数学建模通识课大作业题目.docx
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数学建模通识课大作业题目
数学建模通识课大作业题目
注意事项:
（1）大型作业由学生组队完成,每队不超过3人；
（2）在17个题目中任选一题完成；
（3）答卷包括问题复述、建模假设与建立、模型求解与计算等部分组成，引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出；
（4）答卷必须具有原创性，如发现抄袭和雷同，成绩计0分；
（5）答卷以电子版的形式发给各任课老师指定的邮箱，交卷截止时间为2012年12月20日晚上9：
30。
题1：
地下管线
A地和B地之间准备修建一条地下管线，B地位于A地正南面20km和正东30km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。
地下管线造价与地质特点有关，图1给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带。
你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况下，确定最便宜的路线。
图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。
而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？
你怎样使你的模型进一步适合于下面两个限制条件的情况呢？
1．当管线转弯时，角度至少为140°。
2．管线必须通过一个已知地点（如P）。
题2：
电子游戏中的数学
近年来，随着电子游戏的日益普及，电子游戏业已成为横跨信息技术和文化的重要产业。
对电子游戏中的一些数学问题进行研究，成为数学界和相关人士的一个热门话题。
在某电子游戏中，玩家每次下注一元，由机器随机分配给玩家五张扑克牌，然后允许玩家有一次换牌的机会，即可以放弃其中的某几张牌，放弃的牌留下的空缺由机器在剩下的47张牌中再次随机分配。
玩家的奖金依据其最后所持有的牌型而定。
下面是一份典型的奖金分配表：
牌型
奖金（元）
同花大顺（10到A）
800
同花顺
50
四张相同点数的牌
25
满堂红（三张同点加一对）
8
同花
5
顺子
4
三张相同点数的牌
3
两对
2
一对高分对（J及以上）
1
其它
0
在上表中，玩家的牌型属于某一类型且不属于任何更高的类型，则赢得该牌型相应的奖金。
1、若某玩家采取以下策略，当原始的牌型构成一个顺子或更高的牌型时，则放弃换牌的机会；否则，除保留对子或三张相同点数的牌外，将手中其余的牌放弃，由机器再次随机分配。
根据上述游戏规则和策略，分析各类牌型出现的可能性，计算采取该策略能获得的期望奖金金额。
2、对上述策略进行评价。
3、是否存在更好的策略。
若有，请与上述策略进行比较。
题3：
确定学术论文重要性排序
随着现代科学技术的发展，每年都有大量的学术论文发表。
如何衡量学术论文的重要性，成为学术界和科技部门普遍关心的一个问题。
有一种确定学术论文重要性的方法是考虑论文被引用的状况，包括被引用的次数以及引用论文的重要性程度。
假如我们用有向图来表示论文引用关系，“A引用B”可用下图表示：
现在有A、B、C、D、E、F六篇学术论文，它们的引用关系如下：
要求：
1）设计一个依据上述引用关系排出六篇论文重要性顺序的算法，并给出用该算法排得的结果。
2）将算法推广到任意N篇论文的情况。
题4：
补考日程编排问题
每年开学初，我校都要安排学生补考。
一方面，补考涉及人数较多，专业广泛，因此科目繁多；另一方面，参加同一门课程补考的学生来自全校各个专业，而且有些学生同时有多门课程需要补考。
补考不同于平常的期末考试，只能利用周末进行，并且考试周期不能拖得太长，假如由你来负责编排补考日程，请你建立相关模型，设计一种补考日程编排方案，使得任何一个学生的不同补考科目在时间上都不冲突，并且使整个补考周期尽可能短。
1．假如同一个时间段可供使用的考场个数没有限制，问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？
2．假若能同时使用的考场数目是有限的（比如只有10个教室），问如何编排考试日程表才能使整个考试过程在最短的时间内完成？
3．附件中是今年考试的部分考生信息，请你利用附件中的数据编制考试日程表。
题5:
两种房贷还款方式有无好坏之分
最近，关于个人购房按揭贷款的还款方式引起了社会各界的关注。
