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数学建模土壤污染问题
城市表层土壤重金属污染分析
摘要
随着我国城市化进程发展，城市土壤重金属污染日益成为人们关注的焦点。
本文通过对城市表层土壤重金属污染的详细分析，探究城市表层土壤重金属污染的程度，研究其污染的原因，寻找污染源，运用数学的方法来解决这一问题。
对于问题一，本文将附件中给出的数据，通过matlab采用插值法建立三维模型，利用Excel建立数据图表，通过模型图我们可以清楚的看到各种元素不同的空间分布。
然后通过单因子污染指数法和内梅罗综合指数法，分析了不同元素对不同功能区的污染程度，算出不同区域内各种重金属元素的污染程度。
对于问题二，本文对文献中的重金属污染的主要原因进行了分析，结合问题一中得出的数据，对每种重金属的空间位置及污染情况分别进行了Excel画图处理，得出了污染的主要原因，然后利用层次分析法对结论进行了正确性的分析与讨论，最终证实结论的正确性，即该城区的重金属污染主要原因在于工业释放及交通排放。
对于问题三，本文根据前两问的结论分析重金属的传播特征，建立了偏微分方程模型，将各个元素的浓度与坐标带人方程求出各参量的值，再结合已利用插值法画出的三维立体图从而确定污染源的位置，并对已经得出的数据进行了误差性的分析。
对于问题四，我们仔细分析了模型的优缺点。
为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应该考虑进去。
有了这些数据以后建立因子分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。
关键词单因子指数法、内梅洛综合污染指数法、层次分析法、模糊综合评判、灰色理论
一问题重述
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主要干道区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现要求你们通过数学建模来完成一下任务：
Ø给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
Ø通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
Ø分析重金属污染的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
Ø分析你所建模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二模型假设
Ø假设污染源采集过程中不丢失，能正确反映具体情况；
Ø假设调查过程中，不发生自然灾害等恶劣天气，不考虑风力等其他因素对重金属传播过程的影响，污染源浓度不变；
Ø假设所选择的采样点能正确反映该城区污染的浓度；
Ø假设各个采集点进行取样时间差对问题研究没有影响。
三符号说明
Pi---------------------------------------污染物i的污染指数；
Ci---------------------------------------污染物实测值（质量分数）；
Si---------------------------------------污染物评价标准；
P综--------------------------------------综合污染指数；（Ci/Si）max--------------------------------土壤重金属元素中污染指数最大值；
（Ci/Si）ave--------------------------------为土壤各污染指数的平均值；
Ni----------------------------------------污染物累计指数；
Mi----------------------------------------各元素背景浓度平均值
四问题分析
随着社会生产力的不断提高和科学技术的不断进步，人类在开发环境、利用环境创造和丰富物质文明的同时，也在污染和破坏着自身的生活环境。
现根据该城区的土壤地质环境的调查结果，分析问题。
问题一的分析：
要描述8种金属在该城区的空间分布，根据附件提供的数据，结合数据特点，运用matlab软件编程，分别建立8种金属在该城区的空间分布三维图，就可以形象地表达出主要重金属在该城区的空间分布。
