下）　　10．（见下）　　11．66千米/小时

12．儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇

1.【解】原式＝

＝（

）×2×4×8×

＝（4＋2＋1）×2×4×

＝7×2×4×

＝7×

＝

2.【解】因为三张卡片上的数字和为6，能被3整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是质数

再看二张卡片的情形。

因为1＋2＝3，根据同样的道理，用1．2，组成的二位数也能被3整除，因此也不是质数．这样剩下要讨论的二位数只有13、31、23、32这四个了，其中13，31和23都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个：

1，2，3。

1不是质数，2和3都是质数所以，本题中的质数共有五个：

2，3，13，23，31

答：

共有五个质数：

2，3，13，23，31。

3.【解】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积．就等于所沉入的碎石的体积.因此，沉入在水池中的碎石的体积是:

3×3×0.06＝0.54（米3），

而沉入小水池中的碎石的体积是:

2×2×0.04＝0.16（米3），

这两堆碎石的体积一共是:

0.54＋0.16＝0.7（米3）

把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的体积也就是0.7米3，

而大水池的底面积是:

6×6＝36（米3），

所以大水池的水面升高了:

0.7÷36＝

（米）＝

（厘米）＝

（厘米）

答：

大水池的水面升高了

厘米。

4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：

A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔2孔跳一步，跳在1，4，7，10，…上。

最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1,同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是7的倍数。

如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。

这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除。

注意：

15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。

我们还可以看出，15的其他（小于7的）倍数加1都不能被7整除，而15×7＝105已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是15×6十1＝91

答：

圆圈上共有91个孔。

5.【解】714＝2×3×7×17．

由此可以看出，要使最下面方框中的数与714互质，在剩下未填的数字2，3，5，6中只能选5，也就是说，第三行的一位数只能填5。

现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6这三个数字。

因为任意两个偶数都有公约数2，而714是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3．这样一来，第二行的三位数只能是263或623．但是623能被7整除，所以623与714不互质.

最后来看263这个数通过检验可知：

714的质因数2，3，7和17都不是263的因数，所以714与263这两个数互质,显然，263与5也互质.因此714，263和5这三个数两两互质。

于是填法是：

6．【解】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图a、图b所示

首先我们将道路图逐步简化。

从A出发经过C到B的路线都要经过DC和GC。

面从A到C有两条路线可走：

ADC需时间14＋13＝27（分钟）；AGC需时间15＋11＝26（分钟）。

我们不会走前一条路线，所以可将DC这段路抹去。

但要注意，AD不能抹去，因为从A到B还有别的路线（例如AHB）经过AD，需要进一步分析。

由G到E也有两条路线可走：

CCE需16分钟，GIE也是16分钟。

我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条，抹掉GIE。

（也可以选择后一条而抹掉CE。

但不能抹掉GC，因为还有别的路线经过它。

）这样，道路图被简化成图49的形状。

在图b中，从A到F有两条路线，经过H的一条需14＋6＋17＝37（分钟），经过G的一条需15＋11＋10＝36（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图c）。

图c中，从C到B也有两条路线，比较它们需要的时间，又可将经过E的一条路线抹掉。

最后，剩下一条最省时间的路线（图d），它需要15＋11＋10＋12＝48（分钟）。

【又解】要抓住关键点C。

从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB。

因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB。

它的总时间是48分钟。

剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB，看那个更省时间。

不经过C点的道路只有两条：

①ADHFB，它需要49分钟；②AGIEB，它也需要49分钟。

所以，从A到B最快需要48分钟。

答：

最快需要48分钟。

7．【解】梯形ABCD的面积等于EF×AB，而三角彤ABG的面积等于

EG×AB，因此三角形ABG和梯形ABCD的面积比等于

EG与EF的比．由题目的条件，三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的

，即EG是EF的

．因为EF长15厘米，EG的长就是：

15×

＝6（厘米）.

答：

EG长6厘米

8.【解】为了使问题简化，我们首先分析一下这三堆砝码之间的关系。

很明显，一个3克的砝码加上一个7克的砝码正好等于两个5克的砝码（都是10克），因此，如果用一个3克的砝码和一个7克的砝码去替换两个5克的砝码，砝码的个数及总重量都保持不变．这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉，直到只剩下一个5克的砝码或者没有5克砝码为止。

问题归结为下面两种情形：

（1）所取的砝码中没有5克砝码。

很明显，为了使所取的砝码个数尽量少，应该尽可能少取3克砝码．而130克减去3克砝码的总重量应该是7克的倍数。

计算一下就可以知道，取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码，所余下的重量都不是7克的倍数。

如果取6个3克砝码，那么130克－3克×6＝112克＝7克×16。

于是可以取16个7克砝码和6个3克砝码，总共22个砝码

（2）所取的砝码中有一个5克的。

那么3克和7克砝码的总重量是130克－5克＝125克．和第一种情形类似，可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码，这样总共有17＋2＋1＝20个砝码

比较上面两种情形，我们得知最少要取20个砝码。

取法可以就像后一种情形那样：

2个3克的，1个5克的，17个7克的，当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克的砝码，例如可以取5个5克的和15个7克的.

9.【解】我们知道，每个圆的面积等于直径的平方乘以（π/4）。

现在要把5个圆分组，两组的总面积要尽可能接近，或者说；两组总面积的比尽可能接近1.由于每个圆面积都有因子（π/4）。

而我们关心的只是面积的比，所以可把这个共同的因子都去掉，使问题简化为：

将5个圆公成两组，使两组圆的直径的平方和尽可能接近。

5个圆的直径的平方分别是9，16，25,64，81.

这5个数的和是195.由于195是奇数，所以不可能把这5个数分成两组，使它们的和相等.另一方面，81十16＝97，9＋25＋64＝98，二者仅相差1.

因此，应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理.

答：

应该把直径4米和9米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理。

10.【解】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。

这个规律是不难解释的：

因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数。

另一方面，一个奇数和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。

这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。

因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上。

所以偶数的个数等于100以内3的倍数的个数，即等于99÷3＝33，于是，这串数的前100个数中共有33个偶数。

本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”。

答：

这串数的前100个数中共有33个偶数。

11.【解】王师傅每两千米应行

×2（小时），现来时每1千米行

小时，

　所以返回时每1千米应行：

×2－

＝

（小时）

　即应以每小时66千米的速度往回开．

【又解】根据题意，如果王师傅往返都以每小时60公里的速度行驶，正好按时返回甲地.也就是说,按计划行驶1公里的时间是

小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所花费的时间是

小时,比计划多用

小时，为了能按时返回甲地，王师傅从乙地返回甲地时，行驶1公里所花的时间必须比原计划时间少

小时.也就是说,只能花

＝

（小时）。

因此王师傅往回开的速度应是66公/小时。

答：

王师傅应以66公里/小时的速度往回开。

12.【解】首先我们要注意到：

父亲和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇，而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲.

儿子跑一圈所用的时间是19×（400÷100）＝76（秒），也就是说，儿子每过76秒到达A点一次。

同样道理，父亲每过50秒到达A点一次。

在从A到B逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19×（200÷100）＝38（秒），父亲要跑20×（200＋100）＝40（秒）。

因此，只要在父亲到达A点后的2秒之内，儿子也到达A点，儿子就能从后面追上父亲。

于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2。

即要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间，这试一下就可以了：

76÷50余26，76×2÷50余2．正合我们的要求。

（在一般情况下，应该先看看76的倍数除以50的余数有什么规律）

因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈

答：

儿子在跑第3圈时，第一次再与父亲相遇。