|1=
33
bt1bt2
1212
2“2
12
12
2
2
二I3
当h_X_l2
i（x）二士».（斗
图3
按照材料力学中求小挠度梁的挠度的方法，分三段积分，就可求
到端点在P力作用下的挠度（即变形）。
图3所示四分之一椭圆钢板
3EI3
弹簧的刚度为：
（7）
其中，挠度系数
-（2-
11
丄）2-2（・1'2尸一3
12
（8）
（9）
式中’i=11，
l
bt；
I33
12
b板簧宽度
请注意，此处所取惯性矩不是根部惯性矩，而是平直段与抛物线交点处的断面惯性矩。
这样选取只是为了方便与其它轮廓线的计算公式对比。
当然，若算式（7）要选取根部惯性矩来计算也是可以的，但挠
度系数要相应改变。
I4
，代入式（7），得
3EI4
3EI4
（10）
3卫”n3
k=1k=1（21-1）3-21C1‘2）2亠’3-----（11）
2
若对称地扩展成为半椭圆钢板弹簧，其总刚度为:
K羊
kl3
若弹簧由若干等长、相同轮廓线的叠片所组成，则其合成的总成刚度为:
（13）
K单
kl3
式中n弹簧片数
E=2.058105（N/mm）弹性模数
在实际应用中，有些变截面簧只有根部加厚，端部不加厚，如图
4之2型。
这时
，2=1，式（8）变成
（2一学-2（1匕）
3
‘1
且2叱）3代入上式’化简后得
k」（1-3）22-…3
1
还有些变截面簧端部、根部都不加厚，如图4之3型。
这
时
tl=t2，2=1；t4=t3，1=1，式（8）变成
3
k=1：
「二2-2（'1匕）2；
k=1说3
同样，化简后可得
（15）
对于抛物线的变截面簧，仍然可以采用式（4）、（5）来计算
沿片长的应力分布，只是在抛物线区段，厚度的变化规律有所不
同，即：
当0二x二h,t（x）二ti（或t2）=const
1
X'
当h_X_l2,t（x）=t3（）2
I2
当I?
空x乞I,t（x）=t4（或t3）=const
平直段的厚度取决于板簧轮廓线属1型、2型或3型。
在抛
物线区段，应力均匀分布，即等应力
三、设计要点
1、选用什么样的轮廓线----梯形或抛物线形？
众所周知，在抛物线区段，应力分布是均等的，即为等应力的。
从理论上讲，这种轮廓线似乎是最理想的，其材料利用率是最高的。
然而，从另一方面看，亦即从“比例尺效应”的理论看，等应力分布并不一定是理想的设计。
大家知道，材料疲劳损伤、断裂都是从表面缺陷引发的，而由于材质或工艺上的原因，材料表面总有缺陷存在。
如果结构上高应力区所占的比例大，缺陷处在高应力点的概率就高，因此该结构就会出现早期损坏，即寿命降低。
相反，如果高应力区所占比例小，缺陷碰到高应力点的概率就低得多，该结构的寿命就会高得多。
这就是所谓的“比例尺效应。
所以，选用什么样的轮廓线，取决于两个因素：
（1）最大应力处在什么部位。
如果最大应力位于根部（根部不加厚、加软垫或夹紧装置不是很强），那么轧锥部分可选用抛物线形，以获得较好的材料利用率，且可降低刚度。
这种选择多数用在轿车或轻型车的悬架上。
相反，大中型客车或货车，往往根部要加厚，最大应力点不在根部，而是在轧锥段。
这时选用梯形轮廓较合适，使最大应力局限在极值点的小区域，碰上缺陷的概率较低，使寿命提高。
（2）弹簧材料和轧制工艺的优劣。
优质的材料和轧制工艺，使表面缺陷减少或减轻，也就可以选取抛物线形，让较多材料承受较高应力，以减轻重量。
反之，材质与工艺较差者，宜选用梯形轮廓线。
2、根部加强
对于板簧根部较厚（20mm以上），且U形螺栓夹紧装置不是特别强，尤其是根部加有软垫者，应该采用加厚措施。
否则，由于夹不死，最大弹簧应力恰好处在中心孔位置上。
加上该孔有应力集中，其结果是在中心孔处早期断裂。
除了中心孔要倒角以减小应力集中外，加厚并取消软垫或改为硬垫是最有效措施。
简单说，大中型客、货车的变截面簧根部应加厚。
3、端部加强
取决于卷耳强度要求。
对卷耳进行强度校核计算，确定该部位的板厚。
若与轧锥小端厚度不能衔接，就采用加厚措施。
由于前簧往往比较薄，制动力又很大，端部加厚措施是必要的。
4、有效长度的选取
由于变截面簧根部很厚，U形螺栓相对单薄，特别是加垫之后，实际上是夹不死它。
