灰色系统分析讲义精.docx
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灰色系统分析讲义精
数学建模讲稿-------灰色系统分析
五步建模思想
研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、协调功能以及系统各因素之间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研究。
这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。
系统模型的建立，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤，故称为五步建模。
第一步：
开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这便是语言模型。
第二步：
对语言模型中的因素及各因素之间的关系进行剖析，找出影响事物发展的前因、后果，并将这种因果关系用框图表示出来（见图１）。
（a）（b）
图１
一对前因后果（或一组前因与一个后果）构成一个环节。
一个系统包含许多这样的环节。
有时，同一个量既是一个环节的前因，又是另一个环节的后果，将所有这些关系连接起来，便得到一个相互关联的、由多个环节构成的框图（如图２所示），即为网络模型。
图１
第三步：
对各环节的因果关系进行量化研究，初步得出低层次的概略量化关系，即为量化模型。
第四步：
进一步收集各环节输入数据和输出数据，利用所得数据序列，建立动态GM模型，即动态模型。
动态模型是高层次的量化模型，它更为深刻地揭示出输入与输出之间的数量关系或转换规律，是系统分析、优化的基础。
第五步：
对动态模型进行系统研究和分析，通过结构、机理、参数的调整，进行系统重组，达到优化配置、改善系统动态品质的目的。
这样得到的模型，称之为优化模型。
五步建模的全过程，是在五个不同阶段建立五种模型的过程：
网络模型优化模型
在建模过程中，要不断地将下一阶段中所得的结果回馈，经过多次循环往复，使整个模型逐步趋于完善。
数学建模讲稿-------灰色系统分析
灰色系统建模的基本思路可以概括为以下几点：
1科学实验数据；○2经验数据；○3生产数据；○4决策数据。
（1）建立模型常用的数据有以下几种：
○
（2）序列生成数据是建立灰色模型的基础数据。
（3）一般非负序列累加生成后，得到准光滑序列，对于满足光滑条件的序列，即可建立GM微分模型。
（4）模型精度可以通过不同的灰数生成方式，数据的取舍，序列的调整、修正以及不同级别的残差GM模型补充得到提高。
（5）灰色系统理论采用残差大小检验、关联度检验、后验差检验三种方法检验、判断模型的精度。
灰色系统分析
“白”指信息完全确知，“黑”指信息完全不确知，“灰”则指信息部分确知，部分不确知，或者说信息不完全。
这是“灰”的基本含义。
对于不同问题，在不同的场合，“灰”可以引伸为别的含义。
如：
从表象看：
“明”是白，“暗”是黑，那么“半明半暗或若明若暗”就是灰。
从态度看：
“肯定”是白，“否定”是黑，那么“部分肯定，部分否定”就是灰。
从性质看：
“纯”是白，“不纯”是黑，那么“多种成分”就是灰。
从结果看：
“唯一”是白，“无数”是黑，那么“非唯一”就是灰。
从过程看：
“新”是白，“旧”是黑，那么“新旧交替”就是灰。
从目标看：
“单目标”是白，“无目标”是黑，那么“多目标”就是灰。
类似地可以举出许多例子，就其基本含义而言，“灰”是信息不完全性与非唯一性。
信息不完全性与非唯一性在人们认识与改造客观世界的过程中会经常遇到的。
客观世界是物质世界，也是信息世界。
所谓系统是指：
由客观世界中相同或相似的事物按一定的秩序相互关联、相互制约而构成的整体。
例如工程技术系统，社会系统，经济系统等等。
所谓白色系统是指：
信息完全明确的系统。
如，一个家庭，其人口、收入、支出、父子、母女上下间的关系等等完全明确；一个工厂。
其职工、设备、技术条件、产值、产量等等信息完全明确。
