图文第11章协方差结构模型.docx
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图文第11章协方差结构模型
第十章协方差结构
10.1验证性因素分析
10.2协方差结构模型
10.3LISREL8.20的使用
10.4AMOS4.0的使用
10.1验证性因素分析
1、探索性因素分析和验证性因素分析的区别
（D两者的理论假设不同：
探索性因素分析的假设：
•所有的公共因素都相关（或都无关）；
•所冇的公共因素都直接影响所冇的观测变量；
•特殊因素之间相互独立；
•所冇观测变量只受一个特殊因素的影响；
•公共因素和特殊因素相互独立。
验证性因素分析的基本假设：
•公共因索之间可以相关也可以无关；
•观测变量可以只受某一个或儿个公共因素的影响而不必受所有公共因素的影响；
•特殊因索之间可以有相关。
还可以出现不存在误差因素的观测变量；
•公共因素和特殊因素相互独立。
（2）前提条件不同
当因素的结构、因素之间的关系、因素的数量未知时，应使用探索性因素分析；
验证性I大1素分析是对已冇的理论模醴与数据拟合程度的一•种验证。
进行验证性因素分析时，必须明确指明：
公共因索的个数、观测变量的个数、观测变量和公共因素之间的关系、观测变量和特殊因索之间的关系以及特殊因索之间的关系。
x1
x2
x3
x4
x5
探索粮元素分析
验证性因素分析
2、验证性因素分析的数学模型
验证性因素分析是在对研究问题冇所了解的基础之上进行的，这种了解可以是建立在理论、实验研究或是两者结合的基础上。
模型假设为：
（1）在总体中，模型所有变量（观测变量、潜变量、误差）都设定其平均值为零；
（2）公共因素与误差项之间相互独立；
（3）各独立因索之间相互独立（这一条件有时得到放宽）；
（4）观测变量数人于公共因索数。
1
2X
2+
■1
2
X4=兄42^2+C
二aM+5
X3=2+兄32^2+§3
由于验证件因索分析||口变量（潜变量）是彳可观测的，所以因素方程不能直接古计，为此必须导出它与观测变量的协方差阵之间的关系对于上述的数学农达工I两边求协方差可以得到：
£=Ax（DAx+©$
其中迄是观测变量之间的协族矩阵;A*是观测变帛X相应J-§的负荷矩阵;①是潜变量Z间的协方邂巨阵;虫是测量模型中误差项之间的协方差昭。
该方程把观测变駆的协方差分解成负荷矩『I\、f的协方差以如的协方差矩阵。
模型的估计就是求解上而协方差方程中的各个参数的估计值，以便使模型更好地重新产生观测变量的协方差矩阵。
3、验证性因素分析的步骤
（1）模型定义
根据理论假设，定义观测变量和港变量之间的关系,
潜变量Z间的关系以及特殊因索（误差项）之间的关系。
观测变量用矩形农示，潜变量用椭圆形表示；单箭头是从潜变量指向观测变量，表明潜变量引起了观测变量的变化；用双箭头表示相关，可以指定潜变量之间、误差项之间的相关。
（2）模型识别:
:
识别问题就是协方差结构方程有唯一解的问题。
••
「恰好识另iJtjust-identified可以识另>J（identifii）leK
模型的识别［超识别（over・identified
不可识Sounder-identified
1）恰好识别：
指方程式的个数等于要估计的参数的个数，因此每个参数能求得唯一解。
2）超识别：
指方程式的个数多于参数估计所需要方程的个数。
3）不可识别：
模型中方程式的个数少于待估参数的个数，无法确定模型参数。
模型可识別的必要条件：
••
模型中待估参数的个数要小于或等于q（q+1）/2,其中q为观测变量的个数。
模型可识别的充分条件:
1）如果潜变量之间的协方差矩阵①=I,并且因素负荷矩阵A的k列中至少有k-1列是规定的元素，则模型可识别。
2）如果①不是对角矩阵，但对角线上的元素是相同的，若因素负荷矩阵屮的每一列中至少有k・1个值为规定的元素，则模型是可识别的。
（k为公共因素数目）。
3）三指标原则：
a.每个潜变量有三个或更多测量变量；b.因素负荷矩阵每一行有且只有一个非零值；c.残差的协方差矩阵为对角阵。
如果满足上述三个条件，模型可识别。
4）两指标法则：
法则仁a.因素负荷矩阵的每一行有且仅有一个非零值；b.至少有两个潜变量相关；C.每个潜变量至少有两个非冬的测量变量；d.残差的协方差矩阵为对角阵。
同时满足上述四个条件，则模型可识别。
法则2：
a.因索负荷矩阵的每一行有且仅有一个非零值;b.对丁•每个潜在变量，至少有一个潜变量与之相关；c.每个潜变量至少有两个非零的测量变量。
同时满足上述三个条件，模型可识别。
（3）验证性因素分析的参数估计
协方差方程为E=A、①Al+Oj怡表示样木协方差矩阵。
1）未加权的披小〔乘法ULS）
