第八章时间序列分析.docx
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第八章时间序列分析
第八章时间序列分析
第一节时间序列分析概述1
一、时间序列的概念1
二、时间序列的种类2
三、时间序列的编制原则4
第二节时间序列的水平分析5
一、发展水平与平均发展水平5
二、增长水平与平均增长水平8
第三节时间序列的速度分析10
一、发展速度与增长速度10
二、平均发展速度与平均增长速度12
三、速度分析与水平分析的结合与应用15
第四节长期趋势分析17
一、时间序列的构成因素17
二、时距扩大法17
三、移动平均法18
四、最小二乘法20
五、趋势外推预测23
第五节季节变动与循环波动分析27
一、季节变动分析27
二、循环变动的测定30
第六节EXCEL在时间序列分析中的运用31
一、季节变动、长期趋势与循环变动的测定31
二、描绘循环曲线图33
本章小结36
本章学习常规的时间序列分析方法，内容包括：
水平分析、速度分析、长期趋势分析、季节变动分析与循环波动分析。
通过本章学习，要求：
1.理解时间序列的含义、编制的要求；2.了解各类时间序列分析的意义和基本内容，掌握有关指标和数学模型的计算方法；3.能运用Excel和所学知识对有关经济现象的时间序列进行分析和预测。
第一节时间序列分析概述
一、时间序列的概念
社会经济现象随着时间推移不断发展变化，关于社会经济现象的统计指标在是不同时间观察记录的。
所谓时间序列也称动态数列或时间数列，它就是将各个不同时间的社会经济统计指标，按时间先后顺序排列而形成的。
表8-1我国若干国民经济指标时间序列
指标
年份
GDP
（亿元）
年末人口
（万人）
人均GDP（元）
第三产业比重（%）
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
21618
26638
34634
46759
58478
67885
74663
78345
81911
89404
115823
117171
118517
119850
121121
122389
123626
124810
125909
126583
1879
2287
2939
3923
4854
5576
6079
6307
6534
7082
33.4
34.3
32.7
31.9
30.7
30.1
30.9
32.1
33.0
33.2
表8-1是我国1991年至2000年若干统计指标的时间序列。
不难看出，时间序列有两个基本要素：
一是统计指标所属的时间，二是统计指标在特定时间的具体指标值。
在统计研究中，时间序列的分析和研究具有很重要的地位。
开展时间序列分析的主要目的如下：
（1）通过计算各种水平指标和速度指标，了解和分析社会经济现象发展变化的历史过程。
（2）通过长期趋势分析、季节变动分析、循环变动分析等了解和分析社会经济现象发展变化的规律性。
（3）通过建立数学模型预测现象的未来发展趋势。
二、时间序列的种类
时间序列按照其指标的性质，可以分为总量指标、相对指标和平均指标三种类型。
总量指标时间数列也称绝对数时间序列，它是基本的时间序列，相对指标和平均指标时间序列是在其基础上派生出来的。
（一）总量指标时间序列
总量指标按其所反映的内容的不同，有总体单位总量和总体标志总量两种，用以反映社会经济现象达到的绝对水平。
所谓总量指标时间序列就是把一系列总量指标值按时间的先后顺序排列起来所形成的时间序列。
根据总量指标反映的社会经济现象性质的不同，又可分为时期指标时间序列和时点指标时间序列。
在表8-1中，GDP是总体标志总量指标，年末人口数是总体单位总量指标；GDP是时期指标，年末人口数是时点指标。
下面讨论时期指标和时点指标的特点。
1.时期指标
（1）可加性。
不同时期的总量指标可以相加，所得数值表明现象在更长一个时期的指标值。
例如，月度GDP、季度GDP和年度GDP指标所属的时间长短不同，把1月份、2月份、3月份的GDP加总，得到第一季度的GDP，把一年四个季度的GDP加总，则得到年度的GDP。
（2）指标值的大小与所属时间的长短有直接关系。
这是由时间指标的可加性特点所决定的。
一般指标所属时期越长，指标值越大。
如上面所说的季度GDP总是大于月度GDP，年度GDP也总是大于季度GDP。
（3）指标值采用连续统计的方式获得。
由于时期指标是反映现象在一段时间内的发展过程总量，因而必须在这段时间内把现象发生的数量逐一登记，并进行累计得到指标值。
2.时点指标
（1）不可加性。
