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中考数学复习初二WORD整理
2012中考复习（初二精华）
三、一元二次方程
（一）基础知识归纳
1．一元二次方程的有关概念
（1）一元二次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程。
注：
一元二次方程须同时满足三个条件：
①整式方程②化简后只含有一个未知数③未知数的最高次数是2。
（2）一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数）其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a、b分别是二次项，一次项的系数。
（3）使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
2．一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是否有实数根，关键由b2-4ac的值的符号来确定，我们把b2-4ac叫一元二次方程根的判别式，记作“△”，即△=b2-4ac。
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①当△=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
②当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
③当△=b2-4ac<0时，方程没有实数根。
反之亦然
3．一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法的理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如（x+a）2=b（b≥0）的方程。
（2）配方法：
通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①如果一元二次方程的二次项系数不是1，就定在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②把含未知数的项移到左边，常数项移到右边。
③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；④用直接开平方法解这个一元二次方程。
（3）公式法：
一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的求根公式为
（b2-4ac≥0），其中公式中的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数，常数项。
我们用求根公式法求一元二次方程的解的方法叫做公式法。
注意：
①求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有当能确认某方程为一元二次方程时，方可用求根公式；②公式中的“b2-4ac≥0”是公式成立的前提条件。
用求根公式解一元二次方程的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；②确定公式中的a、b、c的值；③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a、b、c的值及b2-4ac的值代入求根公式即可，当b2-4ac<0时，此时方程无实解。
（4）因式分解法：
当一元二次方程的一边是零，而另一边易于分解成两个因式乘积时，分别得到两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解，这种方法称之为因式分解法。
因式分解法的一般步骤是：
①解方程转化为一般形式；②将方程的左边分解成两个一次因式的积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
4．一元二次方程的应用
（1）列一元二次方程解应用题的特点：
列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，它的分析方法与解题步骤与列一元一次方程解应用题非常相似，不同的是列出的方程是一元二次方程。
（2）列一元二次方程解应用题的步骤
①审清题意，明确问题中的已知量、未知量以及各种量之间的关系。
②设未知数，有直接设未知数和间接设未知数两种，无论是怎样设未知数，一定要注意题目的未知量能用所设的未知数表示出来。
③列方程，列方程就是找出题目中的相等关系，再根据这个相等关系列出含未知数的等式，即方程，这是列方程解应用题最重要的步骤。
④解方程，并对求出的解进行检验，看它是否符合题目中的实际意义。
⑤作出答案。
（3）一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，则
，
，即一元二次方程两根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两根的积等于常数项除以二次项系数所得的商。
（根与系数的关系存在的前提是：
①a≠0，即方程一定是一元二次方程；②b2-4ac≥0，即方程一定有实数解。
）
二、考点与命题趋向
1、能力：
（1）理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
（2）能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2、命题趋向
（1）一元二次方程的概念和判定，一元二次方程的解法
例1、下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A、3（x+1）2=2（x+1） B、
C、ax2+bx+c=0 D、x2+2x=x2-1
解析：
因为B选项中含有分式，不是一元二次方程，C选项由于a的取值不确定，有可能等于0，不一定是一元二次方程；D选项化简后是一元一次方程，故选A。
例2、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
（2）列方程解决实际问题，题型以实际应用题为主
例3、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶，在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价。
解：
设每盒茶叶的进价为x元，根据题意得：
解这个方程得x1=-30，x2=40
经检验：
x1=-30，x2=40都是所列方程的根，但因为进价为负数不合题意，所以只取x=40
答：
每盒茶叶的进价为40元。
