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含参变量有限积分的计算
课程论文
题目
学生毛文龙
所在院系理学院
指导教师职称
完成日期
2011年6月20日
含参变量有限积分的计算
引言
含参变量的有限积分的计算，是数学分析学习中的难点，也是工科考研复习中的难点，其主要题型包括：
含参变量有限积分的计算、含参变量积分函数的相关计算（极限、求导）等等。
、定义及性质
1.积分限固定的情形
定义设二元函数fx,u在矩形域Raxb,x有定义，
b
u,，一元函数fx,u在a,b可积，即积分fx,udx存在。
u,都a
对应唯一一个确定的积分（值）fx,udx。
于是，积分fx,udx是定义在区
aa
b
间，的函数，表为ufx,udx，称为含参变量的有限积分，u称为参变a
量。
性质1（连续性）设函数fx,u在矩形域Raxb,x连续，则函
数u"fx,udx在区间，也连续。
a
这表明，定义在矩形区域上的连续函数，其极限运算与积分运算的顺序是可
交换的。
即对任意u0
b
，lim
uu0a
x,udx
b
limfx,udx。
auu0
上连续，则含参变量的
同理可证，若fx,u在矩形域Raxb,x
d
积分ufu,ydy也在区间，上连续
c
性质2（可微性）
若函数fx,u及其偏导数丄在矩形区域
u
Raxb，u
上连续，则函数u
b、
fx,udx在区间a
可导，且
du
说明被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续时，导数与积分运算是可以交换顺序的。
（积分号下求导定理）
性质3（可积性）若函数fx,u在矩形区域Raxb，u连续，则
b
uf
a
fx,udx在区间，上可积，且
bb
udufx,udxdufx,ududx
aa
表明定义在举行区域上的连续函数，关于不用变数的积分（简称累次积分）
可交换积分次序。
推论在闭矩形域上连续函数fX,y，其累次积分可交换求积顺序。
2积分限变动的情形
性质4（连续性）若函数fx,y在矩形区域Raxb，u上连续，
函数ay，by在c,d上连续，并且aayb，abyb，cyd，by
则Fyfx,ydx在c,d上连续。
ay
性质5（可微性）若fX,y,fyX,y都在矩形区域Raxb，u上连续，函数ay，by在c,d上可微，且满足aay，byb则函数
fx,ydx在c,d上可微，且有
by
ayfyx,ydxfby,yb
三、基本方法
1.含参变量有限积分的基本计算
方法1.交换积分顺序
1ba
1xx
dx0ab
0lnx
由被积函数的特点想到积分
兰b
lnxa
b
xydy
a
ba
xx
Inx
所以
0,1a,b
上连续
方法2.换元法
若函数f
做换元t
b1
y
dyxdx
a0
dy
In
x连续,
X
tf
0
tdt
X
tfX
0
tdt
所以题意条件就被变形为
du
等式两边对X求导，得
X
fudu
0
XfX
Xf
02fxdx
方法3.先求导再积分
例计算I
In1
COSX
dx，
解因为I
COSX,dx
1COSX
利用万能公式COSX
dx
01COSX
1
dy
0
1COSX,
fxdxo
du
udu
du
u
uf
0
udu,
uf
udu
sinx，
COSX，
X
fudu
0
dx，
01COSX
.2Xtan
2，在上式中令
2X
2
tan
2dt
1t21t2
sinx，
ttan2有
2dt
1_t2
1
于是
积分得到
显然，100，从而C
o
arctant
1-2
ln1
In2,
In-
方法4.积分号下求导法求积分
计算Ia
令fx,a
•12
但limf
x0
x,aa，
故补充定义f
则f在0,2
2arctanatanx,
02dx，
tanx
arctanatanx
，则当
tanx