不同时点的总量指标不可相加，这是因为把不同时点的总量指标相加后，无法解释所得数值的时间状态。
如把表8-1的1990年末人口数114333万人和1991年末人口数115823万人相加得到230156万人，但230156万人这个数据属于哪个具体时间是无法说明的，因此也没有意义。
（2）指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系。
在时点数列中，相邻两个指标所属时间的差距为时点间隔。
因为时点指标的时间单位是瞬间，因而许多现象时间间隔的长短与指标值的大小没有直接联系。
如企业年底的库存不一定比各月底的库存量大；企业12月底的职工人数也未必比11月底的职工人数多。
但如果现象本身存在着长期变化趋势，如呈现长期增长或长期下降趋势，则指标数值的大小与时间间隔的长短就有一定关系了。
例如，我国总人口变动呈现长期增长趋势，因此，时点间隔越长，指标的数值就越大。
（3）指标值采用间断统计的方式获得。
时点指标具有不连续统计的特点。
因为时点指标是反映现象在某一时刻上状况的数量，只需要在某一时点上进行统计，取得该时点资料，不必连续统计。
例如我国历次的人口普查就是根据联合国的有关建议和国家的有关规定，间隔一定时点进行一次。
（二）相对指标和平均指标时间序列
前面已经指出，相对指标和平均指标是由总量指标派生出来的。
相对指标和平均指标反映社会经济现象达到的相对水平和平均水平，把一系列相对指标或平均指标按时间先后顺序排列起来，就得到相对指标或平均指标时间序列。
例如，表8-1的人均GDP和第三产业比重时间序列就属此类。
相对指标或平均指标时间序列反映了社会经济现象之间相互联系的发展过程。
在经济统计分析中，往往把总量指标、相对指标和平均指标时间序列结合起来，以便从多方位对社会经济现象进行分析。
三、时间序列的编制原则
编制时间序列的目的是要通过数列中各指标的比较，来研究社会经济现象的发展及其规律。
因此，保证数列中各个指标数值的可比性，是编制时间序列的基本原则。
具体有以下几点要求：
（一）时间一致
对于时期指标时间序列，各指标值所属时期长短应一致。
对于时点指标时间序列，各指标的时点间隔长短应一致。
（二）口径一致
包含几个方面：
一是现象总体范围应一致。
无论是时期指标时间序列还是时点指标时间序列，指标值的大小都与现象总体范围有密切关系，若指标的总体范围不一致，则失去比较意义。
二是计算价格应一致。
价值指标有不变价、现行价，而不变价又有不同时期的不变价，编制价值指标的时间序列要保证各指标的计算价格相同，才具有比较意义。
三是计量单位一致。
实物量指标度量单位有吨、公斤以及标准实物量和混合实物量等，编制实物量指标时间序列要保证各指标的计量单位相同。
四是经济内容要一致。
例如新中国成立以来，我国曾经采用过工农业总产值、社会总产值、国民收入和国内生产总值等指标反映我国的经济活动总量。
这些指标都有不同的经济内容，在编制新中国成立以来的经济活动总量时间序列时，就需要对这些指标加以区别和调整，才能符合可比性的要求。
（三）计算方法一致
指标名称、总体范围、计算价格和计量单位以及经济内容都一致的指标，有时因计算方法不一致，也会导致数值上的差异。
如GDP指标，可以用生产法、分配法和支出法来计算，从理论上讲，三种方法的计算结果应一致，但由于资料来源的渠道不同，这三种方法计算的结果往往存在差异。
因此，在编制时间序列时，应注意各指标的计算方法是否统一，以确保指标可比。
第二节时间序列的水平分析
一、发展水平与平均发展水平
（一）发展水平
时间序列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。
它们是受长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动等因素共同作用的结果，反映社会经济现象在具体时间下所达到的规模和发展程度。
表8-1中资料显示，2000年我国GDP为89402亿元、人口数为12.66亿、人均GDP为7082元、第三产业比重为33.2%，就说明2000年我国这些社会经济现象的发展水平以及所达到的规模和程度。
分析现象的发展水平，要区分几个有关的概念。
在时间序列中，各个指标值用yi表示，则时间序列可表示为y0,,y1,y2…yn-1,yn，通常把首项y0称为最初水平，末项yn称为最末水平，作为对比基准的水平称为基期水平，被研究考察时间的水平称为报告期水平。
（二）平均发展水平
在对时间序列进行分析时，为了综合说明现象在一段时期内的发展水平，需要计算平均发展水平指标。