说明：
本题所列方程为可化为一元二次方程的分式方程，求解完要检验，并且结果要符合实际意义。
（三）解题方法
1、一元二次方程的有关概念
2、直接开平方法
3、配方法
4、分式法
5、因式分解法
6、换元法
7、整体思想
8、分类讨论法
9、一元二次方程的应用
四、练习
1、选择题
（1）方程x（x+3）=x+3的解是（ ）
A、x=1 B、x1=0，x2=-3 C、x1=1，x2=3 D、x1=1，x2=-3
（2）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A、x2+x+1=0 B、x2+2x+1=0 C、x2-2x-1=0 D、x2-x-2=0
（3）用换元法解方程（x2+x）2+2（x2+x）-1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为（ ）
A、y2+2y+1=0 B、y2-2y+1=0 C、y2+2y-1=0 D、y2-2y-1=0
（4）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A、x2+1=0 B、x2+2x+1=0 C、x2+2x+3=0 D、x2+2x-3=0
（5）若x1、x2是一元二次方程x2-3x+1=0的两根，则
的值是（ ）
A、3 B、-3 C、
D、1
2、填空题
（1）如果关于x的方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，那么a=_______
（2）设x1、x2是方程x2-2x-2=0的根，则x1+x2=_______，x1·x2=______
（3）解方程（x2-5）2-x2+3=0时，令x2-5=y，则原方程变为__________
（4）写出两个一元二次方程，使每个方程都有一个根为0，并且二次项系数都为1=____
（5）等腰△ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是______
3、解答题：
（1）如图所示，要建一个面积为130m2的仓库，仓库的一边靠墙（墙长16m），并在与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，求仓库的长和宽。
（2）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的平均月增长率。
（3）关于x的一元二次方程：
mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
参考答案：
1、
（1）D
（2）A （3）C （4）D （5）A
2、
（1）4
（2）2，-2 （3）y2-y-2=0 （4）x2+5x=0，x2-3x=0等 （5）25或16
3、
（1）
解：
设仓库的宽为xm，则长为（33-2x）m，根据题意得：
x（33-2x）=130
整理得：
2x2-33x+130=0
解得x1=10，x2=6.5
当x1=10时，33-2x=13
当x2=6.5时，33-2x=20
∵20>16不合题意，∴x2=6.5舍去，∴x=10
答：
仓库的长为13m，宽为10m。
（2）
解：
设3月份到5月份营业额的平均月增长率为x，依题意得：
400（1+10%）（1+x）2=633.6
整理得：
（1+x）2=1.44
解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）
答：
3月份至5月份的营业额的平均月增长率为20%。
（3）
解：
由题意m≠0
∵（3m-1）2-4m（2m-1）=1
解得：
m1=0，m2=2
∵m≠0 ∴m=2
∴原方程为2x2-5x+3=0
∴
，x2=1
四、方差与频数分布
（一）基础知识归纳
1、数据的波动
（1）极差、方差与标准差的概念
极差：
一组数据中最大数据与最小数据的差。
方差：
一组数据中各个数据与平均数之差的平方的平均数。
即
标准差：
方差的算术平方根叫做标准差，即
极差、方差和标准差都是用来衡量一个样本数据离散程度的量，这里的“离散程度”是指偏离平均数的大小。
一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越大，说明样本数据波动越大，稳定性就越差；反之这一组数据的极差、方差和标准差越小，这组数据就越稳定。
（2）用计算器求平均数、方差和标准差
①笔算一组数据的平均数、方差、标准差，计算量大且比较麻烦，容易出错，用计算器来计算，简便而快捷。
②一般具有统计功能的计算器都可以直接求出一组数据的平均数与标准差，但不能直接求出方差，要求方差，需再进行一次平方运算。
（3）总体、个体、样本和样本容器
总体即所要考察对象的全体，个体就是组成总体的每一个考察对象，样本则是以总体中抽取的部分个体，样本容量即样本中个体的数量。
（4）普查与抽样调查
普查是为了一定目的而对考察对象进行全面调查，抽样调查则是以总体中抽取部分个体而进行的部分调查。
注意：
①通常根据样本的情况来推测总体的情况，这是统计的基本思想方法。
②通常不是直接研究总体，而是用样本估计总体，有两个原因：
一是在许多情况下总体包含的个体数往往很多，甚至无限，不可能一一加以考察；二是某些从总体中抽取个体的试验带有破坏性，抽取的个体不允许太多。
③用样本估计总体时，样本容量越大，所作出的估计也就越精确，但是如果样本容量过大，则要花费较多的时间、人力、财力，因此，在一个具体的研究问题中，计划所选样本容量的大小，要根据需要来决定。
④总体的考察对象是全体，个体是全体中的一个，样本是由一部分考察对象组成，故它们应有相同的单位。
2、频数分布
（1）频数与频率的概念
在统计对象中，每个对象出现的次数称为频数；每个对象出现的次数与总次数的比值称为频率。
（2）频数分布
频数分布主要研究数据的分布规律，以便对数据的分布情况做出较全面的估计，要得到一个样本的频数分布情况，其步骤如下：
①计算最大值与最小值的差
②决定组距与组数
③决定分点
④列频数分布表
⑤画频数分布直方图（或频数分布折线图）
（二）考点与命题趋向
1、能力
（1）从事收集、整理、揭述和分析数据的活动，能用计算器处理较为复杂的统计数据。
（2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本体会不同的抽样可能得到不同的结果。
（3）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度。
（4）通过实例理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题。
（5）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数，方差来估计总体的平均数和方差。