根据该城区不同地区重金属的污染程度的分析，在现在的社会生活中，本文结合土壤重金属污染的特点，选用单因子分析法和内梅罗综合污染评价法来评价该区不同地区的污染程度。
再根据我国《土壤环境质量标准》，以背景值作为参比值，得到5个区的污染指数，再运用excel软件绘制条形图来形象展现各个城区的不同金属的污染指数，加以分析其污染程度。
问题二的分析：
要分析该城区的污染原因，首先要知道土壤中的重金属来源多种多样，但人类工农业生产活动中也会产生一定的重金属。
我们了解8种金属污染的主要来源，然后分析各个区的各个元素间的相关性，同时考虑各元素主要存在于哪个功能区，判断相关系数高的元素是否由该功能区的某种污染物造成，从而确定重金属的污染原因。
问题三的分析：
根据重金属污染物的传播特征，建立模型确定污染源。
首先我们了解了这8种重金属的主要传播特征，但是由于这些金属传播特征各异，无法建立一个统一的模型确定出污染源的位置。
但考虑到大部分金属颗粒的状态可以通过大气传播，于是依据烟羽模型，通过测量样本点的浓度和位置，推出污染源所在的轨迹，将多个样本反推出的轨迹相交，得以确定污染源的位置。
问题四的分析：
我们仔细分析了模型的优缺点。
为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集该地区的每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放量，以及每年的生物降解量，降雨量对重金属元素扩散的影响，空气污染也应该考虑进去。
有了这些数据以后建立因子分析法，回归分析，曲线拟合等模型解决问题。
五模型的建立与求解
5.1问题一金属的空间分布
对于要展现8种重金属元素的空间分布，本文将附表中的数据，运用matlab软件编程（见附录），建立三维立体图，首先描绘了各个取样点的空间位置，其中不同的颜色表示不同的区域，如图5.1.1
图5.1.1采样点的位置空间分布
为了能清晰的在空间分布图中展现8中金属元素的在城区的分布情况，我们运用matlab软件编程（见附录）分别建立每种元素在空间分布的三维图，并用不同的颜色表示重金属的不同浓度，既体现每种元素在城区的分布，又体现出各个地区的重金属的污染程度。
如图5.1.2—5.1.9
图5.1.2As元素的空间分布图5.1.3Cd元素的空间分布
图5.1.4Cr元素的空间分布图5.1.5Cu元素的空间分布
图5.1.6Hg元素的空间分布图5.1.7Ni元素的空间分布
图5.1.8Pb元素的空间分布图5.1.9Zn元素的空间分布
为了能够通过浓度数据直观的展现在不同的功能区内不同的重金属的浓度分布情况将附表中的数据通过Excel作图，如图5.1.10
图5.1.10在整个城区的均值浓度分布
为了能够论述各元素的空间分布情况，我们对各元素在整个城区浓度均值柱状图进行了客观的分析，如表1
表18种主要金属元素空间分布分析
As（砷）
该元素在城区各个功能区内都分布较少
Cd
该元素主要分布在工业区及城市内的主干道附近，是由于工业废物及汽车尾气的排放造成的
Cr
该元素在城区的各个功能区都分布较为均匀，或许由于该地的气候等多方面的影响。
Cu
该元素主要分布在工业区，山区较少，人类的生产生活的影响工业废物排放都能影响其的浓度
Hg
该元素主要分布在工业区及城市内的主干道附近，是由于工业废物及汽车尾气的排放造成的
Ni
该元素在城区的各个功能区都分布较为均匀，或许由于该地的气候等多方面的影响。
Pd
该元素在城区的各个功能区都分布较为均匀，或许由于该地的气候等多方面的影响，但是山区较少人类活动对其有显著影响。
Zn
该元素在城区的各个功能区都分布都较多，或许由于该地的气候，水源等多方面的影响。
5.2该城区各个地区重金属污染程度的评价
综合各种污染评价方法的适用范围、评价目的、优缺点，我们选用单因子指数法和内梅罗综合污染指数法两种方法来评价重金属的污染程度。
（2）单因子指数法
该方法是对单一的变化因子进行数据的处理得到相应的指数，再与指数区间比较得到相应的等级评价
式中：
Pi为污染物i的污染指数；Ci为污染物实测值（质量分数）；Si为污染物评价标准；i代表某种污染物。
当Pi<1时，表示土壤未受污染；1≤Pi＜2时，表示土壤已受轻微污染；2≤Pi＜3时，表示土壤已受中度污染；Pi≥3时，表示土壤已受严重污染。
表2各元素在功能区污染指数值
单因子污染指数
一类区
二类区
三类区
四类区
五类区
As
0.41803
0.48343
0.26961
0.38
0.42
Cd
1.44981
1.96556
0.76
1.81
1.40271
