商品房贷款方案优化设计.docx
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商品房贷款方案优化设计
商品房贷款方案优化设计
摘要：
近些年来，我国商品房销售火爆。
由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。
但是，高位在房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。
然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额，又要考虑到偿还的年限问题，因为银行在还贷利息是根据偿还的年限而定。
我们在还贷的过程中既要考虑到自己每个月的还贷能力，又要使我们总的还款金额尽可能的少。
注意：
向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.…等。
所以我们要寻求一个基本公式满足上述的要求。
对于第一问，运用数列的知识得到等额本息房贷还款公式
，由银行还款的规律可求得向银行还款的总额公式
，由题中数据验算证明两公式正确。
综合数列知识和longo软件的帮助，计算出逐月被银行拿走的利息钱。
（见表4）结果满足条件。
对于第二问，通过分析题中的限定条件，建立了3种计算还贷的数学模型，只有第三种方案模型满足还贷总额最少为，且模型较为简洁，可以快速计算还贷总额为471850元，并确立一套详细的购房与还贷方案的模型。
每月的家庭开销上限为3000元。
对于第三问，由于外甥加入买房，需要王先生的借款，问题变成多目标规划问题。
如果将两家合为一家，两套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。
解出的结果为两家向银行还贷最小值377159元，总计还款利息：
377159-（636050-277490）=19599元。
对于第四问，由于其他五个外甥加入买房，也需要王先生的借款，问题又变成了多目标规划问题。
如果将七家合为一家，七套房子看成一套房子，则问题又变成单目标规划问题。
由第三问的分析和模型可知，要想七家人都满意，就得使还银行的钱达到最少1825453元，利息最少77853元。
对于问题五的资金分配，我们采用项目的满意度构造函数
（i=1,2,3），并且对风险性、平均增长倍数进行归一化处理。
最终由满意度的权重与总资金来计算项目分配金额
（i=1,2,3）最后通过计算五年项目的总利润与两种贷款情况下的利息差值的比较。
最终得到投资项目可使全家获利400808元，所以，王先生的观点可取。
关键字：
权重归一化满意度lingo软件数学规划分散投资等额房贷
一．假设与条件
1．每年的每个月里还款一样；
2．每年的每个月里还款必须与银行制定借一万元在不同年限的月还款金额成比例；
3．提前还款必须达到一定的数额，且每年只能一次的提前还款；
4．每个月的收入除了家用，就是还款，不用于其他方面；
5．一旦确定还款年限则以后每个月的还款月利率也就定（保持不变）；
6．年终奖金是每年3月10号之前发；
7．假设每个月的家庭收入也是3.10号之前发下来；
8.对项目只投资一次
9.只采用等额本息房贷
二．符号的解释与说明：
1：
A为本金；
2：
x为每月还款；
3：
α为月利率为；
4：
n为还款总月数；
5：
C为还款总数；
6：
c为每月利息钱；
7：
i为第几月的月数（即月份的序号）；
三．问题的重述：
近些年来，我国商品房销售火爆。
由于升值潜力大，不少人愿意投资于房产。
但是，高位的房价又迫使大多数人不得不向银行贷款。
然后，用按揭的方式逐月偿还银行贷款额。
注意：
向银行借贷时间必须以年为单位，如1年、2年、3年.…等。
第一问：
2007年9月1号，武汉市某高校教师王先生到武汉某商品房去看房，销售小姐向他推荐等额本息还款方式，并给他一个银行还贷明细表（见附录1：
表1，分析图附录1：
图6）。
这个明细表给出了若向银行借了1万元钱、不同年限的等额房贷还款额。
王先生不知还款公式怎样写，请你给出等额本息房贷还款公式，帮王先生解惑。
如果向银行借1万元，借10年。
请详细计算逐月还完1万元后，总共向银行还款的总额以及逐月被银行拿走的利息钱。
第二问：
王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子，准备9月10号前成交。
他们家每月收入5600元，每月家庭开销在1500-3000元之间服从均匀分布，每年还有3万元的年终奖金。
这时候王先生手头有15万元的可支配的现金，现在请你建立一套详细的购房与商贷快速计算还贷数学模型，并为王先生设计还贷方案而且要指出每月的家庭开销上限（注：
首付不得低于20%）。
第三问：
但事情有变：
2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。
她来向王先生借钱买房，王先生很为难，但此时，聪明的王夫人给出了一套新方案，使两家人购房均欢欣鼓舞，你能给出这个新方案吗？
第四问：
但这事还未开始实施就被王先生其他五个外甥知道了，均想加入这一方案，并准备在3月份都购买房子，他们购买房子的总价以及他们的经济情况见表2。
那么，王夫人怎样设计这7套房子的购房还贷及每个家庭的每月开销上限呢？
请你帮她拿出详细的方案。
即每套房子向银行贷款多少年、多少钱、是否提前还款及还款多少、总共向银行交了多少利息钱、这种方案总共节约了多少钱等等。
第五问：
王先生拿到方案后，觉得应该多向银行借钱，想把尽量多的钱拿出来投资三个项目，但遭到其他人的反对，你支持王先生的观点吗？
请说明理由。
如果你支持王先生的观点，问最多可拿多少钱投资这三个项目，各投资多少？
三种项目（甲、乙、丙）12年中后一年相对于前一年资产每年的增长情况见附录2：
表2，及其分析图附录7：
图2.