2、命题趋向
（1）关注对总体、样本、样本容量的考查。
例1、为了了解一批电视机的寿命，从中抽取100台电视机进行试验，这个问题中的样本是（ ）
A、这批电视机的寿命 B、抽取的100台电视机
C、100 D、抽取的100台电视机的寿命
解析：
本题考查的对象是电视机的寿命，因而总体、个体、样本中都应指电视机的寿命这一对象，故排除B和C。
至于A中的说法反映的是总体，而不是样本，故选D。
（2）注重考查学生读图、分析数据获取信息的能力
例2、某地区为了增强市民的法制观念，抽调了一部分市民进行了一次知识竞赛，竞赛成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘制成频数分布直方图，请结合直方图提供的信息，解答下列问题。
①共抽取了多少人参加竞赛？
②60.5～70.5这一分数段的频数，频率分别是多少？
③这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？
④根据统计图，请你提出一个问题，并回答你所提出的问题。
解：
①各分数段对应的人数分别是3、12、18、9、6，所以总人数是48。
②60.5～70.5分数段的频数是12，频率是
③因为是偶数个数据，所以中位数是第24、25两个数据的平均数，所以中位数落在70.5-80.5分数段中。
④（这是一个开放性问题，可以有多种答案）如：
问题是“如果规定90分以上（不含90分）的为优秀，那么有多少人是优秀？
”其实就是求90.5-100.5这个分数段的人数，是6人。
（3）注重考查一组数据的离散程度，从而为决策提供依据的题型。
例3、为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，在同等的条件下，教练给甲、乙两名同学安排了一次射击测验，每人打10发子弹，下面是甲、乙两人各自的射击情况记录（其中乙的情况记录表上射中9、10环的子弹数被墨水污染看不清楚，但是教练记得乙射中9、10环的子弹数均不为0发）
甲
中靶环数
5
6
8
9
10
射中此环的子弹数（单位：
发）
4
1
2
2
1
乙
中靶环数
5
6
7
9
10
射中此环的子弹数（单位：
发）
3
1
3
①求甲同学在这一次测验中平均每次射中的环数。
②根据这次测验的情况，如果你是教练，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由（结果保留到小数点后第1位）
解：
①甲同学在这次测验中平均每次射中的环数是：
（5×4+6×1+8×2+9×2+10×1）÷10=7（环）
②i、若乙同学击中9环的子弹数为1发，则击中10环的子弹数为2发，乙同学在这次测验中平均每次射中的环数为：
（5×3+6×1+7×3+9×1+10×2）÷10=7.1（环）
在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，这时应选择乙参加射击比赛。
ii、若乙同学击中9环的子弹数为2发，则击中10环的子弹数为1发。
乙同学在这次测验中平均每次射中的环数为：
（5×3+6×1+7×3+9×2+10×1）÷10=7.0（环）
甲同学在这次测验中的方差
是：
乙同学在这次测验中的方差
是：
，在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定，这时应选择乙参加射击比赛。
综上所述，应选择乙参加射击比赛。
（三）解题方法
1、选择调查方式
2、方程思想
3、比较方差的大小，不确定一组数据的稳定性
四、练习
1、选择题
（1）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ）
A、平均数 B、方差 C、众数 D、中位数
（2）数据8，10，12，9，11的平均数和方差分别是（ ）
A、10和
B、10和2 C、50和
D、50和2
（3）在样本方差的计算式
中，数字10与20分别表示样本的（ ）
A、样本容量、方差 B、平均数、样本容量 C、样本容量、平均数 D、标准差、平均数
（4）将100个数据分成8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
11
14
12
13
13
x
12
10
则第六组的频数为（ ）
A、12 B、13 C、14 D、15
（5）为了了解某校八年级400名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A、400名学生 B、被抽取的50名学生 C、400名学生的体重 D、被抽取的50名学生的体重
2、填空题
（1）一组数据是4，0，1，-2，2的标准差是__________
（2）对甲、乙两台机床生产的零件进行抽样测量，其平均数，方差计算如下：
机床甲：
，
；机床乙：
，
，由此可知___________（填甲或乙机床性能好）
（3）在1000个数据中，用适当的方法抽取50个作为样本进行统计，频数分布表中54～57这一组的频数是6，那么估计总体落在54～57之间的数据约有_________个
（4）已知一个样本1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是__________
（5）将100个数据分成5组，其中第一、二组的频率之和等于0.11，第四、五组的频率之和等于0.27，则第三小组的频数等于_____________
3、解答题
（1）某中学举行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的成绩，结果如下表：
（分数均为整数，满分100分）
分数段
60～70
71～80
81～90
91～100
人数（人）
2
8
6
4
请根据表中提供的信息，解答下列各题：
①参加这次演讲比赛的同学共有________人；
②已知成绩在91～100分的同学为优胜者，那么优胜率为_________；
③所有参赛同学的平均得分M（分）在什么范围内？
答_________；
④将成绩频数分布直方图（如下）补充完整。
（2）已知一组数据：
6，9，11，8，7，11，12，10，9，10，12，10，9，8，13，15，10，11，12，13，14。
①填写下面的频数分布表
分组
6～7
8～9
10～11
12～13
14～15
频数
②根据上表画出频数分布直方图
参考答案：
1、
（1）B
（2）B （3）C （4）D （5）D
2、
（1）2
（2）甲 （3）120 （4）
（5）62
3、
（1）
解：
①参加比赛的人数为：
2+8+6+4=20人；
②优胜率为：
③
④如图
（2）
①频数依次为：
2，5，7，5，2
②频数分布直方图为（如下图）
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