Cr
0.76687
0.59
0.43
0.64616
0.48484
Cu
1.41
3.64
0.49478
1.78626
0.86262
Hg
0.62
4.28237
0.27304
2.98762
0.76661
Ni
0.45856
0.49529
0.38635
0.44032
0.38224
Pb
1.97447
2.65831
1.04446
1.82114
1.73453
Zn
2.37009
2.77928
0.73294
2.44099
1.54
最大单因子污染指数
2.37009
4.28237
1.04446
2.98762
1.73453
平均单因子污染指数
1.1837
2.11269
0.54946
1.5387
0.9492
根据表2可得：
一类区生活区未受As、Cr、Hg的污染，受Cd、Cu、Pb轻微污染，受Zn的中度污染;二类区工业区未受As、Cr、Ni得污染，受Cd的轻度污染，受Pb、Zn的的中度污染，受Cu、Hg的严重污染;三类区山区未受As、Cd、Cr、Cu、Hg、Ni、Zn的污染，受Pb的轻微污染。
四类区交通区未受As、Cr、Ni的污染，受Cd、Cu、Pb的轻微污染，受Hg、Zn的中度污染；五类区公园绿地区未受As、Cr、Cu、Hg、Ni的污染，受Cd、Pb、Zn的轻微污染。
我们有根据表1的数据做了各个区域不同重金属的单因子指数条形图，形象地体现出各个地区受每种重金属的污染程度。
如图5.2.1
图5.2.1各个区域不同重金属的单因子指数
由表2图5.2.1可知：
功能区一各元素污染程度：
Zn>Pb>Cd>Cu>Hg>Cr>Ni>As
功能区二各元素污染程度:
Cd>Cu>Zn>Pb>Hg>Cr>Ni>As
功能区三各元素污染程度：
Pb>Cd>Zn>Cu>Cr>Ni>Hg>As
功能区四各元素污染程度：
Hg>Zn>Pb>Cd>Cu>Cr>Ni>As
功能区五各元素污染程度：
Pb>Zn>Cd>Cu>Hg>Cr>As>Ni
（2）内梅罗综合污染指数法
内梅罗指数是一种兼顾极值或称突出最大值的计权型多因子环境质量指数。
内梅罗指数特别考虑了污染最严重的因子，内梅罗环境质量指数在加权过程中避免了权系数中主观因素的影响，是目前仍然应用较多的一种环境质量指数。
内梅罗综合污染指数法计算公式：
式中：
P综为综合污染指数；（Ci/Si）max为土壤重金属元素中污染指数最大值；（Ci/Si）ave为土壤各污染指数的平均值。
将附表中的数据通过Excel处理我们得到了各个区域不同重金属浓度均值，如表3
表3各个区域不同重金属浓度均值
As（μg/g）
Cd（ng/g）
Cr（μg/g）
Cu（μg/g）
Hg（ng/g）
Ni（μg/g）
Pb（μg/g）
Zn（μg/g）
1区均值
6.2704545
289.96136
69.018409
49.403182
93.040682
18.342273
69.106364
237.00864
2区均值
7.2513889
393.11111
53.409167
127.53583
642.35528
19.811667
93.040833
277.9275
3区均值
4.0440909
152.3197
38.959697
17.317273
40.956061
15.453788
36.555909
73.294242
4区均值
5.7080435
360.01449
58.053913
62.214928
446.82254
17.617101
63.534203
242.85486
5区均值
6.2637143
280.54286
43.636
30.191714
114.99171
15.289714
60.708571
154.24229
8种主要金属元素的背景值（见附表）
元素
平均值
标准偏差
范围
As（μg/g）
3.6
0.9
1.8~5.4
Cd（ng/g）
130
30
70~190
Cr（μg/g）
31
9
13~49
Cu（μg/g）
13.2
3.6
6.0~20.4
Hg（ng/g）
35
8
19~51
Ni（μg/g）
12.3
3.8
4.7~19.9
Pb（μg/g）
31
6
19~43
Zn（μg/g）
69
14
41~97
将已经求出的5大功能区8种重金属的环境质量指数用内梅罗综合指数法的表达式进行处理，即可求出五大功能区土壤综合污染指数。
结果如表5：
表5五大功能区土壤综合污染指数
功能区
1
2
3
4
5
P综合
3.0424
5.8927