limfx,a0，
x
2
0,aa，f2,a
b,b连续0b1
%时,
f无定义,
从而I
a在1,1
连续，有
1
fa（x,a）
1
a2tan2x
（0,-）,|a|1
0,
0,-,|a|1
显然fax,0在
2点不连续
，但fa
x,a
分别在0,2
1,0和
0,20,1连续。
故有Ia
x,adx
21
01a2tan2x
dx，
1,0或a0,1，
令tanxt，得
_11
01t21a珏dtfV0一
2^22
ata厂dt1t1a2t2
1-a20
1
1t2
2
a
-
at
dt，a
1a
1,0或a
0,1o
积分得I
In1a
2
0,1；
—In1a
2
C2,
1,0
因为la
1,1连续，故
I0limIa
a0
limI
0
得C1C2
0，从而得
IaIn1
2
方法5.含多个参变量情形的讨论
计算2Ina2sin2
0
xb2
2
cosx
dx，a0,b0
将a视作参变量,
b视作常数,
b时,
b时，做代换
02|n
asin2xb2cos2xdx，
2
0a2sin2x
2
2asinx
2sin2xdx
0
tanx，得
t2
2dxocosx
2b
t21t2与
a
2
a
2
a
dt
-arctantb
b2
a2b2
a,at
arctan
bb
积分,
再令a
b,则
bln2b
C。
但
b2ln
0
b2cos2
・2xsin
xdxInb，
所以
小1
CIn—，
2
于是
aln
ab
1In—
.ab
In0a
2
2
如果a
0或b0，
则可化为a
0且b
0的情
形，于疋aIn
albl
a
Inabc0a
o
2
2.含参变量的变上限积分函数的计算
X
习惯上，我们称Fxfx,tdt为“含参变量的变上限积分函数”，还有更
a
复杂一点的形式是Gx
x,tdt，对于这一类函数的相关计算,
主要分为求
积分、求导、求极限三类。
方法1.运用公式直接计算
x22
exyx
dy，求Fx
解设fx,yexy
，则fx
x,y
2xy2
ye，
因fx,y，fxx,y在R2上连续,
所以，由可微性定理得
exx2
x22
Fxexydy
xx
的，因为这里在被积函数里还含有“参变量x”。
这一类求导问题是考研的热门问题，有些辅导班和辅导教材，专门介绍“数学分析”里的“含参变量的变上限积分函数”求导的莱布尼茨公式，殊不知这样的解法是朝纲的，不被阅卷老师认可的。
按照工科考研要求，只能把被积函数里含有的“参变量
x”设法“弄到”积
分号外面。
方法1.先分部积分再求导计算。
yIn1xy
0
dx，y
0，求F
In
ydx
01xy
In1y2
y
In1xy
y
-In1
y
方法2.积分号下求导
例求函数Fy
In1yx
dx的导数
x
解y0，暂时固定,
0,使得
易见见函数
上In1yx
fx,y
x
及其偏导数
yx,y
—在丿
yx
续。
并且,
x1
yy和x2y
y2在
可导。
故由定理知
可导，则有
In1yx,
dx
x
In1
dy2
dy
In1yy
x
dy
dy
2
y
dx
y1yx
2yIn1y3
In1
32
In1yIn1y
y
2yln
1y3In1
方法3.先定理展开在求导
例设X
：
2沁dy，求
xy
.3
sinxcosxydy厂x
2
小sinx”
2x1
x
x23
sinxy2sinx
xxx
・2sinx
3sinx32sinx2
方法4.先换元简化再求导。
例若fX是连续函数，求
g
dx
1
fxtdto
0
Fx
0x‘
fX1fX0
方法5.换元法求二阶导。
例设f（x）为连续函数，
hh
Fxfx
00
dd，求Fx
解令Xu，则
hh
Fxfx
00
hxh
dddf
0x
:
udu，
所以Fxfxtdtfudu，
分析对于函数进行求导，我们能不能先求导再积分?
1
fxtdtfxt
o
回答：
肯定不行!