像家庭、工厂这样的系统就是白色系统。
所谓黑色系统是指：
信息完全不明确的系统。
如遥远的某个星球，其重量、体积、是否有生命等等全然不知；湖北原始森林神农架的野人，其生活习性、群体关系，交换信息的方法等等完全不清楚，这样一类的系统都是黑色系统，还有飞碟、百暮三角洲等等目前只能看成黑色系统。
所谓灰色系统是指：
介于白色系统与黑色系统之间的系统（GreySystem），即系统内部信息和特性是部分已知的另一部分是未知的。
例如人体，其身高、体重、年龄、血压、脉搏、体温等等都是已知的，而人体的穴位的多少，穴位的生物、化学、物理性能；生物信息的传递；温度场；意识流等等尚未确知或者知道不透彻。
因此把人体看成灰色系统。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。
灰色系统分析方法主要是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分利用数量不多的数据和信息寻求相关因素与各因素之间的数学关系，即建立相应的数学模型。
一、基本概念
灰数，是客观系统中大量存在着随机的，含混的，不确知的参数的抽象。
因此灰数是在指定范围内变化的所有白化数（确知数值的数）的全体。
如“某人的年龄18岁左右”，这“18岁左右”就是灰数。
0000是由于对某人确定的出身年月缺乏信息。
又如“今天气温在25~33之间”，这“25~33之间”
就是灰数。
⊗。
令α为区间，α为α中的数，若灰数⊗在α内取值，称α为⊗的一个可能的白化值。
用ii
（a）是灰数⊗的白化值。
注意：
符号描述是：
⊗为一般灰数，⊗（α）是以α为白化值的灰数，⊗ii某个只知大概范围，而不知其准确数值的全体实数，称为灰数，记作
数学建模讲稿-------灰色系统分析
（a）可以为α，也可以不为α，关键是取决于取数时所获得的补充信息。
例如“最近气温在⊗
（29）∈[25,33]（这里[25,33]，或记作⊗，即最近的气温是灰数⊗，可记作⊗∈25~33之间”00
（29）=29，而29是一个可能的白化值）。
如果指定某一天某一刻（这叫补充信息）其气温为29度，则⊗
（29）=某天某时刻的气温为31度，则⊗31，意思是以29度为白化值的最近灰气温的白化值为31度。
二、灰色关联分析
1.灰色关联分析的目的
寻求系统中各因素间的主要关系，找出影响目标值的重要因素，从而掌握事物的主要特征，促进和引导吸引迅速而有效地发展。
2.灰色关联分析的方法
它是对一个系统发展变化态势的定量描述和比较的方法。
发展态势的比较，依据空间理论的数学基础，按照规范性、偶对对称性、整体性和接近性这四条原则，确定参考数列（母数列）和若干比较数列（子数列）之间的关联系数和关联度。
3.灰色关联分析与数理统计的相关分析的区别
（1）理论基础不同
灰色关联分析基于灰色系统的灰色过程，而相关分析则基于概率论的随机过程
（2）分析方法不同
灰色关联分析进行因素间时间序列的比较，而相关分析则进行因素间数组的比较；
（3）数据量要求不同
灰色关联分析不需要太多的数据，而相关分析则需要足够的数据量；
（4）研究重点不同
灰色关联分析主要研究动态过程，而相关分析则以静态研究为主。
4.关联度与关联系数
两个系统或两个因素间关联性大小的度量，称为关联度。
关联度描述了系统发展的过程中，因素间相对变化的情况，也就是变化的大小，方向与速度等相对性。
如果两者在发展过程中，相对变化基本一致，则认为两者关联度较大，否则认为关联度较小。
（1）单因素的情况
如果系统行为只有一个因子x，而x受到多种因素x00i
因子
关联系数的计算方法
设系统行为因子的参考数列为一种利用因素x对i=1,2,,n的影响，ix0的灰色关联度来表示xi对x0影响大小的方法称为灰色关联分析。
，相关因素为x0={x0
（1）,x0
（2）,,x0（n）}
xi={xi
（1）,xi
（2）,,xi（n）}i=1,2,,m，记∆i（k）=x0（k）-xi（k）（k=1,2,,n;
其中α∈[0,1]，称为分辨率系数，当α
α=0.5。