四、问题的分析与模型的建立
问题一模型建立与分析：
以本金为A，α是月利率，β是年利率，x是月还款额，还款总月数为n，还款总额C，利息负担总和D,每月利息钱c（i）；i为月份（序号）；
等额还款模型的求解
（1）贷款期在1年以上：
先假设银行贷给客户的本金是在某个月的1号一次到位的.客户的合同里规定说，在本金到位后的下个月1号开始还钱，且设在还款期内年利率不变.
因为一年的年利率是β，那么，平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，
即有关系式：
设月均还款总额是x（元）
（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额
（i=1…n）是客户在第i期1号还钱后欠银行的金额.
根据上面的分析，有
第1期还款前欠银行的金额：
第1期还款后欠银行的金额：
……
第i期还款前欠银行的金额：
第i期还款后欠银行的金额：
……
第n期还款前欠银行的金额：
第n期还款后欠银行的金额：
因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清.也就是说：
，
即：
解方程得：
这就是月均还款总额的公式.
因此，客户总的还款总额就等于：
利息负担总和等于：
利用上面的公式，计算出的5年期和20年期都跟题目给出的数据吻合.
（2）1年期的贷款，银行一般都是要求客户实行到期一次还本付息，利随本清.因此，1年期的还款总额为：
而利息负担总和为：
王先生等额本息房贷还款公式：
10000*（1+α）^n=x*（（1+α）^n-1）/α；
上述公式左边是10000元一年以后的本金加利息；右边可以理解为我们每个以一定的金额还款，然后银行将这笔钱再次房贷出去，想着这样每个就有一个循环利率的叠加。
确定还款年限则以后每个月的还款额及月利率也就定了，银行要求的是不论怎样借贷和还款要求最后得到利息要保持一定；其实上述公式是银行在保证自己还款利息设计好，王先生写的公式也就是银行等额本息房贷还款公式。
由于王先生借一万元准备十年还清，则我们可以得到：
n=120；C=n*x；A=10000；α=0.00478125；x=109.71；
并且我们可以得到每月利息钱公式为：
c（i）=A*α*（1+α）^（i-1）-x*（1+α）^（i-1）+x；
利用lingo软件可以计算得到：
还款总数C=13165.2元；（附录4）
每个月被银行拿走的利息钱c（i）（单位：
元）
如下表4：
（运算程序见附录5）
年份
月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
第一年
47.81
47.52
47.22
46.92
46.62
46.32
46.02
45.71
45.41
45.1
44.79
44.48
第二年
44.17
43.85
43.54
43.22
42.9
42.58
42.26
41.94
41.62
41.29
40.96
40.64
第三年
40.31
39.97
39.64
39.31
38.97
38.63
38.29
37.95
37.61
37.26
36.92
36.57
第四年
36.22
35.87
35.51
35.16
34.8
34.44
34.08
33.72
33.36
32.99
32.63
32.26
第五年
31.89
31.52
31.14
30.77
30.39
30.01
29.63
29.25
28.86
28.47
28.09
27.7
第六年
27.3
26.91
26.51
26.12
25.72
25.32
24.91
24.51
24.1
23.69
23.28
22.87
第七年
22.45
22.03
21.61
21.19
20.77
20.34
19.92
19.49
19.06
18.62
18.19
17.75
第八年
17.31
16.87
16.42
15.98
15.53
15.08
14.63
14.17
13.72
13.26
12.8
12.33
第九年
11.87
11.4
10.93
10.46
9.982
9.505
9.026
8.545
8.061
7.575
7.087
6.596
第十年
6.103
5.608
5.11
4.61
4.107
3.603
3.095
2.586
2.073
1.559
1.042
0.522
问题二模型建立与分析：
王先生看中了一套135m2、单价为3230/m2的房子（总计436050元）。
模型一：
我们以十年的年限还清贷款，若首付150000，则每个月还款3138.3元，每年一拿到年终奖金就马上提前还款，这样我们可以粗略的计算一下：
a1=（436050-150000）*（1+0.00478125）^6-3.1383e+003*（（1+0.00478125）^6-1）/0.00478125
b1=2.7530e+005-30000%"第六月之后"
a2=245300*（1+0.00478125）^12-（109.71*245300/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b2=2.2659e+005-30000%"第十八月之后"
a3=196590*（1+0.00478125）^12-（109.71*196590/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b3=1.8160e+005-30000%"第三十月之后"
a4=151600*（1+0.00478125）^12-（109.71*151600/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b4=1.4004e+005-30000%"第四十二月之后"
