三角函数单调性数学教案.docx
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三角函数单调性数学教案
三角函数单调性数学教案
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。
当函数f的自变量在其定义区间内增大时，函数值f也随着增大，则称该函数为在该区间上具有单调性。
下面是我为大家整理的三角函数单调性数学教案5篇，盼望大家能有所收获!
三角函数单调性数学教案1
教学预备
教学目标
1、学问与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在;
（2）感受周期现象对实际工作的意义;（3）理解周期函数的概念;（4）能娴熟地推断简洁的实际问题的周期;（5）能利用周期函数定义进行简洁运用。
2、过程与方法
通过创设情境：
单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季改变等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;依据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感看法与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中到处有数学，从而激发学生的学习主动性，培育学生学好数学的信念，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点
重点:
感受周期现象的存在，会推断是否为周期现象。
难点:
周期函数概念的理解，以及简洁的应用。
教学工具
投影仪
教学过程
【创设情境，揭示课题】
同学们：
我们生活在海南岛特别美好，可以常常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今日要学到的周期现象。
再比方，[取出一个钟表,实际操作]我们发觉钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要讨论的主要内容就是周期现象与周期函数。
（板书课题）
【探究新知】
1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观看钱塘江潮的图片（投影图片），留意波浪是怎样改变的?
可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
（单摆运动、四季改变等）
（板书：
一、我们生活中的周期现象）
2.那么我们怎样从数学的角度讨论周期现象呢?
教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思索回答以下问题：
①如何理解“散点图”?
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：
周期函数定义的理解要把握三个条件，即存在不为0的常数T;x必需是定义域内的任意值;f（x+T）=f（x）。
（板书：
二、周期函数的概念）
3.[展示投影]练习:
（1）已知函数f（x）满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f（x+T）=f（x）。
求f（x+2T），f（x+3T）
略解：
f（x+2T）=f[（x+T）+T]=f（x+T）=f（x）
f（x+3T）=f[（x+2T）+T]=f（x+2T）=f（x）
此题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有很多个”，教师指出一般状况下，为避开引起混淆，特指最小正周期。
（2）已知函数f（x）是R上的周期为5的周期函数，且f
（1）=2021,求f（11）
略解：
f（11）=f（6+5）=f（6）=f（1+5）=f
（1）=2021
（3）已知奇函数f（x）是R上的函数，且f
（1）=2，f（x+3）=f（x），求f（8）
略解：
f（8）=f（2+2×3）=f
（2）=f（-1+3）=f（-1）=-f
（1）=-2
【稳固深化，进展思维】
1.请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作沟通。
2.例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗?
假如是，这个函数
y=f（t）是不是周期函数?
例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y=g（t）。
依据钟摆的学问，简单说明g（t+T）=g（t）,其中T为钟摆摇摆一周（往返一次）所需的时间，函数y=g（t）是周期函数。
若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，依据物理学问，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。
假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3.小组课堂作业
（1）课本P6的思索与沟通
（2）（回答）今日是星期三那么7k（k∈Z）天后的那一天是星期几?
7k（k∈Z）天前的那一天是星期几?
100天后的那一天是星期几?
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
六、布置作业
1.作业：
习题1.1第1,2,3题.
2.多观看一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.
课后小结
归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的学问内容有哪些?
所涉及到的主要数学思想方法有那些?
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样?
你的体会是什么?
课后习题
作业
1.作业：
习题1.1第1,2,3题.
2.多观看一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点.
板书
略
三角函数单调性数学教案2
教学预备
教学目标
1、学问与技能
（1）理解并把握正弦函数的定义域、值域、周期性、（小）值、单调性、奇偶性;
（2）能娴熟运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法
通过正弦函数在R上的图像，让学生探究出正弦函数的性质;讲解例题，总结方法，稳固练习。
3、情感看法与价值观
通过本节的学习，培育学生创新能力、探究归纳能力;让学生体验自身探究胜利的喜悦感，培育学生的自信念;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培育学生形成实事求是的科学看法和锲而不舍的钻研精神。
教学重难点
重点:
正弦函数的性质。
难点:
正弦函数的性质应用。
教学工具
投影仪
教学过程
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并把握了商量一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗?
在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们依据图像一起商量一下它具有哪些性质?
【探究新知】
让学生一边看投影，一边认真观看正弦曲线的图像，并思索以下几个问题：
（1）正弦函数的定义域是什么?
（2）正弦函数的值域是什么?
（3）它的最值状况如何?
（4）它的正负值区间如何分?
（5）?
（x）=0的解集是多少?