1≤i≤m），则参考数列x0在第k点的灰色关联系数为minmin∆i（k）+αmaxmax∆i（k），kr（x0（k）,xi（k））=i∆i（k）+αmaxmax∆i（k）ik越大，分辨率越大；当α越小，分辨率越小。
一般情况取
i=1,2,,m灰关联度计算公式为：
1n
ri=r（x0,xi）=∑（r（x0（k）,xi（k））nk=1
（2）多因子情况
设系统行为有多个因子，不妨设因子集为X
等，或者接近，或者同数量级等等；
={xii=1,2,,l}，如果因素数列xi满足下列条件：
1）数列x的数据x（k）之间具有可比性，即指定x（k）与x（k）之间的数值可以比较的，或者相iiij3
数学建模讲稿-------灰色系统分析
2）数列x之间具有可接近性，即非平等性；
i
3）数列x之间具有同级性，即同为正（极大值）极性，或负（极小值）极性，或中极性。
i
以灰关联因子集X中的一个因子x
i（1≤
i≤l）为参考数列，
（k=1,2,,n;j=1,2,,l），相对应的差数列为：
∀xj∈X，记∆ij（k）=xi（k）-xj（k）
则比较数列xj对参考数列xi在第k点的关联系数为：
∆ij（k）=（∆ij
（1）,∆ij
（2）,,∆ij（n）），
r（xi（k）,xj（k））=
灰关联度计算公式为：
minminmin∆ij（k）+αmaxmaxmax∆ij（k）
i
j
k
i
j
k
∆ij（k）+αmaxmaxmax∆ij（k）
i
j
k
，
1n
rij=r（xi,xj）=∑（r（xi（k）,xj（k））
ni=1
i=1,2,,m;j=1,2,,l
4.数据变换
由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲也不一定相同，如劳动力为人，产值为万元，产量为吨，而且有时数值的数量级相差悬殊。
如人均收入为几百元，粮食亩产几千斤，费用几十万元，产值有的几万元，有的却达到百亿元等，这样比较时就难以得到正确的结果，为了便于分析，保证各因素具有等效性和同序性，因此需要对原始数据进行处理，使之无量纲化和归一化。
（1）初值化处理
对一个数列的所有数据均用它的第一个数去除，从而得到一个新的数列的方法称为初值化处理。
这个新数列表明原始数列在不同时刻的值相对于第一时刻值的倍数，该数列有共同的起点，无量纲，其数据均大于零。
设有原始数据x={x
（1）,x
（2）,,x（n）}，对x作初值化处理得到数列y，则
⎧x
（1）x
（2）x（n）⎫
y0={y0
（1）,y0
（2）,,y0（n）}=⎨,,,⎬
x
（1）x
（1）x
（1）00⎩0⎭
（2）均值化处理
对一个数列的所有数用它的平均值去除，从而得到一个新数列的方法称为均值化处理。
这个新数列表明原始数列中不同时刻的值对平均值的倍数。
该数列无量纲，其数据均大于零。
设原始数列为x令则
={x0
（1）,x0
（2）,,x0（n）}，对x0作均值化处理得到数列y0，
，1n
x0=∑x0（k）
nk=1
⎧x0
（1）x0
（2）x0（n）⎫
y0={y0
（1）,y0
（2）,,y0（n）}=⎨,,,⎬
xxx00⎭⎩0
5.应用实例
下表是中国1998年—2005年能源数据
数学建模讲稿-------灰色系统分析
选取总能源x0为参考数列,
234x0={62770,64562,63721,63223,66772,71263,77847,85538},以煤炭产量x、石油产量x、天然气产量x、水电产量x为比较数列。
1
（1）原始数据作均值化处理
设原始数列为xi={xi
（1）,xi
（2）,,xi（8）}，对xi作均值化处理得到数列yi，令
，则18
xi=∑xi（k）8k=1
⎧xi
（1）xi
（2）xi（8）⎫yi={yi
（1）,yi
（2）,,yi（8）}=⎨,,,⎬i=0,1,2,3,4xixi⎭⎩xi
（2）求差序列∆
（3）计算参考数列i（k）=yi（k）-y0（k）（i=1,2,3,4;k=1,2,3,4,5,6,7,8）
，取α=0.5r（y0（k）,yi（k））=minmin∆i（k）+αmaxmax∆i（k）ikiky0在第k点的灰色关联系数为