a5=110040*（1+0.00478125）^12-（109.71*110040/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b5=1.0165e+005-30000%"第五十四月之后"
a6=71650*（1+0.00478125）^12-（109.71*71650/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b6=6.6186e+004-30000%"第六十六月之后"
a7=36186*（1+0.00478125）^12-（109.71*36186/10000）*（（1+0.00478125）^12-1）/0.00478125
b7=3.3426e+004-30000%"第七十八月之后"
由上述可知：
我们要在第七十九月才能还清贷款。
时间加长，利息还比较高，总的还款额就会比较高，所以上述方案不大可行。
模型二：
我们以十年的年限还清贷款，若首付436050*20%=87210元，则每个月还款109.71*（436050-87210）/10000=3827.1元，我们按上面的简单计算会发现这样还款会使还款的利息增加，比上面的还款总额还要多，所以此方案也不大可行。
同样只要是以十年的年限还清贷款，首付在87210与150000之间的方案都不大可行。
模型三：
我们以五年的年限还清贷款，首付介于87210与150000之间；在王先生领取年终奖金前的六个月，每个月至少要还款（436050-150000）*191.05/10000=5465，最大还款额（436050-87210）*109.71/10000=6664.6，由于家庭收入5600，支出1500到3000，这样一来我们可以开始时以5600-1500=4100最大的家庭收支差值进行还款，这样一来我们可以在87210与150000之间寻求一个值使得我们可以留下一部分钱来填补以后每个月不够的还款差额。
由于我们假设年终奖金是每年3月10号发；现在在9月10日，第一次还款阶段设为六个月，以后为每年计数（即12个月），直到还清贷款。
现在设想每年一拿到年终奖金就马上提前还款，这样一来每提前还款一次后还款计划将会改变一次，每改变一次后下一年的每个月还款金额减小，直到当年每月还款小于5600-3000=2600元时我们每个月就一定可以预留一部分资金，到年终和年终奖金一起作为提前的还款的金额；我们可以简单的预算一下，其还款时间一定在五年之内就还清了，所以此方案基本可行。
下面我们给出合理的计算过程：
在不考虑可以存款的任何情况；可以计算得到一个粗略的首付金额109700，
阶段数
月数
年终奖金
每月还贷额
已还贷总额
一
6
30000
4100
A+54600
二
12
30000
X1
A+84600+12x1
三
12
30000
X2
A+114600+12x1+12x2
四
12
30000
X3
A+144600+12x1+12x2+12x3
五
12
30000
X4
A+174600+12x1+12x2+12x3+12x4
其中2600<=X（i）<=4100.
进而我们可以假设首付金额就为：
109700元。
第一阶段还款：
第一个月到第六个月（2007.910-2008.3.10）每月还款为：
326350*191.05/10000=6234.9元；
总计还款：
6234.9*6=37409元；手上还有金额150000-109700-（6234.9-4100）*6=27491元；
剩余欠款：
326350*（1+0.00459）^6-6234.9*（（1+0.00459）^6-1）/0.00459=297600元；时间为：
2008.3.10
2008年3月10号进行第一提前还款，则剩余欠款为：
267600元。
第二阶段还款：
2008年3月10号到2009年3月10号每月还款为：
267600*191.05/10000=5112.5元：
总计还款：
5112.5*12=61350元；手上还有金额27491-（5112.5-4100）*12=15341元；
剩余欠款：
267600*（1+0.00459）^12-5112.5*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=219790元；
时间为：
2009.3.10
2009年3月10号进行第二提前还款，这时我们考虑是不是将手上的钱全部提前还款，我们可以做个简单的计算219790*191.05/10000=4199.1>4100；所以手上的钱全部提前还款；
则剩余欠款为：
219790-15341-30000=174449元；
第三阶段还款：
2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：
174449*191.05/10000=3332.8元
总计还款：
3332.8*12=39994元；手上还有金额0元；
剩余欠款：
174449*（1+0.00459）^12-3332.8*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=143290元；时间为：
2010.3.10
20010年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：
113290元。
第四阶段还款：
2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：
113290*191.05/10000=2164.4元
总计还款：
2164.4*12=25973元；手上还有金额至少有（2600-2164.4）*12=5227.2元；
剩余欠款：
113290*（1+0.00459）^12-2466.1*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=89338元；时间为：
2011.3.10
20011年3月10号进行第四提前还款，将手上的钱全部提前还款；则剩余欠款为：
89338-5227.2-30000=54111元。