银行目前有等额本息还款法和等本不等息递减还款法两种还款方式，且一般推荐提供等额本息还款法。
有人认为一笔20万元、20年的房贷，两种还款方式的差额有1万多元，认为银行在隐瞒信息，赚消费者的钱。
所谓等额本息还款法，即每月以相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还清；而等本不等息递减还款法（简称等额本金还款法），即每月偿还贷款本金相同，而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清。
1．请你建立数学模型讨论这两种房贷还款方式是否有好坏之分；
2．是否可以设计一些其它房贷还款方式，并作讨论；
3．给报社写一篇稿子，介绍你的研究成果。
题6:
高校教师升职加薪问题
某民办大学教师的职称分为助教、讲师、副教授、教授四个级别，其中助教从在读博士生中聘用，当取得博士学位后自动升为讲师，而讲师、副教授均需至少任职7年才可申请晋升上一级职称。
所有教师每年领取10个月（每年9月至次年6月）工资（年薪），助教为27000美元，讲师为32000美元，副教授为40000美元，教授为52000美元。
每年教师的工资都会增加，涨工资总是在9月初生效。
若教师职称得到及时晋升，则应增部分等于未晋升而连续工作7年每年应增部分的总合。
得到及时晋升且工作满25年以上的教授退休时的工资为64000美元。
同样职称但具有更多经验的教师应比经验较少的教师工资高一点，但工资增长随任职年数增加而逐年下降。
外校调入教师的在外校的教龄可折算为本校教龄，但最多只能按7年计。
试分别考虑生活费用有无增加两种情况，设计一个公平合理的加薪规则。
题7:
适当换车真的省钱吗？
上海市出租车收费制度在1998年进行了调整，由原来5公里起步价14.4元、每公里车费1.8元变为3公里起步价10元、每公里2元，并且10公里以上每公里增收50%、特殊时段（23：
00—6：
00）每公里增收30%。
制度改变后，一些精明的乘客在行驶一定里程后，利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。
可现在，这种乘客越来越少见了。
请问适当换车真的省钱吗？
建立数学模型解释上述现象。
题8:
银行准备金问题
银行各储蓄所每天都需要有一定的现金作为准备金，以供人们前来取款。
如果储蓄所准备金太多，则对于银行来说是一种损失（本来这部分现金可以贷款出去以赚去贷款利息），如果储蓄所准备金太少，则到时候有人要取钱时不够了，则要损害银行信誉，此时银行可以到附近其他银行的网点拆借，但是拆借的利息比较高。
当然没有还有人来存款，存款的钱可以作为取款人取的钱。
存款人与取款人的人数以及金额都是相互独立的。
所以对于银行来说，合适的银行准备金是银行必须考虑的一个问题。
下面以某个储蓄所为例，考虑该储蓄所每天该如何准备现金。
假设每5分钟内前来取款的人数服从参数为1的possion分布，取款金额服从参数为（1500，550）的正态分布，存款的人数服从参数为0.2的possion分布，存款金额服从参数为（2000，670）的正态分布。
存款人和取款人的到来相互独立。
银行的存款利率r1，贷款利率是r2，拆借利率是r3，r3>r2>r1。
要考虑的问题是：
1、该储蓄所的最佳准备金是多少？
2、为了使至少95%的顾客都能取到钱，每天至少该准备多少现金？
3、如果银行要求取钱金额超过5万必须提前一天预定，那样准备金又该如何准备？
题9:
导弹发射问题
1、我防空指挥部的雷达发现有一架来路不明的飞机，经分析确认是一架敌机后，即命令正处在指挥部上空处于同一高度进行巡逻的我方战斗机发射I型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。
假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东N公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后.导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。
在适当的假设下，确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I型空对空导弹击毁敌机的条件。
2、若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II型地对空追踪导弹截击敌机，假定敌机始终距地面高度为h公里飞行，其他假定同情况1中所述，重新确定此时II型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。