ik∆i（k）+αmaxmax∆i（k）i=1,2,3,4
（4）计算灰关联度18
ri=r（y0,yi）=∑（r（y0（k）,yi（k））8k=1i=1,2,3,4
用MATLAB编程得到结果为：
r1=0.9087，r2=0.7151，r3=0.5073，r4=0.5659
这里r1=0.9087最大，说明煤炭在总能源中的地位十分重要，煤炭工业状况和总能源的发展关系最为密切，因此抓能源要重视煤炭工业的发展。
三、灰色生成数列
将原始数据x（k）按某种要求作数据处理，称为生生成。
数据的生成方式有多种，最常见的有：
0
（1）累加生成
把数列各时刻的数据依次累加的过程称为累加生成过程，记作AGO（AcumulatedGeneratingOperating）
设原始数列为x={x
（1）,x
（2）,,x（n）}，0000
令x1（k）=∑x0（i）k=1,2,,n
i=1k，则
x1={x1
（1）,x1
（2）,,x1（n）}={x0
（1）,x0
（1）+x0
（2）,,x0
（1）+x0
（2）++x0（n）}称x为数列x的1次累加生成的数列。
若令10xr（k）=∑xr-1（i）k=1,2,,n
i=1k，称之为数列x的0r次
累加生成的数列。
（2）累减生成
对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程，记作IAGO，如果原始数列为x
为数列0={x0
（1）,x0
（2）,,x0（n）}，令x1（k）=x0（k）-x0（k-1）k=2,3,,n，则称x1而x（k）=x称为数列xx0的1次累减生成。
0rr-1（k）-xr-1（k-1）k=2,3,,n
的r次累减生成
（3）均值生成
设原始数列为x0={x0
（1）,x0
（2）,,x0（n）}，称x0（k-1）与x0（k）为数列x0的邻值，
α∈[0,1]，称x0（k-1）称为后邻值，x（k）称为前邻值，对于常数0
y0（k）=αx+）0（k
四、灰色预测
α（-10x）为由数列x0的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数。
-k
（1）5
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灰色预测，是基于灰色动态模型（GreyDynamicModel），简称GM的预测。
GM（m,n）表示m阶n个变量的微分方程。
微分方程适合描述社会经济系统，生命科学内部过程动态特征。
因此灰色系统预测模型的建立，常常应用微分拟合法为核心的建模方法，GM（m,n）模型中，由于m越大，计算越复杂，所以用灰色模型GM（1,n），称为单序列一阶线性动态模型。
灰色预测它是指利用MG的模型对系统行为特征的发展规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生的事件的未来时间分布情况做出研究等等。
灰色预测方法的特点表现在：
首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值，从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数，对生成数列使用微分方程模型。
这样，可以抵消大部分随机误差，显示出规律性。
1灰色系统理论的建模思想
下面举一个例子，说明灰色理论的建模思想。
考虑4个数据，记为X（0）
（1）,X（0）
（2）,X（0）（3）,X（0）（4），
上图表明原始数据X没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。
如果将原始数据作累加生成，记第k个累加生成为X
（1）（k）,并且
（0）
X
（1）
（1）=X（0）
（1）=1
X
（1）
（2）=X（0）
（1）+X（0）
（2）=1+2=3
X
（1）（3）=X（0）
（1）+X（0）
（2）+X（0）（3）=1+2+1.5=4.5
X
