学年湖南省长沙市雨花区雅礼中学八年级(上)期中数学试卷 ()文档格式.doc

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11.如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，若∠CAE=25°

，则∠EBC的度数是（　　）

A.35°

B.30°

C.25°

D.20°

12.如图所示，在平面直角坐标系中A（0，0），B（4，0），△AP1B是直角三角形，且∠P1=90°

，∠P1BA=30°

，P1到x轴的距离为，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°

，得到△BP2C；

把△BP2C绕点C顺时针旋转180°

，得到△CP3D．依此类推，则旋转2017次后，得到的直角三角形的直角顶点P2018的坐标为（　　）

A.（8017，） B.（8017，）

C.（8069，） D.（8069，）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.分解因式：

x2y-4y=______．

14.计算：

（-0.25）2019×

42018=______．

15.若x2+mx+9是关于x的完全平方式，则m=______．

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠B=15°

，DE垂直平分AB交BC于点E，AC=2，则BE的长为______．

17.如图，在△ABC中，∠C=50°

，BD为AC边上的高，E是BC上一点，且BD=BE，则∠BED的度数为______．

18.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°

，∠ABC的角平分线BE与∠BAC外角平分线AD交于点F，分别交AC和BC的延长线于点E，D，过点F作FH⊥AD交于AC的延长线于点H，交BC的延长线于点G，则下列结论：

①∠AFB=45°

；

②FE=FG；

③△DFH为等腰直角三角形；

④BD=AH+BE．其中正确的结论有______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片有一张，边长分别为a，b的长方形卡片4张，边长为b的正方形卡片4张，用这9张卡片拼成一个大正方形．

（1）求这个正方形的边长（用含a，b的式子表示）；

（2）已知拼成的大正方形边长为5，ab=3，求a2+4b2的值．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分）

20.计算：

（1）y（2x-y）-（x+y）2

（2）（-2a2）3+2a2•a4-a8÷

a2

21.先化简，再求值[（2x+y）（2x-y）-（2x-3y）2]÷

2y，其中x=2，y=（x-3）0

22.如图，在平面直角坐标系中有三个点A（2，3），B（1，1），C（4，2）．

（1）连接A、B、C三点，请在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）写出点C1的坐标并求CC1的长度；

（3）求△ABC的面积．

23.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使DB=DE．

（1）求∠BDE的度数；

（2）求证：

△CED为等腰三角形．

24.如图，直线MN一侧有一等腰Rt△ABC，其中∠ACB=90°

，CA=CB，直线MN过顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂直分别为点EF，∠CAB的角平分AG交BC于点O，交MN于点G，连接BG，满足AG⊥BG，延长AC，BG交于点D．

（1）证明：

CE=BF；

AC+CO=AB；

（3）若BG=2，求线段AO的长度．

25.阅读材料：

如果一个数的平方等于-1，记为记i2=-1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．

它有如下特点：

①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：

（2+i）+（3-4i）=（2+3）+（1-4）i=5-3i：

（3+i）i=3i+i2=3i-1．

②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；

若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1-2i．

（1）填空：

i3=______，i4=______；

（2）求（2+i）2的共轭复数；

（3）已知（a+i）（b+i）=1+3i，求a2+b2（i2+i3+i4…+i2018）的值．

26.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q分别为AO，AB边上的动点，点P，点Q同时从点A出发，若P以个单位每秒的速度从点A向点O运动，点Q以2个单位每秒的速度从点A向点B运动，设运动时间为t．