就是对各不同时间上的指标数值求平均数，将指标在各时间上表现的差异加以抽象，以一个数值来代表现象在这一段时间上的一般发展水平，称为序时平均数。
计算序时平均数的方法要根据时间序列指标的性质来确定。
在前面我们已经知道，有由总量指标、相对指标和平均指标形成的时间序列，计算这三种时间序列序时平均数的方法不同。
但由于相对指标和平均指标是由总量指标派生的，所以根据总量指标时间序列计算序时平均数的方法是最基本的方法。
1.由总量指标计算序时平均数。
总量指标时间数列分为时期和时点两种，二者的计算方法有所不同，下面分别加以说明。
（1）时期指标的序时平均数
这种序时平均数的计算方法比较简单，通常采用简单算术平均数方法计算。
用公式表示为：
（8.1）
式中，
代表序时平均数，yi代表各期发展水平，n代表时期项数。
（2）时点指标的序时平均数
从理论上说，要准确计算时点指标序时平均数，应当掌握现象在每一时点上的数据。
这时，时点数列序时平均数的计算公式就是：
。
但时点指标大多数是间断统计的。
有的是每隔一定时间统计一次，如每月末、每季末、每半年末、每年末统计一次；有的是当现象发生变动时才登记一次；有的则是不定期统计。
对这些不同的资料情况，时点指标时间序列的序时平均数计算有相应的方法，下面逐一介绍：
①间隔相等的时点数列序时平均数的计算。
间隔相等的时点数列序时平均数的计算采用“首末折半法”，公式如下：
（8.2）
【例8-1】根据表8-1的数据计算“九五”期间我国年平均人口数。
解：
表8-1人口数资料是各年年末人口数据，用公式8.2计算1996-2000年平均人口，首先要考虑一下它的首项应该是哪一年的数据。
显然，首项不应是1996年年末人口数，而应是1995年年末人口数。
这是因为1996年年末人口数是年末时点的人口数，它不能作为1996年人口数的代表值，而应以1996年年平均人口数作为代表值。
我们可以把1995年末的人口数看做是1996年年初的人口数，那么，1996年的年平均人口就是年初和年末人口数的简单平均数（当然，这又是建立在假设两个时点间人口呈均匀变动的基础上）。
即：
1996年平均人口=
121775（万人）
类似地可以计算1997-2000年各年平均人口数。
不难推知，公式8.2的实质就是对各时点的平均数求平均数，即：
因此，1996-2000年年平均人口数为：
124117.2（亿人）
②间隔不等的时点数列序时平均数的计算。
时点间隔不等的时间序列计算序时平均数的方法，其思路与时点间隔相等的时点序列相同。
但因为这时时点间隔不同，所以要用时点间隔为权数来加权计算。
下面以一例子说明间隔不等的时点数列序时平均数的计算。
【例8-2】某省2000年有关人口统计数据资料如下，求年平均人口。
表8-2某省2000年有关人口统计数据单位：
万人
1月1日
3月31日
6月1日
12月31日
人口数
2704
2716
2698
2702
解：
由此，不难归纳出间隔不等的时点数列序时平均数的计算公式：
（8.3）
③当现象发生变动时登记一次的时点数列序时平均数的计算。
仍以一例子来说明这种情况的时点数列序时平均数的计算方法。
【例8-3】某企业2000年5月某种工具库存量资料如下，求5月份工具平均库存量：
表8-3某企业2000年5月某种工具库存量资料单位：
件
1日
10日
12日
20日
25日
31日
库存量
85
5
105
50
20
100
解：
这个例子的情况与上面两例有所不同。
在上面两例中，后一时点的数据是前一时点数据逐渐变化的结果，所以，当我们假设这种变动是均匀变动时，可计算两个时点数据的简单平均数作为两个时点之间的代表值。
而本例中后一时点的数据并非前一时点数据逐渐变化的结果，而是前一时点现象一直维持到后一时点的前一天，在后一时点的那一天库存量才发生变化。
因此，在两个时点之间的代表值就是前一时点的数据。
由此，可归纳出计算公式：
（8.4）
2.以相对指标或平均指标时间序列计算序时平均数。
计算相对指标或平均指标时间序列，一般不能就时间序列中的相对指标或平均指标直接计算，而要分别计算出相对数或平均数分子和分母的平均数后，再进行对比。
用公式表示如下：
（8.5）
公式中
代表作为分子的时间序列序时平均数；
代表作为分母的时间序列序时平均数。
【例8-4】某商厦2000年第一季度各月份有关商品销售资料如下，求第一季度商品月平均流转次数。
表8-4第一季度有关商品销售资料
1月
2月
3月
商品销售额（a）
平均库存额（b）
商品流转次数（y）
120
60
2.0
143
65
2.2
289
85
3.4
解：
商品流转次数=
（次）