也就是说，U形螺栓跨距内的那段无效长度往往是有效的。
因此，设计时要根据根部厚度及夹紧结构，来确定无效长度系数。
根据我们经验，对于总质量达15吨的大中型客、货车，其板簧无效长度系数甚至可取零，即全长有效。
对于中、轻型车，可取0.2
左右，而不像多片簧取0.4~0.5。
当然，应在试制后对样品进行测试，再来核对该系数。
5、横截面的断面参数计算
变截面簧的理论分析和公式计算，都是将横截面当为矩形的。
实
际上，弹簧片轧制时侧边都自然地形成圆角。
所以按矩形断面来计算
惯性矩、断面系数和断面积，结果都偏大。
即，算出的刚度偏大，应力偏小。
可以有两种方法进行修正：
（1）计算断面参数时考虑圆角的影响。
例如，认定圆角半径等于片
厚，则：
断面积F=b-0.08678t2
惯性矩I-0.01312t4
12
断面系数W丄-0.02624t3
6
式中b片宽
t片厚（根部）
（2）将计算结果乘以修正系数。
例如，对于本文的公式
（1）~（3）,因没有明显含有惯性矩这一项，只能采取最后修正。
有关文献
推荐，对于刚度计算值，取=0.92进行修正（笔者认为，取
=0.95已足够）。
6、轮廓线不同的单片组成的少片簧
本文所介绍的公式，在计算少片变截面簧时，都当为各片等长，
且轮廓线（刚度）亦相同。
总成刚度则为单片刚度乘上片数。
这是多数情况。
有时选用各片轮廓线不尽相同的设计，其刚度也有所不同。
只要各片等长，仍为各片并联。
分别算出各片刚度，将其相加，则为总成刚度。
要按“变形一致”原理，根据各片刚度算出对应的负荷，再按各片的断面系数求出其应力。
这时，刚度不同的单片，其应力值也不同。
若各片又不等长，计算就很复杂。
可参照多片弹簧集中载荷法来进行计算，本文略。
7、预应力和单片弧高
对于少片簧，装配后要求各片有一定的预应力，以使片与片贴合好。
设计计算方法和多片簧类似，但只用集中载荷法（即端点法）。
其设计要点是：
（1）选取各片根部预应力，使各片在根部断面的弯矩之和为零---达到自平衡。
（2）根据“变形一致原理：
端部变形（或预压力）和根部应力要一一对应，最终根部、端部都贴合。
（3）由各片变形量和总成弧高推算出各片自由弧高。
在少片变截面簧的使用中，出现工作响声是一种很讨厌的问题，特别对于客车，成为用户不能接受的质量问题。
经过多年的探索，采取在片端加减磨（摩）垫的办法，可以大大缓解发响问题。
用什么材料至关重要，早期用聚甲醛是失败的，后来采用聚胺脂橡胶或加添加剂，得到较好效果。
为了减少根部的接触疲劳（磨损、挤压），有些少片簧在根部加软垫。
但由此会引发中心孔处早期断裂，特别是大中型客货车更为突出。
根据我们的经验，对大型车尽量不要加软垫（聚甲醛、尼龙），改加硬垫（铝片、低碳钢片），或者根部加厚轧出凸台就不必再加垫。
9、设计指标
采用少片变截面钢板弹簧的主要目的是为了轻量化。
实现轻量化
的主要方法有二，其一是选取的纵截面轮廓线使应力沿片长分布较均匀，甚至是等应力，因而材料利用率较高；二是使片间只有根部和端部接触，因而基本消除了接触疲劳损伤，可以选取较高的许用应力，国外多数选取许用应力比多片簧高30%。
根据我国的材质、工艺手段，以及使用条件，对于大中型客货车，我们推荐满载平均静应力和比应力，比多片簧高15%（客车）至20%（载货车）。
具体推荐值见表1。
表1
弹簧
多片簧
少片簧
应力
客车
货车
满载静应力（N/mm2）前
340〜440
390〜500
410〜530
簧
440〜540
500〜620
530〜650
后簧
200〜250
240〜300
副簧
比应力（N/mm2/mm）前后
4.4〜5.4
5.1〜6.2
5.3〜6.5
簧
7.4〜8.3
8.9〜10
畐9簧
极限应力（N/mm2）
880〜980
900〜1000
900〜1000
纵扭应力（N/mm2）
1225
1225
1225
卷耳应力（N/mm2）
340
340〜400
340
表1中之极限应力、纵扭应力、卷耳应力的推荐许用值与片间接触疲劳无关，只和材料屈服限、卷耳工艺有关，因而少片簧和多片簧没有太多差别。
弹簧刚度的选择，主要是为满足平顺性的要求，亦即为了满足偏频的要求。