（1）如图1，已知点A的坐标为（a，b），且满足（a-3）2+|a-b|=0，求A点坐标；

（2）如图1，连接BP，OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP=60°

（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ=120°

的等腰三角形？

若能，试求：

①运动时间t；

②此时四边形APDQ的面积；

若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

解：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选：

B．

根据轴对称图形的概念求解．

本题考查了轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.【答案】C

A、a6÷

a3=a3，故此选项错误；

B、a3•a3=a6，故此选项错误；

C、a3•（-a）2=a5，正确；

D、（2a3）3=8a9，故此选项错误；

C．

直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案．

此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】C

点P（3，1）关于x轴对称点的坐标是（3，-1）．

根据题意可设平面直角坐标系中任意一点P，其坐标为（x，y），则点P关于x轴的对称点的坐标P′是（x，-y）．

本题考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．

记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：

关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．

4.【答案】D

（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，

周长=4+4+5=14；

（2）当6是腰时，符合三角形的三边关系，

周长=4+6+6=16．

D．

题目给出等腰三角形有两条边长为4和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；

已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

5.【答案】D

A、（x+2）2=x2+4x+4，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误；

B、10x2y3=3x2y•5y2，10x2y3，不是多项式，故左到右变形不是因式分解，故此选项错误；

C、x2-4x+1=x（x-4）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；

D、y3-y=y（y+1）（y-1），从左到右是因式分解，符合题意．

直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案．

此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键．

6.【答案】C

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∵AC=12cm，BE=8cm，

∴EC=AC-AE=AC-BE=12-8=4cm，

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到AE=BE，进而解答即可．

本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

7.【答案】B

（x+2）（x-a）

=x2+2x-ax-2a

=x2+（2-a）x-2a，

由题意得，2-a=0，

解得，a=2，

先根据多项式与多项式相乘的法则把原式变形，再根据题意列式计算即可．

本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

8.【答案】D

由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a-b，即平行四边形的高为a-b，

∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2，乙的面积=（a+b）（a-b）．

即：

a2-b2=（a+b）（a-b）．

所以验证成立的公式为：

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．

本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2-b2=（a+b）（a-b）．

9.【答案】B

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE=70°

，

由折叠可得，∠DED'

=2∠DEF=140°

∴∠AED'

=180°

-140°

=40°

依据平行线的性质，即可得到∠DEF=∠BFE=70°

，进而得出∠DED'

，依据邻补角即可得到∠AED'

的度数．

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：

两直线平行，内错角相等．

10.【答案】B

∵EF垂直平分AB，

∴A、B关于EF对称，

设AC交EF于点D，

∴当P和D重合时，BP+CP的值最小，最小值等于AC的长，

∴BP+CP的最小值=6．

根据题意知点B关于直线EF的对称点为点A，故当点P与点D重合时，BP+CP的值最小，即可得到结论．

本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

11.【答案】C

∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CBE=∠CAD，

∵∠CAD=25°

∴∠CBE=25°

证明△ACD≌△BCE（SAS），即可推出∠CBE=∠CAD，由此即可解决问题．

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

12.【答案】A

由题意P1（1，），P2（7，-），P3（9，），P4（15，-），…

P2018[7+8×

（1009-1），-]，

即P20018（8071，-）．

A．

根据直角三角形的30度角的性质可找出点P1的坐标，结合旋转的性质即可找出点P2、P3、P4、P5、…、的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律解决问题．