师生一起归纳得出：
1.定义域：
y=sinx的定义域为R
2.值域：
引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：
|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]
三角函数单调性数学教案3
教学目标
会运用图象推断单调性;理解函数的单调性，能推断或证明一些简洁函数单调性;留意必需在定义域内或其子集内商量函数的单调性。
重点
函数单调性的证明及推断。
难点
函数单调性证明及其应用。
一、复习引入
1、函数的定义域、值域、图象、表示方法
2、函数单调性
（1）单调增函数
（2）单调减函数
（3）单调区间
二、例题分析
例
1、画出以下函数图象，并写出单调区间：
（1）
（2）
（2）
例
2、求证：
函数在区间上是单调增函数。
例
3、商量函数的单调性，并证明你的结论。
变
（1）商量函数的单调性，并证明你的结论
变
（2）商量函数的单调性，并证明你的结论。
例
4、试推断函数在上的单调性。
三、随堂练习
1、推断以下说法正确的选项是。
（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的单调增函数;
（2）若定义在上的函数满足，则函数在上不是单调减函数;
（3）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数;
（4）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数。
2、若一次函数在上是单调减函数，则点在直角坐标平面的（）
A.上半平面B.下半平面C.左半平面D.右半平面
3、函数在上是______;函数在上是_______。
3.下列图分别为函数和的图象，求函数和的单调增区间。
4、求证：
函数是定义域上的单调减函数。
四、回顾小结
1、函数单调性的推断及证明。
课后作业
一、基础题
1、求以下函数的单调区间
（1）
（2）
2、画函数的图象，并写出单调区间。
二、提高题
3、求证：
函数在上是单调增函数。
4、若函数，求函数的单调区间。
5、若函数在上是增函数，在上是减函数，试比较与的大小。
三、能力题
6、已知函数，试商量函数f（x）在区间上的单调性。
变
（1）已知函数，试商量函数f（x）在区间上的单调性。
三角函数单调性数学教案4
教学目标
1.使学生理解函数单调性的概念，并能推断一些简洁函数在给定区间上的单调性.2.通过函数单调性概念的教学，培育学生分析问题、认识问题的能力.通过例题培育学生利用定义进行推理的规律思维能力.
3.通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育.
教学重点与难点
教学重点：
函数单调性的概念.教学难点：
函数单调性的判定.
教学过程设计
一、引入新课
师：
请同学们观看下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区分是什么?
（用投影幻灯给出两组函数的图象.）第一组：
第二组：
生：
第一组函数，函数值y随x的增大而增大;第二组函数，函数值y随x的增大而减小.
师：
（手执投影棒使之沿曲线移动）对.他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区分.当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小.虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质.我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经依据函数的图象讨论过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质.而这些讨论结论是直观地由图象得到的.在函数的集合中，有许多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的商量和讨论，这就是我们今日这一节课的内容.
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的学问，引起学生的留意.）
二、对概念的分析
（板书课题：
函数的单调性）
师：
请同学们打开课本第51页，请__同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.
（学生朗读.）
师：
好，请坐.通过刚刚阅读增函数和减函数的定义，请同学们思索一个问题：
这种定义方法和我们刚刚所商量的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致?
假如一致，定义中是怎样描述的?
生：
我认为是一致的.定义中的“当增大而增大;“当
时，都有
时，都有
”描述了y随x的
”描述了y随x的增大而削减.
”和“
或师：
说得特别正确.定义中用了两个简洁的不等关系“”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质.这就是数学的魅力!
（通过教师的心情感染学生，激发学生学习数学的兴趣.）师：
如今请同学们和我一起来看刚刚的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力.
和
的
（指图说明.）师：
图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意，，当
时，都有，的单调增区间;，的单调减区间.在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意，，当时，都有在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧学问融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法.）
师：
因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师.）生：
较大的函数值的函数.师：
那么减函数呢?
生：
减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.（学生可能回答得不完好，教师应指导他说完好.）师：
好.我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应当抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义?
（学生思索.）
学生在高中阶段以至在以后的学习中常常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和把握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应当教会学生如何深入理解一个概念，以培育学生分析问题，认识问题的能力.
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并留意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示.）
生：
我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语.
师：
很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要擅长抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要留意区分它们之间的不同.增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性.请大家思索一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的?
为什么?
生：
不能.因为此时函数值是一个数.
师：
对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（留意这四个字“唯一确定”），因此没有增减的改变.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢?
你能否举一个我们学过的例子?
生：
不能.比方二次函数而我们不能说
，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因是增函数或是减函数.
的图像，从“形”上感知.）（在学生回答下列问题时，教师板演函数师：
好.他（她）举了一个例子来关心我们理解定义中的词语“给定区间”.这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必需指明相应的区间.