计算结果表明，该商厦第一季度商品月平均流转次数为2.63次。
二、增长水平与平均增长水平
（一）增长水平
1.增长水平。
增长水平也称增长量，是报告期发展水平与基期发展水平之差。
用公式表示就是：
增长量=报告期水平-基期水平
增长量有逐期增长量和累积增长之分。
逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，说明报告期比前一期增长的绝对数量；累积增长量是报告期水平与某一固定时间的水平（通常为最初水平）之差，说明报告期比某一固定时间增长的绝对数量，即某一段较长时期内的总增长量。
这两个指标用公式表示如下：
逐期增长量：
y1-y0，y2-y1，y3-y2，…，yn-yn-1（8.6）
累积增长量：
y1-y0，y2-y0，y3-y0，…，yn-y0（8.7）
不难看出，逐期增长量和累积增长量存在以下数量依存关系：
1累积增长量等于相应的时期的逐期增长量之和，即：
yn-y0=y1-y0+y2-y1+y3-y2+…+yn-yn-1（8.8）
2相邻两期的累积增长量之差等于相应时期的逐期增长量：
（yi-y0）-（yi-1-y0）=yi-yi-1（8.9）
【例8-5】根据表8-1我国年末人口数资料，计算人口逐期增长量和累积增长量。
解：
表8-5我国年末人口数单位：
万人
1995
1996
1997
1998
1999
2000
年末人口数（yi）
121121
122389
123626
124810
125909
126583
逐期增长量（yi-yi-1）
-
1268
1237
1184
1099
674
累积增长量（yi-y0）
-
1268
2505
3689
4788
5462
在实际统计分析中，为了消除季节变动的影响，也常常计算年距增长量指标。
年距增长量是本期发展水平与上年同期发展水平之比，其公式如下：
年距增长量=本期发展水平-上年同期发展水平
【例8-6】某市2002年春节旅游黄金周接待游客47.59万人次，2001年同期接待43万人次，求春节旅游黄金周接待游客年距增长量。
解：
年距增长量=47.59－43=4.59（万人次）
（二）平均增长水平
平均增长水平也称平均增长量，它是逐期增长量的序时平均数。
计算平均增长量可以将各逐期增长量相加除以逐期增长量个数，用简单算术平均法计算；也可以将累积增长量除以时间序列项数减1。
用公式表示如下：
平均增长量=
（8.10）
根据例8-5资料，计算我国1996-2000年年平均增加人口：
平均增长量=
=1092.4（万人）
第三节时间序列的速度分析
一、发展速度与增长速度
（一）发展速度
发展速度是反映社会经济发展快慢的相对指标。
计算公式如下：
发展速度=
×100%（8.11）
在通常情况下，报告期水平总是大于0，因此发展速度指标值也总是表现为正数。
当发展速度指标值大于0小于1时，表明报告期水平低于基期水平；当发展速度指标值等于1或大于1时，表明报告期水平达到或超过基期水平。
由于采用的基期不同，发展速度有环比发展速度和定基发展速度之分。
所谓环比发展速度也称逐期发展速度，是报告期水平与前一期水平之比。
所谓定基发展速度则是报告期水平与某一固定时期水平（通常为最初水平或特定时期水平）之比，表明现象在较长时期内总的发展速度，也称为总速度。
环比发展速度和定基发展速度的计算公式如下：
环比发展速度：
（8.12）
定基发展速度：
（8.13）
不难看出，环比发展速度和定基发展速度存在以下两个数量关系：
1.环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。
（8.14）
2.相邻时期的定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度。
（8.15）
根据以上两个数量关系式，可以进行相互推算。
【例8-7】某产品外贸进出口量各年环比发展速度资料如下，1996年为103.9%，1997年为100.9%，1998年为95.5%，1999年为101.6%，2000年为108%，试计算2000年以1995年为基期的定基发展速度。
解：
在实际统计分析工作中，为了消除季节变动的影响，类似于前面的年距增长量指标，也常计算年距发展速度，用以说明报告期水平与上年同期水平对比达到的相对程度。
用公式表示如下：
年距发展速度=
×100%（8.16）
根据例8-6资料计算，该市春节旅游黄金周接待游客人次的年距发展速度为：
47.59÷43=110.67%。
（二）增长速度
增长速度是反映增长程度的相对指标。