第五阶段还款：
2011年3月10号到2012年3月10号每月还款为：
54111*191.05/10000=1033.8元
总计还款：
1033.8*12=12406元；手上还有金额至少有（2600-1033.8）*12=18794元；
剩余欠款：
54111*（1+0.00459）^12-1033.8*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=44444元；时间为：
2011.3.10
2012年3月10号进行第四提前还款，在提前还款钱手上的金额为：
18794+30000=48794>44444；则此时就已经还清所有欠款。
综上所述：
在2012年3月10号还清所有欠款，共还款54个月；总计还款：
109710+37409+30000+61350+15341+30000+39994+30000+5227.2+30000+25973+12406+44444=471850元；总计还款利息：
471850-436050=35800元。
还款明细如下表所示：
各项金额
还款阶段
每个月还款金额
总的还款金额
手上的剩余金额
提前还款金额
（提前还款前）剩余欠款
（提前还款后）剩余欠款
第一阶段还款（共计六个月）
6234.9元
37409元
27491元
30000元
297600元
267600元
第二阶段还款（共计十二个月）
5112.5元
61350元
15341元
45341元
219790元
174449元
第三阶段还款（共计十二个月）
3332.8元
39994元
0元
30000元
143290元
113290元
第四阶段还款（共计十二个月）
2164.4元
25973元
至少5227.2元
35227.2元
89338元
54111元
第五阶段还款（共计十个月）
1033.8元
12406元
至少18794元
44444元
44444元
0元
总计贷款金额
326350元
总计还款金额
362150元
总计还款利息
35800元
模型对比，模型三相对较为完善；还款利息相对较小，还款时间得到尽可能的缩短；对还款的细节作了详细的讨论并给详细的还款计划。
问题三模型建立与分析：
在第二问的基础上，2008年3月10号，王先生经多方筹措，借到了无息的款项20万（包括年终奖金3万），准备提前还款，但其外甥A此时在本地购买了总房价为20万的房子，但首付不得低于40%，但外甥A手头只有可支配现金5万元，每月全家收入3500元，每月家庭开销在1500-2000元之间也服从均匀分布。
她来向王先生借钱买房。
分析：
外甥A购买的房子总价20万元。
首付至少8万元。
王先生至少要借3万元给他，如果王先生只借3万，外甥A必须贷款12万。
而外甥A每月最多只能拿出2000元还贷，所以只借3万不可行。
要使得两家人都高兴买房，就得付给银行最少的钱。
这样，我们可以把两家人看成一家人，使得欠银行的钱最少，利息也就最少。
模型建立：
把两家人看成一家人，两套房子看成一套房子。
现在王先生手上还有余额27491元，另外王先生借到无息款20万元（包括年终奖3万元），全家人现在有可支配现金：
200000+27491+50000=277490（元）
房子总价为：
436050+200000=636050（元）
首付至少：
436050*20%+200000*40%=167210（元）
全家人每月收入：
5600+3500=9100（元）
每月家庭开销:
在1500+1500=3000（元）到3000+2000=5000（元）之间服从均与分布。
年终奖金30000元.
第一阶段还款：
2008年3月10号到2009年3月10号每月还款为：
（636050-277490）*191.05/10000=6850元：
总计还款：
6850*12=82200元；手上还有金额（9100-6850）*12=27000元
剩余欠款：
（636050-277490）*（1+0.00459）^12-6850*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=294509元；
时间为：
2009.3.10
2009年3月10号进行第一提前还款，
则剩余欠款为：
294509-27000-30000=237509元；
第二阶段还款：
2009年3月10号到2010年3月10号每月还款为：
237509*191.05/10000=4538元
总计还款：
4538*12=54456元；手上还有金额（9100-4538）*12=54744元；
剩余欠款：
237509*（1+0.00459）^12-4538*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=195074元；时间为：
2010.3.10
20010年3月10号进行第二提前还款，则剩余欠款为：
195074-54744-30000=110330元。
第三阶段还款：
2010年3月10号到2011年3月10号每月还款为：
110330*191.05/10000=2108元
总计还款：
2108*12=25296元；手上还有金额至少有（9100-2108）*12=83904元；
剩余欠款：
195074*（1+0.00459）^12-2108*（（1+0.00459）^12-1）/0.00459=180150元；时间为：
2011.3.10
2011年3月10号进行第三提前还款，则剩余欠款为：
180150-83904-30000=66246元。
第四阶段还款：
2011年3月10号到2012年3月10号每月还款为：
66246*191.05/10000=1266元
总计还款：
1266*12=15192元；手上还有金额至少有（9100-1266）*12=94008元；
剩余欠款：
66246*（1+0.00459）^12-1266*（（1+0.00459
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