1.2724
13.2578
2.9818
表6污染等级评价
等级一
P综<=0.7
清洁（安全）
等级二
0.7尚清洁（警戒线）
等级三
1.0轻度污染
等级四
2.0中度污染
等级五
P综>3.0
重度污染
由五大功能区土壤综合污染指数与污染等级对比可知：
1:
工业区，交通区和生活区属于重度污染且有交通区>工业区>生活区
2:
公园绿地区属于中度污染
3：
山区属于轻度污染
5.3问题二重金属污染的主要原因
（1）土壤重金属污染原因主要有以下几个方面：
★工业三废引起的重金属污染
由于部分矿产开发中选矿、冶炼工艺水平落后，个别矿区没有环保治理设备，废水、废气排放出的大量废弃物未经处理直接投放环境，而其中的重金属随着自然的沉降、雨水的淋溶等途径进入土壤，进入正常循环的生态系统，造成重金属污染严重危害人们的生产生活。
★化肥农药的过度使用
重金属元素是过量肥料中最多的污染物质，化肥中的过磷酸钙和磷矿粉中含有微量的As、Cd重金属元素（WILLIAMSCH，1973）。
含铅及有机汞的农药发挥作用的同时也为土壤重金属污染埋下了祸根，造成土壤的胶质结构改变，营养流失，对农作物的产量及品质都造成极大的不良影响。
目前的饲料添加剂中也常含有高含量的Cu和Zn（夏家淇，1996），这使得有机肥料中的Cu、Zn含量也明显增加并随着肥料施入农田。
★汽车尾气的排放
以公路、铁路为中心成条带状分布的重金属污染土壤主要是由于汽车尾气的排放、汽车轮胎磨损产生的大量含重金属的有害气体和粉尘的沉降所引起的，污染元素中主要为Pb、Cu、Zn等元素（李波，2005）。
这些物质随风飘落，进入土壤中引起重金属污染。
实验证明，道路两旁土壤中重金属的污染比较严重，并随着离公路距离的由近到远，土壤的污染程度渐轻。
（2）土壤累积污染指数法
为了能够展现污染物累积度进而分析污染原因我们利用土壤累积污染指数计算公式：
（Ni为污染物累积指数，Ci为实测浓度平均值，Mi为各元素背景浓度平均值）：
根据附件中的数据，运用土壤累积污染指数计算公式，计算出土壤污染累积指数表，见表7
表7土壤污染累积指数表
全区平均值
背景平均值
标准偏差
范围
污染物累积指数
As（μg/g）
5.90
3.6
0.9
1.8~5.4
1.64
Cd（ng/g）
295.49
130
30
70~190
2.27
Cr（μg/g）
52.64
31
9
13~49
1.70
Cu（μg/g）
57.39
13.2
3.6
6.0~20.4
4.35
Hg（ng/g）
267.90
35
8
19~51
7.65
Ni（μg/g）
17.30
12.3
3.8
4.7~19.9
1.41
Pb（μg/g）
64.63
31
6
19~43
2.08
Zn（μg/g）
197.31
69
14
41~97
2.86
图5.3.1元素在不同功能区的浓度均值及背景值
根据表7给出的污染累积指数，及图5.2.2可以推断，城区的重金属污染，与人类的生产、生活有密切关系，通过上图将全区金属浓度平均值与背景值做比较，可以初步得出此城区的重金属污染物主要为Cd、Cu、Hg、Pb、Zn。
，该
城区的污染可能为工业排放和交通尾气排放。
基于对问题一中所得数据的分析，我们绘制出了各元素在各区的单因子污染指数柱状图，见图5.2.3
图5.3.2各元素在不同功能区的污染指数图5.3.3区单因子污染指数分布图
据图5.2.3分析，该城区不同功能区土壤中重金属污染贡献不同，
从图中可以清晰的得出，Pb的污染范围最广，基本对各个区都有影响，Cd、Zn影响4个区，Cu影响3个区，Hg影响2个区，As、Cr、Ni对各个区基本没有影响。
由问题一得出的结论绘制图如表8：
表8污染贡献值
污染贡献元素
主要污染贡献元素
一类区
Cd、Cu、Pb、Zn
Zn
二类区
Cd、Pb、Cu、Hg、Zn
Hg
三类区
Pb
Pb
四类区
Cd、Pb、Cu、Hg、Zn
Hg
五类区
Cd、Pb、Zn
Pb
据图5.2.4和表8分析，该城区不同功能区土壤中重金属污染贡献具有一定的差别，在一类区中，Zn、Pb的污染贡献最大，Cd、Cu居其次，根据查阅到的文献资料，Cd、Cu、Pb、Zn来源主要为工业废水的排放和农药的使用，由于一类区属于生活区，故可判断其污染的主要原因可能为生产活动中化肥施用过量，或是城市垃圾的焚烧，燃煤等。
在二类区中，Hg、Cu、Zn、Pb的污染贡献最大，Cd居次，Hg、Cu、Zn、Pb的主要来源于工业废水，污泥，农药等，由于二类区为工业区，可基本判断为工业污染，主要原因可能为颜料厂，冶金厂，电镀厂等工业废水、废渣处理不合格，乱排乱放。