（1）（4）=X（0）
（1）+X（0）
（2）+X（0）（3）+X（0）（4）=1+2+1.5+4=8.5
上图表明生成数列X是单调递增数列。
2.灰色预测方法
（0）（0）（0）（0）X=（x
（1）,x
（2）,,x（n）），定义1设
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X
（1）=（x
（1）
（1）,x
（1）
（2）,,x
（1）（n））
（0）
（1）x（k）+ax（k）=b
（1）为GM（1,1）模型的原始形式。
称
符号GM（1,1）的含义如下：
G
GreyModel
（灰色）（模型）（1,1）1阶方程１个变量
（0）
（1）
（1）
（1）
（1）
（1）Z=（z
（2）,z（3）,,z（n））X,X定义2设如定义1所示,
z
（1）（k）=
其中1
（1）（x（k）+x
（1）（k-1））（0）
（1）x（k）+az（k）=b
（2）2称
为GM（1,1）模型的基本形式。
定义3设X（0）为非负序列，X
（1）为X（0）的1－AGO序列，Z
（1）为X
（1）的紧邻均值生成序列，
（1）[a,b]T=（BTB）-1BTY，则称d叫影子方程。
定理1设X（0）
（1）dt
（1）+ax=b为GM（1,1）模型x（k）+az（k）=b的白化方程，也（0）为非负序列：
X（0）=（x（0）
（1）,x（0）
（2）,,x（0）（n））
（1）其中x（0）（k）≥0,k=1,2,n；X为X（0）的1－AGO序列：
X
（1）=（x
（1）
（1）,x
（1）
（2）,,x
（1）（n））
其中x（k）=
（1）∑x
i=1
（1）k（0）（i），k=1,2,n；Z
（1）为X
（1）的紧邻均值生成序列：
（1）
（1）Z=（z
（2）,z（3）,,z（n））
（1）
其中z
（1）（k）=1（x
（1）（k）+x
（1）（k-1）），k=2,3,n。
2
T若aˆ=（a,b）为参数列，且
⎡（0）
（2）⎤⎡-
（1）
（2）x⎢（0）⎥⎢z
（1），（3）⎥⎢-z（3）Y=⎢xB=⎢⎥⎢⎢（0）⎥⎢
（1）⎢⎢⎣-z（n）⎣x（n）⎥⎦
（0）1⎤⎥1⎥（3）⎥⎥1⎥⎦则GM（1,1）模型x（k）+az
（1）（k）=b的最小二乘估计参数列满足
ˆ=（BTB）-1BTYa
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ˆ=[a,b]T=（BTB）-1BTY，则定理2设B,Y,a如定理1所述，a
1白化方程︒Λd
（1）
dt+ax=b的解也称时间响应函数为aa
（1）x
（1）（t）=（x
（1）
（1）-b）e-at+b（4）
2︒GM（1,1）模型x（0）（k）+az
（1）（k）=b的时间响应序列为
ˆx
（1）b-akb（0）（k+1）=（x
（1）-）e+；k=1,2,n（5）aa
3︒还原值
xˆ（k+1）=（0）ˆαx
（1）
（1）（k+1）=ˆx
（1）（k+1）-xˆ（k）=（1-
（1）eab-ak（0））（x
（1）-）e；k=1,2,na
定义4称GM（1,1）模型中的参数-a为发展系数，b为灰色作用量。
反映了x-aˆ及xˆ的发展态势。
一般情况下，系统作用量应是外生的或者前定的，而GM（1,1）是
单序列建模，只用到系统的行为序列（或称输出序列、背景值），而无外作用序列（或称输入序列、驱动量）。
GM（1,1）模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。
灰色作用量是内涵外延化的具体体现，它的存在，是区别灰色建模与一般输入输出建模（黑箱建模）的分水岭，也是区别灰色系统观点与灰箱观点的重要标志。
定理3GM（1,1）模型
x（k）+az（k）=b可以转化为（0）
（1）
（1）（0）
x
其中（0）（k）=β-αx（k-1）（6）
（1）
ba，α=1+0.5a1+0.5a
ba定理4设β=，α=，且1+0.5a1+0.5aβ=
ˆ
（1）=（xˆ
（1）
（1）,xˆ
（1）
（2）,,xˆ