3、若敌机的飞行速度v、其位置N和追踪导弹速度u均为给定的常数；针对情况1中敌机被导弹击中的条件下，给出一个计算机编程的算法及相关程序，以计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机的位置。
据此，在v=1马赫数，N=100公里,u=2马赫数时，利用上述的程序算出具体敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。
4、若追踪轨迹确定时，导弹击毁敌机还存在随机性，导弹飞行的路程越长，其击毁敌机的概率越小，试重新讨论情况1中的问题。
题10:
考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。
水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体（像冰淇淋的形状，见图）。
如果球体的半径限定为正好6英尺，设计的水箱表面积为450平方英尺，x1为直圆锥的高，x2为球冠的高，请确定x1，x2的尺寸，使水箱容积最大，并讨论模型的敏感性。
题11:
总部位于俄亥俄州阿克伦城的Firestone公司在南卡罗来纳州佛罗伦萨有一座工厂，生产两种类型的轮胎（SUV225和SUV205）。
由于最近轮胎市场回暖，需求量很大。
每批100个SUV225轮胎需要100加仑的复合塑料和5磅的橡胶，每批100个SUV205轮胎需要60加仑的复合塑料和2.5磅的橡胶。
每种类型的每个轮胎需要1美元的劳动成本。
该制造商每周有660加仑的复合塑料、750美元的资金、300磅的橡胶。
公司估计每个SUV225轮胎的利润是3美元，每个SUV205轮胎的利润是2美元。
a）为了最大化利润，公司每周每种轮胎分别应该生产多少？
b）假设该制造商有机会与一个轮胎销售商签订一份供货合同，向销售商提供至少500个SUV225轮胎和至少300个SUV205轮胎，该制造商是否应该签这份合同？
请给出支持你的建议的理由。
c）如果该制造商可以以50美元的总成本额外获得1000加仑的复合塑料，他是否应该购买这些复合塑料？
请给出支持你的建议的理由。
题12:
社会学家发现了一种被称为社会流传的现象，指的是一条信息、一种技术创新或一种文化时尚在人群中的传播。
这样的人群可以分为两类：
一类接受到该信息，另一类没有。
在一个人口数量已知的固定人群中，有理由假设流传率与已接收到信息的人数和待接收的人数的乘积成正比。
若X表示N个人的居民中已接收到信息的人数，那么关于社会流传的数学模型为dX/dt=kX（N-X），其中t表示时间，k是正常数。
a）解这个模型，并证明它的解是一条Logistic曲线。
b）什么时候此信息传播最快？
c）最终会有多少人接受到此信息？
题13:
云翔公司生产并直接向客户销售个人电脑。
公司通过电话或公司的网站接受订单。
云翔公司在最近几个月内将推出多种新款手提电脑模型。
管理层意识到公司需要发展专长于新的手提电脑系统的技术支持人员。
一个选择是雇用新的员工并培训3个月，另一个选择是让现有的客户服务专家接受2个月的培训。
云翔公司估计5~9月对手提电脑专家的需求将从零增加到100名，每个月的需求如下：
5月—20,6月—30,7月—85,8月—85，9月—100。
9月以后，云翔公司认为保持100名专家便足以保证服务。
无论是雇用新员工或是让新员工代替参加培训的现有员工，一名新员工的年薪大约是27000美元。
云翔公司认为现有员工参加培训的，年薪大约是36000美元。
3个月的培训费用是每人1500美元，而2个月的培训费用是每人1000美元。
需要注意的是：
培训的持续时间意味着雇用和新的专家不能即时提供服务。
并且现有员工中能够参加培训的人数是有限的。
云翔公司估计近几个月可用的专家数如下：
3月—15,4月—20,5月—0,6月—5，7月—10。
培训中心每个月均可开设新的3个月及2个月的培训班。
但是，每月开始培训的学员人数（新雇用的和现有的）不得超过25人。
云翔公司需要确定每个月开始3个月训练的新雇员以及开始2个月训练的现有员工数。
其目标是为了尽可能低的总费用满足5~9月的员工需求。
即：
使固定花费和总训练费用最少。
现在是1月份。
云翔公司要制定一份雇用新员工的计划，并确定在训练中新员工与现有员工如何混合安排。
文中需包含并分析了下面几项：