在三类区中，仅Pb具有一定的污染贡献，且其含量很低，与背景值最为接近，鉴于三类区为山区，其Pb污染可能为气流运动，沉降累计。
在四类区中，Cd、Pb、Cu、Hg、Zn的污染贡献普遍很大，由于四类区为主干道路区，其污染原因最为可能是汽车尾气的排放，以及汽车轮胎的磨损。
在五类区中，Cd、Pb、Zn的污染贡献大，五类区为公园绿地区，其污染原因最为可能是通过气流运动，降水等沉降积累。
综合以上分析，该城区的重金属污染主要原因在于工业释放及交通排放。
5.4问题三确定污染源的位置
（1）通过一些资料的查询我们了解到重金属的主要的传播特征有：
★重金属的沉降
大气中重金属主要来源于工业生产、汽车尾气排放、汽车轮胎磨损产生的大量含有重金属的有害气体和粉尘。
它们主要分布在工矿的周围及公路、铁路两侧。
大气中大多数重金属通过自然沉降和雨淋沉降进入土壤圈。
经过自然沉降和雨淋沉降进入到土壤中的重金属污染，主要以工矿烟囱、废物堆和公路为中心向四周及两侧扩散：
由城市－郊区－农区，污染随着距城市距离的加大而降低，城市的郊区污染较为严重；此外，还与城市的人口密度、城市土地利用率、机动车密度呈正相关；重工业越发达，污染相对就越严重。
★农药、化肥和塑料薄膜的使用
使用含有Pb、Cd、Hg、As等的农药和不合理地施用化肥都可以导致土壤中重金属的污染。
一般过磷酸盐中含有高量的重金属Hg、Cd、As、Zn、Pb，磷肥次之，氮肥和钾肥含量较低，但氮肥中Pb、As和Cd含量较高[17]。
农用薄膜生产中应用到的热稳定剂中含有Cd、Pb，在大量使用塑料大棚和地
膜过程中都可以造成土壤重金属污染。
★污泥施肥
污泥中含有大量的有机质和氮、磷、钾等营养元素，但同时污泥中也含有大量的重金属元素，随着市政污水处理产生的大量污泥被施加于农田，农田中的重金属含量也会不断增高。
污泥施肥可导致土壤中Cd、Hg、Cr、Cu、Zn、Ni、Pb含量的增加，且污泥施用越多，污染就越严重。
★污水灌溉
污水灌溉一般是指用经过一定处理的城市生活污水来灌溉农用土地、森林及草地。
由于大量工业废水同生活污水一起进入市政污水网，使得城市污水中含有的大量重金属离子，随着污水灌溉而进入土壤。
近年来，污水灌溉已经成分我国农业灌溉的重要组成部分。
北方旱作地区污灌最为普遍，占全国污灌面积的90%以上，所以土壤重金属污染也比较严重。
★含有重金属的废物的堆积
废弃物堆中重金属含量一般比较高，污染的范围一般以废弃物堆为中心向四
周扩散。
重金属在土壤中的含量和形态分布特征受废弃物种类和释放率的影响，
如铬渣堆放区的Cd、Hg、Pb为重污染，Zn为中度污染，Cr、Cu为轻污染。
★金属矿山的酸性废水污染
金属矿山的开采、冶炼、重金属尾矿、冶炼废渣和矿渣堆放等，以及可以酸溶出含重金属的矿山酸性废水，随着矿山排水和降雨使之带入水环境或直接进入土壤，都可以直接或间接地造成土壤重金属污染。
矿山酸性废水重金属污染范围一般在矿山的周围或河流的下游，在河流不同河段的重金属污染程度往往受污染源（矿山）的控制。
河流同一污染源的下段自上游到下游，由于金属元素迁移能力的减弱和水体自净化能力的适度恢复，重金属化学污染的程度逐渐降低。
（2）模型的建立
此模型的主要目的是根据测得的污染数据,得到一个关于重金属污染物传播的偏微分方程,进而确定污染源位置的计算方法。
我们根据给出的各个观测点的位置坐标和污染数据利用对重金属污染的线性插值，画出了重金属污染图，将附件三给出的的八种重金属元素的值作为重金属污染物的背景浓度（
），观测点的处理如下：
第一，光滑插值后如果有不光滑数据出现，考虑到计算机处理数据的误差，予以忽略。
第二，分别对八种元素处理，得到各元素的污染坐标，对于相对误差不超过5%的坐标予以合并，取其平均值。
第三，单个元素分析时，只考虑权重达到0.8以上的污染数据，其他数据因其影响太小，予以忽略。
考虑到污染物在土壤中的运动状态，我们忽略了重金属污染的垂直扩散，假设重金属均匀扩散且是一维的，以污染源为原点，观测坐标X轴方向作为X轴，设污染物在原点的污染为连续过程，选用一维场中污染物质的二维扩散微分方程为：
初始条件为：
边界条件为：
当
处瞬时点源的解析解：
其中
是hantush函数，且
常量参数：
以污染源位置
、
、
为变量，结合格点搜索算法，反复调整变量的值，直到收敛函数
的值最小，其中
为
个测量点的污染值；
为背景值。
（3）模型的求
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