（1）（n））X
ˆ（k）=（x为GM（1,1）模型时间响应序列，其中x
则
（1）（0）b-a（k-1）b
（1）-）e+；k=1,2,naax（0）（k）=（β-α
（0）x（0）
（1））e-a（k-2）（7）定理5若X为准光滑序列，则其GM（1,1）发展系数-a可表示为
b
a=
（1）（k-1）-ρ（k）
1+0.5ρ（k）（8）
其中ρ（k）=（k）
x（k-1）
（1）（0）
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随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加。
当发展系数小于或等于0.3时，模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到95%以上，发展系数大于1，模拟精度低于70%，发展系数大于1.5，模拟精度低于50%。
一般地：
（1）当－a≤0.3时，GM（1,1）可用于中长期预测；
（2）当0.3<－a≤0.5时，GM（1,1）可用于短期预测，中长期预测慎用；
（3）当0.5<－a≤0.8时，用GM（1,1）作短期预测应十分谨慎；
（4）当0.8<－a≤1时，应采用残差修正GM（1,1）模型；
（5）当－a>1时，不宜采用GM（1,1）模型。
例1设原始序列
X（0）=（x（0）
（1）,x（0）
（2）,x（0）（3）,x（0）（4）,x（0）（5））=（2.874,3.278,3.337,3.390,3.679）
试用下列三种GM（1,1）模型对X（0）进行模拟，并比较其模拟精度：
1︒x（0）（k）+az
（1）（k）=b
2︒x（0）（k）=β-αx（k-1）
（1）
3︒x（0）（k）=（β-αx
（1））e
（0）（0）-a（k-2）解1第一步：
对X︒作1－AGO，得
X
（1）=（x
（1）
（1）,x
（1）
（2）,x
（1）（3）,x
（1）（4）,x
（1）（5））=（2.874,6.152,9.489,12.897,16.558）
第二步：
对X（0）作准光滑性检验。
由ρ（k）=（k）
x（k-1）
（1）（0）
得ρ（3）≈0.54,ρ（4）≈0.36<0.5，ρ（5）≈0.29<0.5。
当k>3时准光滑条件满足。
第三步：
检验X
（1）是否具有准指数规律。
由σ
（1）（k）=（k）
x（k-1）
（1）
（1）
得σ（3）≈1.54,σ（4）≈1.36,（5）≈1.29
（1）当k>3时，σ
（1）（k）∈[1,1.5]，δ=0.5，准指数规律满足，故可对X建立GM（1,1）模型。
（1）
（1）
第四步：
对X
（1）作紧邻均值生成。
令
（1）
（1）z
（1）（k）=0.5x（k）+0.5x（k-1）
得Z
（1）=（z
（1）
（2）,z
（1）（3）,z
（1）（4）,z
（1）（5））=（4.513,7.820,11.184,14.718）
数学建模讲稿-------灰色系统分析
⎡-
（1）
（2）⎢z
（1）-（3）于是B=⎢z
（1）⎢-（4）⎢z
（1）⎢⎣-z（5）1⎤⎡-4.513⎥⎢1⎥⎢-7.820=⎥1⎢-11.184⎥⎢1⎥⎦⎣-14.7181⎤⎡（0）
（2）⎤⎡3.278⎤⎢x（0）⎥⎢⎥⎥1⎥，（3）⎥⎢3.337⎥⎢xY=⎢（0）⎥=1⎥⎢3.390⎥（4）⎢x（0）⎥⎢⎥⎥1⎦3.679（5）⎢⎥⎣⎦⎣x⎦
ˆ=[a,b]T进行最小二乘估计。
得第五步：
对参数列a
⎡-0.03720⎤TT-1ˆa=（BB）BY=⎢⎥3.06536⎣⎦
第六步：
确定模型dt
及时间响应式d
（1）
（1）-0.0372x=3.06536
ˆx
（1）0.0372kb-a（k-1）b（0）-82.402151（k）=（x
（1）-）e+=85.276151eaa
第七步：
求X
（1）的模拟值
ˆ
（1）=（xˆ
（1）
（1）,x
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