偏频的高低取决于悬架刚度和负荷，也就是取决于静挠度。
少片变截面簧由于结构上的原因，片长、片数都受到限制，其刚度往往比同等条件下的多片簧要高，也就是说偏频更高一些。
可以说，少片簧的平顺性指标一般不如多片簧。
表2列出大中型客、货车满载时的适用偏频推荐值（单位：
cpm=次/分）：
偏频的计算公式许多文献都介绍了，本文不再赘述。
有些文献认为少片簧片数少了，平顺性就比多片簧好，这是不确切的。
少片簧的动刚度比多片簧低一些，只有在路面极好、振幅极小的工况下，平顺性才比多片簧要好些。
由于少片簧的比应力、满载平均静应力比多片簧高，而极限应力基本相同，所以少片簧悬架的动行程要选小一些。
也就是说，采用少
表2
悬架型式
货车
客车（近期）
客车（远期）
多片簧前
100〜105
90〜95
后
120〜125
100〜110
少片簧前
105〜115
95〜100
后
125〜130
100〜105
空气弹簧前
80〜85
60〜65
后
85〜90
65〜70
片簧的车型比较适用于路面较好的地区，以免悬架被频繁“击穿”，同时体现出动刚度低的优点。
10、试验验证
本文介绍的计算公式必须经过试验验证，就是，当样品试制出来后，要尽快测试其弹性特性（刚度）。
其目的有二，其一是检查计算公式的精确性，以及确定修正的方法和选值多少，包括无效长度的选择、非线性附加变形值、U形螺栓夹紧前后的弧高变化等。
其二是为设计图纸标注的刚度值和弧高值确定最终取值。
后者也可以在试生产一段时间，测试多批产品的实际值之后再确定。
有条件的企业，还应测定应力分布，包括预应力和工作应力，为应力计算的精确性进行判别，也为该弹簧的使用寿命和断裂分析找到定量依据。
通过样车样品的性能测定和可靠性试验之后，才能判明该悬架弹
簧设计的选值是否合理。
当然，最终的评价还要靠用户长期使用之后来获得。
【附录】已有公式介绍
一、纵截面为梯形的变截面弹簧
此式为悬架专委会的培训教材《汽车悬架资料》中第38页和136页所介绍的公式，端部和根部均不加厚。
为了对比方便，符号做了一些调整，但有些还保留原式符号。
图5
半椭圆钢板弹簧刚度（单片）：
挠度系数
3
「•=1：
：
；'二2k0
而k0宀「
]（1-口）
-1
（18）
式中
I1
J如
t2
y«l1t2
i==*
P〔2t?
而丨2二虫为根部惯性矩
12
b板簧宽度
E=2.058105（N/mm2）弹性模数
这种弹簧当l1—12（2^-1）时，存在极值应力，位于
x=x1
t2_t2
（19）
该处片厚
（x1
t（x）=t（X1）1
-丨1）住3"2）
（I2T1）
t2
（20）
应力值
6Px12Qx1
2—2
bt（x1）bt（x1）
式中P端点集中力
Q根部负荷
而根部应力
6Pl3Ql
匚322
btabt3
对比两者大小，以大者进行强度校核。
此式已在我国实际应用多年。
经笔者用实例数值代入计算，其
结果与用式
（2）第3型的公式进行的计算完全一致。
说明式
（1）、
（2）、（3）与式（16）、（17）、（18）都可应用。
二、纵截面为抛物线形的变截面弹簧
1、只有根部加厚的变截面弹簧
此式为悬架专委会的培训教材《汽车悬架资料》第37页所介绍的公式。
为使尺寸标注与图3一致，并采用相同的惯性矩，原式作了相应的形式变换，内容是不变的。
半椭圆钢板弹簧刚度（单片）：
6EI。
式中I。
bto
12
（23）
（24）
to抛物线延长段至根部交点处的厚度
挠度系数
（27）
（28）
2、
端部和根部都不加厚的变截面弹簧
为方便对比，刚度公式改用相同的惯性矩表示，即
kl3
式中-12
13，则
'2
1331
（1-2）'3
（2）
1
可见，式（28）与式（14）完全一致。
（1）
式中’1丄,，2丄,'^―,=（-）3。
ll入212t?
■.3
将K=—，「減=（昭仏）2代入式（30）,并引进
入2
2=
（二）3之后，化简得：
'1
31
k"・2（1--）（31）
式（31）也与式（15）完全一致
t（x）t（x）
t（x）
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