a）与雇用新员工以及将其训练成手提电脑专家相关的固定工资与训练费用。
b）与让现有员工参加训练相关的固定费用与训练费用。
要注意的是，当该员工参加训练时，必须雇用新手来代替他。
c）对雇用及训练计划提出建议，以使2~8月期间的工资和训练费用最少。
同时回答问题：
为新手提电脑模型提供技术支持的总花费是多少？
9月份支付的总费用比1月份高多少？
题14:
你志愿参加了和平组织，被派往卢旺达进行人道主义援助。
你和世界卫生组织的官员一起发现了一种新的杀手病毒——汉坦病毒。
如果只有一个病毒复制进入人体，它就能迅速复制繁殖。
事实上，该病毒的数目每小时翻番。
人体免疫系统可能是相当有效的，但是这种病毒隐藏在正常的细胞里。
结果是，当有1百万个病毒复制在身体里漂浮时人体免疫响应才开始。
免疫系统的第一个响应是体温升高，因此把病毒的复制率降低到每小时150%。
发烧以及随后的类似流感那样的症状是这种病的第一个迹象。
某些带有这种病毒的人只有流感或重感冒的症状。
假设是这样的话，会导致致命的后果，因为单靠免疫响应是不足以抗击这种致命的病毒的。
在最大的响应下，仅靠免疫系统每小时只能杀死200000个病毒复制。
对一个已经感染一个病毒复制的志愿者（在使用抗生素前）疾病的初始阶段进行建模。
a）要多长时间该病毒复制能启动免疫系统的免疫响应？
b）如果病毒复制的数目达到了10亿个，那么病毒就不会停止复制。
确定什么时间会发生这种情形。
c）当病毒复制的数目达到了1万亿个时，人就会死亡。
确定什么时间会出现这种情形。
为了充分抗击这种病毒，受感染的患者需要每隔一个小时注射一定剂量的抗生素。
单独的抗生素并不影响到病毒的复制速率（发烧使得病毒的复制速率保持在150%的水平），但是免疫系统和抗生素一起每小时就能杀死500000000个病毒复制。
d）对（使用了抗生素后的）病毒发展的第二阶段进行建模。
确定为了挽救病人而能够最晚使用抗生素的时间。
分析你的模型，并讨论其优缺点。
题15：
估计动物数量
估计一个有限封闭区域内生物数量，例如湖里的鱼或森林里的松鼠，一种方法是抓到一些个体并给它们做上标记或系上标签，再放回原处。
设想抓到了x只动物，做好标记后释放回去，过一段时间后，抓到了n只这类动物并发现其中有y只有标记。
我们可以怎样估计这一地区该类动物的总数量N呢？
估计出的数量准确度如何？
建立一个模拟模型来检查你的答案。
对于x和n值的选取你有什么建议？
若考虑动物的自然增长，如何校正你的估计？
题16:
杭州地铁票如何定价是合理的
杭州地铁已开通，而关于地铁票价该如何制定一直是大家讨论的热点，现有的定价是否合理也值得探讨，请根据你所查阅的资料，给地铁定价提出一个方案并说明其合理性，以及用你提出的方案给杭州地铁定价。
题17:
计划生育下我国人口年龄分布结构的预测
人口年龄分布结构是关系到国计民生的大事，老龄化已成为社会讨论的热点，很多人觉得老龄化的出现主要是由于计划生育的原因。
请自行查询数据资料，预测我国未来20，如果一直实行现行的计划生育不变，那么我国人口年龄分布的结构将如何变化，是否真的会进入老龄社会。
题18:
工作载荷平衡
数字映像A公司生产一种照片打印机供应专业市场和普通市场。
客户部最近推出两款可以进行彩色打印的照片打印机。
同一家专业处理实验室B生产的产品相抗衡。
D910型可以在大约37秒里进行4--6无边界打印。
而更加专业更快速的D950型甚至可以进行13--19的无边打印。
财务预测显示，两种型号的利润分别是42，89美元。
产品在DJ工厂里生产，有三道工序：
组装、测试、包装。
有两条生产线，第一条生产线完成组装，每台D910需要4分钟，每台D950需要6分钟。
第二条生产线完成测试和包装。
两种产品在第二条生产线上分别花5分钟，3分钟。
两条生产线各只有8小时生产。
管理报告
1如何安排生产可以使利润最大？
2如果D910的数量不低于D950的时候，又如何安排生产？
3如果两条生产线的生产时间最多差30分钟，又该如何安排生产？
题19:
生产战略
BFI公司在H工厂生产健身器材。
最近他们设计了两款在家庭锻炼广泛使用的举重器，不仅有锻炼功能，还有保健功能。
在最近的交易展销会上，受到交易者的关注。
实际上，BFI公司收到的订单数量已经超过了其生产能力。
这两款器材由不同的材料制成，分别命名：
BF100，BF200。
BF100是由框架、压力装置、一个提拉装置组成。
生产一个框架要4小时的焊接，2小时的涂漆,材料成本450美元;生产一个压力装置要2小时的焊接和1小时的涂漆,300美元的材料费;生产一个提拉装置需要2小时的焊接和2小时的涂漆,250美元的材料费.