本题考查坐标与图形变化，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．

13.【答案】y（x+2）（x-2）

x2y-4y，

=y（x2-4），

=y（x+2）（x-2）．

故答案为：

y（x+2）（x-2）．

先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．

14.【答案】-0.25

42018

=（-0.25）2018×

42018×

（-0.25）

=（-0.25×

4）2018×

=-0.25．

-0.25．

直接利用幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．

此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

15.【答案】±

6．

根据完全平方公式，得

（）2=9，

解得m=±

6，

±

当二次项系数为1时，完全平方式满足：

一次项系数一半的平方等于常数项，即（）2=9，由此可求m的值．

本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解，难度适中．

16.【答案】4

∵DE垂直平分AB，

∴EA=EB，

∴∠EAB=∠B=15°

∴∠AEC=15°

+15°

=30°

在Rt△AEC中，∠AEC=30°

∴AE=2AC=4，

∴BE=4，

4．

根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质得到∠AEC=30°

，根据直角三角形的性质解答．

本题考查的是直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

17.【答案】70°

∵BD⊥AC，

∴∠ADC=90°

，

∴∠CBC=90°

-∠C=40°

∵BD=BE，

∴∠BDE=∠BED=（180°

-40°

）=70°

故答案为70°

．

求出∠DBE，利用等腰三角形的性质即可解决问题．

本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

18.【答案】①②③

∵BE是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC外角平分线，

∴∠AFB=∠ACB=45°

，故①正确；

∵FH⊥AD，

∴∠AFB=∠BFG=45°

又∵FB=FB，∠ABF=∠FBG，

∴△FAB≌△FGB，

∴FG=FA．

又可利用角的计算知∠FAE=∠FEA=67.5°

∴FA=FE，

∴FE=FG，故②正确；

∵∠DFG=∠HFA=90°

，FG=FA，易证∠FGD=∠FAH，

∴△DFG≌△HFA，

∴DF=FH，

∴△DFH为等腰直角三角形，故③正确；

由△DFG≌△HFA可得DG=AH，由△FAB≌△FGB可得BG=AB，

∵BD=DG+GB，

BD=AH+AB，故④错误．

①②③．

利用等腰直角三角形内外角平分线的性质得到∠AFB=45°

，再利用FH⊥AD易证△FAB≌△FGB，△DFG≌△HFA，从而进行判定．

本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键是全等三角形的判定与性质的灵活应用．

19.【答案】解：

（1）根据题意得：

a2+4ab+4b2=（a+2b）2，

则这个正方形的边长为a+2b；

（2）由

（1）得：

a+2b=5，

∴a2+4ab+4b2=（a+2b）2=52=25

∵ab=3，

∴a2+4b2=（a2+4ab+4b2）-4ab=25-4×

3=25-12=13

（1）根据题意列出关系式，分解因式即可得正方形边长．

（2）把正方形边长a+2b=5，ab=3代入

（1）式子即求出答案．

此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和理解因式分解的方法是解本题的关键．

20.【答案】解：

（1）y（2x-y）-（x+y）2

=2xy-y2-x2-y2-2xy

=-2y2-x2；

a2

=-8a6+2a6-a6

=-7a6．

（1）直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；

（2）直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．

此题主要考查了整式的混合运算以及同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

21.【答案】解：

原式=（4x2-y2-4x2+12xy-9y2）÷

2y

=（-10y2+12xy）÷

=-5y+6x，

当x=-2，y=（x-3）0=1时，原式=-5-12=-17．

原式中括号中第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．

此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：

完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

22.【答案】解：

（1）如图所示：

△A1B1C1即为所求，

（2）点C1的坐标为（-4，2），CC1的长度=8；

（3）△ABC的面积=．

（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）根据两点之间的距离解答即可；

（3）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．

此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

23.【答案】解：

（1）∵DB=DE，

∴∠E=∠DBE，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°

∵△ABC是等边三角形，BD是高，

∴∠DBC=30°

∴∠E=∠DBE=30°

∴∠BDE=120°

（2）∵∠ACB=60°

，∠E=30°

∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°

∴∠CDE=∠E，

∴CD=CE，

∴△CED是等腰三角形．

（1）根据等腰三角形的性质得到∠E=∠DBE，根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°

，求得∠DBC=30°

，根据三角形的内角和即可得到结论；

（2）根据三角形的外角的性质得到∠CDE=∠ACB-∠E=30°

，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．

本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．

24.【答案】

∵AE⊥MN，BF⊥MN，∠ACB=90°

∴∠AEC=∠CFB=∠ABC=90°

∴∠EAC+∠ACE=90°

，∠ACE+∠BCF=90°

∴∠EAC=∠BCF，

∵AC=BC，

∴△AEC≌△CFB（AAS），

∴CE=BF．

（2）证明：

如图1中，作OK⊥AB于K．

∵AC=BC，∠ACB=90°

∴∠CBA=45°

∵OK⊥AB，

∴∠OKB=90°

∴∠KOB=∠KBO=45°

∴OK=BK，

∵∠OAC=∠OAK，∠ACO=∠AKO=90°

∵AO=AO，

∴△ACO≌△AKO（AAS），

∴AC=AK，CO=OK，

∴OC=OK=BK，

∴AB=AK+BK=AC+CO．

（3）解：

如图2中，在GA上取一点L，使得GL=GB，连接BL．

∵GL=GB=2，

∴BL=2，∠GBL=∠GLB=45°

∵∠LAB=∠DAB=22.5°

，∠GLB=∠LAB+∠LBA，

∴∠LAB=∠LBA=22.5°

∴AL=BL=2，

∴AG=2+2，

∵∠GBO=∠GAB=22.5°

，∠BGO=∠AGB，

∴△GBO∽△GAB，

∴=，

∴GO==2-2，

∴AO=AG-OG=2+2-（2-2）=4．

（1）只要证明△AEC≌△CFB即可．

（2）如图1中，作OK⊥AB于K．想办法证明AC=AK，OC=OK=BK即可解决问题．

（3）如图2中，在GA上取一点L，使得GL=GB，连接BL．想办法求出AG，GO即可解决问题．

本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】-i 

1

（1）∵i2=-1，

∴i3=i2•i=-1•i=-i，

i4=i2•i2=-1•（-1）=1；

（2）（2+i）2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i，

故（2+i）2的共轭复数是3-4i；

（3）∵（a+i）（b+i）=ab-1+（a+b）i=1+3i，

∴ab-1=1，a+b=3，

解得a=1，b=2或a=2，b=1，

当a=1，b=2时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2018）=1+4（-1-i+1+i…+1+i-1）=-3；

当a=2，b=1时，a2+b2（i2+i3+i4…+i2018）=4+1（-1-i+1+i…+1+i-1）=3．

故a2+b2（i2+i3+i4…+i2018）的值为-3或3．

-i，1．

（1）根据i2=-1，则i3=i2•i，i4=i2•i2，然后计算；

（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1计算，再根据共轭复数的定义即可求解；

（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a，b的值，再代入计算即可求解．

本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：

（1）阅读理解，发现信息；

（2）提炼信息，发现规律；

（3）运用规律，联想迁移．

26.【答案】解：

（1）