增长速度与发展速度有密切关系，两者相差一个基数（1或100%）。
增长速度的计算公式如下：
增长速度=发展速度-100%
=
=
=
×100%（8.17）
上面几种计算方法可根据实际掌握资料的情况选择应用。
不难看出，增长速度指标值有可能为正数，也有可能为负数。
与发展速度类似，由于采用的基期不同，也可以有环比增长速度和定基增长速度之分。
前者表示现象的逐期增长速度，后者表示在较长时期内总的增长速度。
与发展速度有所不同的是，环比发展速度和定基发展速度之间可以相互推算，环比增长速度和定基增长速度之间则不能直接相互推算。
要进行环比增长速度和定基增长速度之间的推算，要先把它们还原成发展速度后，才能进行推算。
环比增长速度和定基增长速度计算公式如下：
环比增长速度=环比发展速度-100%
=
×100%（8.18）
定基增长速度=定基发展速度-100%
=
×100%（8.19）
【例8-8】某企业几年来产量不断增长。
已知1996年比1995年增长20%，1997年比1995年增长50%，1998年比1997年增长25%，1999年比1998年增长15%，2000年比1995年增长132.5%。
试计算表8-6的空缺数字。
解：
将已知资料列入表8-6：
表8-6某企业1996年～2000年产量增长速度已知资料
年份
1996
1997
1998
1999
2000
环比增长速度（%）
定基增长速度（%）
20
①
②
50
25
③
15
④
⑤
132.5
表中：
①1996年定基增长速度=20%；
②1997年环比增长速度=[（1+50%）÷（1+20%）]-1=25%；
③1998年定基增长速度=[（1+20%）×（1+25%）×（1+25%）]-1=87.5%；
④1999年定基增长速度=[（1+87.5%）×（1+15%）]-1=115.6%；
⑤2000年环比增长速度=[（1+132.5）÷（1+115.6%）]-1=7.8%。
二、平均发展速度与平均增长速度
平均发展速度是各个时期环比发展速度的序时平均数，说明社会经济现象在较长时期内速度变化的平均程度。
平均发展速度与平均增长速度指标的数量关系是：
平均增长速度=平均发展速度-1
平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数。
在实际工作中有两种计算平均发展速度的方法，即几何平均法和方程式法。
（一）几何平均法（水平法）
现象发展的平均速度一般用几何平均法计算，计算公式如下：
（8.20）
式中，
表示平均发展速度，x表示各年环比发展速度，n表示环比发展速度的项数。
用几何平均法公式计算平均发展速度的数学依据是：
现象发展的总速度不等于各年发展速度之和，而等于各年环比发展速度的连乘积。
用ai表示各期的发展水平，公式8.20可以表现为下面的形式：
=
（8.21）
不难看出，几何平均法名义上是各个环比发展速度的几何平均数，但实际上也是由最初和最末两期的水平所决定的。
只要最末水平决定，中间各期的水平变化对平均发展速度的计算结果并没有影响。
所以，平均发展速度的几何平均法也称为水平法。
以上两个计算公式，可以根据所掌握资料的情况来选择应用。
【例8-9】根据例8-7的数据，按水平法计算平均发展速度。
解：
如果现象的发展过程划分了几个时期，又具有各时期的平均速度指标，要计算全期平均发展速度，则要以各时期持续的年数为权数，按加权几何平均法计算。
计算公式如下：
（8.22）
【例8-10】某地区GDP“九五”前三年平均发展速度为112%，后两年平均发展速度为109%，求该地区“九五”期间GDP年平均发展速度和平均增长速度。
解：
平均发展速度：
平均增长速度=平均发展速度-1=110.79%-1=10.79%
（二）方程式法（累积法）
方程式法是按照这样的要求来计算的，即时间序列中的各年发展水平的总和等于全期的总水平，而各年发展水平是基期水平与各该年定基发展速度的乘积。
根据定基发展速度等于环比发展速度连乘积的关系，各年发展水平也是基期水平和有关各年环比发展速度的乘积。
这样，把各年环比发展速度加以平均化，列出方程式，求解即得出年平均发展速度。
将以上的文字表述用数学关系式来表达，即为：
用zi表示各期的发展速度，则上式可表示为：
用环比发展速度xi代入上式：
把式中的各期环比发展速度平均化，用平均发展速度
取代各环比发展速度xi，即：
（8.23）
这个方程式的正根就是所求的年平均发展速度。
用方程式法计算平均发展速度
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