BF200也是由框架、压力装置、一个提拉装置组成。
生产一个框架要5小时的焊接，4小时的涂漆,材料成本650美元;生产一个压力装置要3小时的焊接和2小时的涂漆,400美元的材料费;生产一个提拉装置需要2小时的焊接和2小时的涂漆,250美元的材料费.
在一个生产周期里,有600个焊接时间,每个焊接时间的人工成本是20美元,450个涂漆时间,每个涂漆时间的人工成本是15美元.
两种产品的价格分别是:
2400美元,3300美元.
管理报告
1如何安排生产?
2为了增加利润,哪方面需要扩展?
3BF200至少占生产总量的百分之25的要求会怎样影响生产?
题20:
哈特风险基金
HVC为计算机软件和互联网的发展提供风险基金。
目前HVC有两个投资机会.
1安全系统一家公司需要更多资金用于开发互联网的安全软件.HVC必须为接下来的3年的第1年提供60万美元，第2年提供60万美元，第3年提供25万美元。
2市场调查一家公司需要更多资金用于开发一套可以调查顾客满意度的软件.HVC必须为接下来的3年的第1年提供50万美元，第2年提供35万美元，第3年提供40万美元。
由于其它的投资,HVC第1,2,3年分别只有80,70,50万美元来投资.
HVC财务分析小组估计,对这两个项目全额投资,净现值分别为:
180,160万美元.
HVC如果对安全系统投入百分之40的资金,那么第1年需要0.4-60万=24万美元,第2年也要24万美元,第3年要100万美元.在这种情况下,净现值是72万美元.
管理报告
1这两个项目各投资比例多大?
总投资的净现值是多少?
2接下来3年的为两个项目资金分配计划是什么?
3如果HVC愿意在第1年追加10万美元,会对投资计划有何影响?
4你是否建议公司第1年再追加10万美元的投资?
题21:
投资战略
D公司是一家投资咨询公司,为大量的客户管理到达1.2亿美元的资金.为了保证客户投资的多元化,公司对股票增长基金,收入基金和货币市场基金的投资数额加以限制.一般来说,投资在股票方面的资金占总投资的百分之20--40,投资在收入基金上的资金确保在百分之20--50,货币市场方面的投资至少应该占百分之30.
此外,公司引入了风险承受能力指数.
公司还预测,股票基金的年收益率是百分之18,收入基金的年收益率是百分之13,货币市场基金的年收益率是百分之8.
管理报告
1如何将80万美元投资于这3种基金?
年收益率是多少?
2假设客户的风险承受指数提高到0,055,投资收益将增加多少?
3如果客户的风险承受指数还是0.05,而股票的年收益率从0.16下降到0.14,那么新的最佳投资方案是什么?
题22:
货车租赁计划
R公司得到一份合同,负责城区道路和场地建设.总工期约4个月.从第1个月到第4个月需要的货车分别是10、12、14、8辆
现在公司有20辆货车,都是从P公司租来的,虽然这些车有其它任务,但是R公司估计第1,2,3,4个月分别有1,2,3,1辆车可以用于城区建设.因此,R公司还需要租赁更多的车.
长期租用货车的费用是每月600美元,货车司机每小时20美元工资,每辆货车耗油每天费用100美元.,货车每月工作160小时.
还可以短期租赁货车.租期为1,2,3,4个月的成本分别是4000,3700,323,3040美元.R公司希望在完成任务的前提下,实现成本最小.
管理报告
1租赁的最优方案是什么?
2最优方案的租赁成本是多少？
3为了保持公司不裁员的政策，公司要多付出多少资金？
题23:
劳动力安排
D公司有两家制造厂，最近开始雇用由劳工无限公司提供的临时工，签署了3种不同的临时工，汇总如下
工作为1，2，3个月的费用分别为2000，4800，7500美元/每人。
工作时间为1，2，3，4，5，6个月需要的人数分别为10，23，19，26，20，14。
每个月D公司可以根据需要签署每种合同的临时工。
D公司有一个质量控制项目，需要每名临时工受雇的时候接受培训。
每名临时工的训练费为870美元（工作一个月）。
若工作2个月，则第2个月没有训练费了。
管理报告
1签订各种临时工的人数是多少？
2每个临时工的训练费降到700美元，雇用计划受何影响？
3基于870美元的训练费的雇佣计划，2中的训练费减少多少？
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