第6章二次函数中考题doc.docx

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第6章《二次函数》中考题集（37）：

6.4二次函数的应用

1．在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x2+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△OAB=6．

（1）求点A与点B的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．

2．如图，点E（-4，0），以点E为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，抛物线y=

x²+bx+c过点A和点B，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求出点C的坐标，并画出抛物线的大致图象；

（3）点Q（m，

）（m＜0）在抛物线y=

x2+bx+c的图象上，点P为此抛物线对称轴上的一个动点，求PQ+PB的最小值；

（4）CF是圆E的切线，点F是切点，在抛物线上是否存在一点M，使△COM的面积等于△COF的面积？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）与坐标轴交于点A、B、C且OA=1，OB=OC=3．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）写出顶点坐标和对称轴方程；

（3）点M、N在y=ax2+bx+c的图象上（点N在点M的右边），且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

4．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点AB、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，-3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

5．如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积，

②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；

（2）在第

（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？

若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠рRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上．

（1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由；

（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；

（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值．

7．如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O（0，0），A（0，n），C（m，0）．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．

（1）请你确定n的值和点B的坐标；

（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax2+bx+c的顶点，且在双曲线y=

上时，求这时四边形OABC的面积．

8．已知：

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、、B（0，3）两点，其顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E．求四边形ABDE的面积；

（3）△AOB与△BDE是否相似？

如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由．

（注：

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-

，

）

9．如图，直线y=

x+b经过点B（-

，2），且与x轴交于点A，将抛物线y=

x2沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线y=

x2平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？

如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

10．如图，抛物线L1：

y=-x2-2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于M点．将抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．

（1）求抛物线L2对应的函数表达式；

（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上？

请说明理由．

11．锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0）

（1）△ABC中边BC上高AD=4；

（2）当x=2.4时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；

（3）当PQ在△ABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？

12．如图，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．

（1）求OE的长；

（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；

（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1：

3的两部分．

13．已知抛物线y=-

（x+2）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，C点在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在平面直角坐标系内画出抛物线的大致图象并标明顶点坐标；

（3）连AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），过E作EF∥AC交BC于F，连CE，设AE=m，△CEF的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上说明S是否存在最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

14．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；

（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．已知：

抛物线y=x2+（b-1）x+c经过点P（-1，-2b）．

（1）求b+c的值；

（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；

（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：

请画示意图思考）

16．如图，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求切线OM的函数解析式；

（3）线段OM上存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO1M相似．请问有几个符合条件的点P并分别求出它们的坐标．

17．如图1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；

（3）如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

18．已知抛物线y=ax2-2x+c与它的对称轴相交于点A（1，-4），与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设直线AC交x轴于D，P是线段AD上一动点（P点异于A，D），过P作PE∥x轴交直线AB于E，过E作EF⊥x轴于F，求当四边形OPEF的面积等于

时点P的坐标．

19．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．

（1）求∠ACB的大小；

（2）写出A，B两点的坐标；

（3）试确定此抛物线的解析式；

（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

20．两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED，按如图一所示的位置放置，点O与E重合．

（1）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点E运动到与点B重合时停止，设运动x秒后，Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；

（2）当Rt△CED以

（1）中的速度和方向运动，运动时间x=2秒时，Rt△CED运动到如图二所示的位置，若抛物线y=

x2+bx+c过点A，G，求抛物线的解析式；

（3）现有一动点P在

（2）中的抛物线上运动，试问点P在运动过程中是否存在点P到x轴或y轴的距离为2的情况？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，圆B切y轴于原点O，过定点A（-2

，0）作圆B的切线交圆于点P，已知tan∠PAB=

，抛物线C经过A，P两点．

（1）求圆B的半径．

（2）若抛物线C经过点B，求其解析式．

（3）设抛物线C交y轴于点M，若三角形APM为直角三角形，求点M的坐标．

22．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积；

（2）求四边形MEFN面积的最大值；

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形？

若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求阴影部分的面积；

（3）在x轴的正半轴上有一点P，作PQ⊥x轴交BC于Q，设PQ=k，△CPQ的面积为S，求S关于k的函数关系式，并求出S的最大值．

24．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-

），

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图象；

（2）若反比例函数y2=

（x＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（x0，y0），x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个相邻的正整数；

（3）若反比例函数y2=

（x＞0，k＞0）的图象与二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．

25．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3

，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求∠CQP的度数；

（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；

（3）①求y与x之间的函数关系式；

②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的

26．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，OC=2．将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形DEFG（如图1）．

（1）若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F，求此抛物线的解析式；

（2）将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，平移t秒时，所成图形如图2所示．

①图2中，在0＜t＜1的条件下，连接BF，BF与

（1）中所求抛物线的对称轴交于点Q，设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1，△AQF的面积为S2，试判断S1+S2的值是否发生变化？

如果不变，求出其值；

②在0＜t＜3的条件下，P是x轴上一点，请你探究：

是否存在t值，使以PB为斜边的Rt△PFB与Rt△AOC相似？

若存在，直接写出满足条件t的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由（利用图3分析探索）．

27．如图，抛物线y=a（x+1）（x-5）与x轴的交点为M，N．直线y=kx+b与x轴交于P（-2，0），与y轴交于C．若A，B两点在直线y=kx+b上，且AO=BO=

，AO⊥BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

（1）OH的长度等于＿；k=＿，b=＿；

（2）是否存在实数a，使得抛物线y=a（x+1）（x-5）上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？

若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式，同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB•PG＜10

，写出探索过程．

28．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x2-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？

若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

29．已知抛物线y=-ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（-1，0），与y轴的正半轴交于点C．

（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和

（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

30．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=

，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60°后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．

（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；

（2）求抛物线的函数表达式；

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上？

若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．