师：
还有没有其他的关键词语?
生：
还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语.师：
你答的很对.能解释一下为什么吗?
（学生不肯定能答全，教师应给予必要的提示.）师：
“属于”是什么意思?
生：
就是说两个自变量生：
可以.
师：
那么“任意”和“都有”又如何理解?
生：
“任意”就是指不能取特定的值来推断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必需都小于，或都大于.，
必需取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：
假如是闭区间的话，能否取自区间端点?
师：
能不能构造一个反例来说明“任意”呢?
（让学生思索片刻.）生：
可以构造一个反例.考察函数，定，明显，而，在区间[-2，2]上，假如取两个特定的值，，有，若由此判是[-2，2]上的减函数，那就错了.师：
那么如何来说明“都有”呢?
生：
在[-2，2]上，当，这时就不能说，时，有;当，时，有，在[-2，2]上是增函数或减函数.
师：
好极了!
通过分析定义和举反例，我们知道要推断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的状况来推断，而必需严格按照定义在给定区间内任取两个自变量，，依据它们的函数值和的大小来判定函数的增减性.
（教师通过一系列的设问，使学生处于主动的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例经常关心学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力.）
师：
反过来，假如我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小.即一般成立则特别成立，反之，特别成立，一般不肯定成立.这恰是辩证法中一般和特别的关系.
（用辩证法的原理来解释数学学问，同时用数学学问去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和把握概念，分清概念的内涵和外延，培育学生学习的能力.）
三、概念的应用
例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，依据图象说出f（x）的单调区间，并回答：
在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数?
（用投影幻灯给出图象.）
生甲：
函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间;在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间.
生乙：
我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢?
师：
问得好.这说明你想的很认真，思索问题很严谨.简单证明：
若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）.反之不然，你能举出反例吗?
一般来说.若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[]（增或减）.反之不然.
例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数.
师：
从函数图象上观看函数的单调性当然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必需学会依据解析式和定义从数量上分析分辨，这才是我们讨论函数单调性的基本途径.
（指出用定义证明的必要性.）
师：
怎样用定义证明呢?
请同学们思索后在笔记本上写出证明过程.
（教师巡察，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发.）师：
对于和
我们如何比较它们的大小呢?
我们知道对两个实数a，b，假如，][a，b]，则f（x）在[，ab，那么它们的差a-b就大于零;假如a=b，那么它们的差a—b就等于零;假如ab，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来确定两个数的大小关系.p=
生：
（板演）设，是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当，所以f（x）是增函数.
师：
他的证明思路是清晰的.一开始设设，是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并时，
（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）.但美中缺乏的是他没能说明为什么
0，没有用到开始的假设“”，不要以为其显而易见，在这里肯定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为x1x2，所以，从而0，即.”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）.最终，作为证明题肯定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）.p=
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，假如函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以
小.
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的学问时，思维定势对理解学问本身是有益的，同时对学生养成肯定的思维习惯，形成肯定的解题思路也是有关心的.）
调函数吗?
并用定义证明你的结论.
师：
你的结论是什么呢?
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数.生乙：
我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比方取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），，明显有，而不是明显成立，而，，因此它不是定义域内的减函数.
生：
也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数.
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.
上是减函数.
（教师巡察.对学生证明中出现的问题给予点拔.可根据学生的问题，给出下面的提示：
（1）分式问题化简方法一般是通分.
（2）要说明三个代数式的符号：
k，，.
要留意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要转变.
对学生的解答进行简洁的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视.）
四、课堂小结
师：
请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应当特殊留意的?
（请一个思路清楚，擅长表达的学生口述，教师可从中给予提示.）
生：
这节课我们学习了函数单调性的定义，要特殊留意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接;最终在用定义证明函数的单调性时，应当留意证明的四个步骤.
五、作业1.课本P53练习第1，2，3，4题.数..（_）+b0.由此可知（_）式小于0，即.课堂教学设计说明函数的单调性是函数的一个重要性质，是讨论函数时常常要留意的一独特质.并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他学问的综合应用上都有广泛的应用.对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质.学生对此有肯定的感性认识，对概念的理解有肯定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的学问，感觉乏味.因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，盼望能够使学生认识到看似简洁的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必需要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点.因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用.
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出肯定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生把握证明方法、形成证明思路有所关心.另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，如今提出要求，对今后的教学作肯定的铺垫.
三角函数单调性数学教案5
函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍旧处于阅历型规律思维进展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。
始终以来，这节课也都是老师教学的难点。
最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的讨论和思索，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。
关键点1。
学生学习函数单调性的认知基础是什么?
在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简洁函数，函数的变量定义和映射定
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