湖南省2018年普通高等学校对口招生考试数学试卷及答案.doc
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湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。
时量120分钟。
满分120分
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，则（）
A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{1,2,5,6}
2.“是的（）条件
A.充分必要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要
3.函数的单调增区间是（）
A.B.C.D.
4.已知，且为第三象限角，则=（）
A.B.C.D.
5.不等式的解集是（）
A.B.C.D.或
6.点M在直线3x+4y-12=0上，O为坐标原点，则线段OM长度的最小值是（）
A.3B.4C.D.
7.已知向量、满足,,则向量、的夹角为（）
A.30°B.60°C.120°D.150°
8.下列命题中，错误的是（）
A.平行于同一个平面的两个平面平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行
D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交
9．已知,则的大小关系为（）
A.B.C.D.
10.过点（1,1）的直线与圆相交于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为（）
A.2B.4C.D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.某学校有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该学校学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取男生的人数为______。
12.函数（b为常数）的部分图像如图所示，则b=______。
13.的展开式中的系数为______（用数字作答）。
14.已知向量=（1,2），=（3,4），=（11,16），且，则x+y=______。
15.如图，画一个边长为4的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依次类推，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积为______。
三、解答题（本大题共7小题，其中第21、22小题为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分10分）
已知数列为等差数列，;
⑴求数列的通项公式；
⑵设数列的前n项和，若，求n.
17.（本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测，用ξ表示取出饮料中不合格的评述，求：
⑴随机变量ξ的分布列；
⑵检测出有不合格饮料的概率。
18.（本小题满分10分）
已知函数的图像过点（5,1）。
⑴求的解析式，并写出的定义域
⑵若，求m的取值范围。
19.（本小题满分10分）
如图，在三棱柱中，底面，,∠ABC=90°，D为AC的中点。
⑴证明：
BD⊥平面；
⑵求直线与平面所成的角。
20.（本小题满分10分）
已知椭圆C:
（）的焦点为（-1,0），（1,0），点A（0,1）在椭圆C上。
⑴求椭圆C的方程；
⑵直线过点且与垂直，与椭圆C相交于M,N两点，求MN的长
选做题：
请考生在第21,22题中选择一题作答，如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号。
21.（本小题满分10分）
如图，在四边形ABCD中，BC=CD=6，AB=4，∠BCD=120°，∠ABC=75°，求四边形ABCD的面积。
22.（本小题满分10分）
某公司生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问：
该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大？
甲
乙
原料限额
A（吨）
1
2
8
B（吨）
3
2
12
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
A
D
D
C
B
D
A
二、填空题
11、2512、213、614、515、
三、解答题
16、解：
⑴为等差数列，，所以公差
故
⑵因为等差数列的前n项和,，所以有
，
17、解：
⑴的可能取值有0，1，2
,
故随机变量的分布列为：
0
1
2
P
⑵设事件A表示检测出的全是合格饮料，则表示检测的有不合格饮料
因为检测出的全是合格饮料的概率,所以检测的有不合格饮料的概率为
18、解：
⑴由的图像过（5,1）得：
，即，所以。
由对数性质知；所以函数的定义域为。
⑵因为，,所以
即有：
所以有,
即的取值范围是。
19、⑴证明：
因为在三棱柱中，底面，
底面，所以
又,∠ABC=90°，D为AC的中点
所以
又，所以BD⊥平面
⑵因为BD⊥平面，连，则是直线与平面
所成的角。
在直角中，
所以,
20、解：
⑴因为椭圆C:
（）的焦点为（-1,0），（1,0）,
所以
又点在椭圆C上,所以，即
故椭圆方程为
⑵因为直线的斜率,直线过点且垂直，所以直线的斜率
直线的方程为
由消去得：
设M,N坐标分别为,则有
即的长为
21、解：
连结BD,
在中，，
由余弦定理得
所以
即
又由得
所以
22、解：
设每天生产甲乙两种产品分别为吨，才能使公司每天获得的利润最大，利润为Z万元，则
目标函数为
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域。
由得
平移直线
由图像可知当直线经过点B时，
直线的截距最大，此时Z最大
解方程组得
即点B的坐标为（2,3）
（万元）
答：
每天生产甲2吨，乙3吨，能够产生最大利润，最大利润是23万元。
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