因为：
（1）不满足莱布尼茨公式的条件，即不满足fX是连续函数
（2）即使满足莱布尼茨公式的条件，考研试卷上如果使用这样的方法，阅卷时时得不到承认的。
1
所以，要想方设法把°fxtdt中被积函数fxt中的x从积分号里往外搬。
解令uxt，则tux，dtdu，t0和t1对应于ux和ux1，
1X1
Fx
h
f
0
h
xhdfxd0
0
在第一项中令x
hu,在第二项中令xu，则
x2h
xh
Fx
fudufudu,
xh
X
Fx
fX
2h2fxhfx0
4.含参变量有限积分函数的极限
方法1.连续性定理求极限
例求lim
a0
1dx
20
01xcosax
解因为-
1
J在区域
xcosax
0,1
1,1上连续,
1
lim一
0a01
dx
~2
xcosax
因此lim2^——
a001xcosax
1dx
01X
arctan1—
4
方法2.换元法简化再求极限。
例若fX连续，且f0
0,f0存在,
nn
fxtdt
0
2n
X
1
lim-—
n0
fXntndt
xn
X2n
Sim0
nx0
fudu
2nX
n1
1nxlim
nx0
n
fX
2n1
2nx
丄lim
2nn0
n
fX
n0
X
再作极限变量的换元，令y
n，便得到
原式■—lim
2ny0
丄lim』
2ny0y
f0。
2n
X
t
求lim—
X0
解分子上的积分做积分变量的换兀
方法3.洛必达法则
例求下列极限
（1）lim
x
X2
arctantdto
x2
exc+2
（2）lim-t2etdt。
xV0
\x
解
（1）注意到x时，；x21
，用洛必达法则有
lim
x
x
arctant
0
2dt
x
—x2—1
lim
x
2
arctantdt
0
（2）当x
lim
x
时,
arctanx
xxe
2
2
2X
e
X
2X
e
2
X
四、问题延伸
1.引入参变量求定积分
1ln1x
例求Idx。
01x
解：
此积分直接计算很难，形式上又不是含参变量的积分
方法1因为
y1
lnxln1xyy0
1xdy
01xy
所以
Un1x,dx1x,
I2dx2dy
01x201x201xy
又因为函数
2在R0
1x1xy
x1,0
y1上连续，故可交换积分顺序。
带入上式得
于是i
11
dy2
001x2
xdx
xdxx21
1
01y2
xy
In2
2
In2In288
—In20
8
1x
01x2
亠dx
1xy
^In1
2
yarctanxIn1
xy
In2
In1y，
In
dy
方法2考虑含参变量的积分I
1Jn
0
函数In1xy及其关于y的偏导数
1x2
——在R0x1,0xy
连续。
根据可微性定理有
1
01x21
——dxxy
将上式两端对
1In2
1y22
yIn
4
y从0到1积分,
I01^7
01y2
In2
T7y
In1
dy
显然，io0,11I
故有1-ln2
2.相关计算类证明
证明
设函数f
x连续，证明函数F
dt有二阶导数,
ftdt
ftdt
x
xft
0
dt
x
tf
0
tdt
x
tf
0
dt
x
ftdtxfx
o
xf
x
otftdt，F
设函数fx连续，Fx
1
fxtdt
o
证明:
分析
这里要把被积函数里含有的“参变量x”设法弄到积分号外面去，只
有作换元了。
注意在积分的过程中,
t是积分变量,
x是与积分变量t无关的常量。
证明作换元uxt时，du
dt，
fudu，
所以Fx
证明:
分析
设函数fx可导，且f
心Uo
x0x2n
Xtn1fx
0
tndto
极限死爭是0型的待定型，要对分子
Xtn1fx
0
ntndt进
行求导，如前所说，我们不能光注意到积分上限是变量
还要注意到在被积函
数tn1fxntn里也明显含有Fx的自变量xo但被积函数里的这个x，在积分
的过程中是与积分变量t无关的常量。
为了要把被积函数里含有的“参变量x”设法弄到积分号外外面去，最适合
的换元就是：
令uxntn因为
FxXtn1fx
ntndt-
tn
证明令uXntn，则有dudXntnntn1dt，即tn1dt
1
-du，n
于是Fx
10
-nfudu。
x
那么lim
x0
lim
nx0
xn
fudu
0
2n
x
lim
nx0
2nx
2n1
[1]王国灿，成德
[2]清华，相鹏等
[3]书田，惠玲等
1
2n
1
2n
xm0
fxn
fzf0
r~0
简明数学分析[M]
2n
参考文献
交通大学,
工科数学分析习题与例题解析
:
华中科技大学，2002.
微积分阶梯方法与技巧
:
大学，2006.
[4]东北三省高师函授《数学分析》协编组数学分析：
人民，1984.
⑸玉琏，傅沛仁数学分析讲义：
人民教育，1982.
课程论文成绩考核表
学生
专业班级
题目
评审者
考核项目
评分
指导教师
1
平时态度与遵守纪律的情况（满分20分）
2
掌握基本理论、专业知识、基本技能的程度和水平（满分20分）
3
抽签答题的正确性（满分20分）
4
完成任务的情况与水平（按规化要求）（满分20分）
5
答辩时讲述的条理性与系统性（满分20分）
总评成绩
总评成绩等级（优、良、中、及格、不及格）
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