用未加权的最小二乘法占计£、①、A使仏"舷-纣抵到最小。
2）广义披小二乘法GLS）
用广义的最小二乘法竹I》、①、A使Fgk=Ti［（S・E）S叮达到最小。
3）极大似然法ML）
用极大似然法估讪、①、A使屜=丁怡旷）+（1。
羽|+lo』S|）・q
（4）验证性因素分析模型的评价
得到了参数的估计值后，需要对模型与数据间是否拟合进行评价。
拟合指数主要反映了工与S拟合的程度。
常用的模型拟合指数有：
绝对拟合指数有：
咒2统计量，p>0.05
拟合优度指数GFI>0.90调整的拟合优度指数AGFI>0.90近似均方根误差RMSEA<0.08
相对拟合指数有：
相对拟合指数CFI>0.90
标准拟合指数NFI>0.90
Tucker-Lewis指数NNFI>0.90
递增拟合指数IFI>0.90
（5）模型修正
如果模型不能很好地拟合数据，就需要对模型进行修止或重新设定。
研究者需要决定如何删除、增加和修改参数，通过修正模型可以增进模型的拟合程度。
另外，对于模型的选取应该逍循省俭原则。
即当两个模型同样吻合数据时，应当収两个模型屮比较简单的一个。
4、验证性因素分析在测量上的应用
（1）构想效度和项目信度
通过数据与理论假设模型之间的吻合程度来表示一个测验构想效度的高低。
信度定义为公共因素与观测变量相关的平方，它表示在一个观测变量的总方差中，能够由公共因素所解释的比例。
如九们®+®,则冷的信度为：
REL（x1）=九%
（2）多质多法（multitrait-multimethod.MMMT）
（3）高阶因素分析
5、验证性因素分析的其他问题
（1）样本容量
被试数与自由参数的比例至少达到10:
1
（2）变竝数量
有的研究者主张每个潜在因了应该用三个或四个指标喪示。
10.2协方差结构模型
10.2.1模型的产生和发展
1、几个概念
协方差结构模型（CovarianceStructureModels,CSM）;结构方程模^（StructuralEquationModeling,SEM）;
协方差结构分析（theanalysisofcovariancestructure）;线性结构分析（thelinearstructuralrelationsmodels）;
矩结构模型（themomentsstructuremodels）;
结构化线性模型屮的潜变量方程系统（Latentvariable
equationsystemlinearmodel）
LISREL模型
2、SEM与一般线性模型的关系
（1）SEM实际是一般线件模型（GeneralLinearModels,GLM）的扩展。
一般线性模型包扌乩路径分析、典型相关、因素分析、判别分析、多元方差分析以及多元回归分析。
它们都是协方差结构方程模型的特例，许多模型均可用SEM来处理和评价；
（2）SEM是路径分析和因素分析的有机结合，它比传统的冋归分析有更突出的优点。
传统的冋归分析的方法不考虑口变量之间的测量误差，会导致高佔简单模型变量的真正变界量和低估相关系数。
测量误差越大，川传统的回归方法导致的错误越大。
3、结构方程的优点
（1）可处理多个因变量；
（2）允许口变量和因变量含有测量误差；
（3）容许潜在变量由多个外源指标变量组成，并可同时估计指标变量的信度和效度；
（4）可采川比传统方法更有弹性的测量模型，如某一观测变量或项日在SEM内可以同时从属于两个潜在变量。
（5）可以考虑潜在变量Z间的关系，并估计整个模型是否与数据相吻合。
10.2.2数学模型的设定
Example5:
ModelA
Regressionwithunobservedvariables
Jobperformanceoffarmmanagers
Warren,WhiteandFuller（19/4）
ModelSpecification
d21
d3Ix32
Ix42
ga11
Iy11&
phi12
）\ga12
phi13
1x32
ksi,
YVo-I
be12
be21
Jy2i
1_&
051Hx5k1x53
ksi3）
1x63/
ga32
_'Iy32”一3
〔eta2
>Iy42
'i
模型中的变量：
X—外源观测变量；
Y—内源观测变量；
£一外源潜在变量；
T|—内源潜在变量；
§—外源观测变量的独立因子；
£一内源观测变量的独立因子。
外源变量一因果关系小不受其他变量影响的变量;内源变量一因果关系屮受其他变量影响的变量。
协方差结构模型由两部分组成：
2
（1）测量模型（MeasurementModel）
即验证性因素分析（ConfirmatoryFactorAnalysis）
（2）结构模型（StructuralEquationModel）
即潜变量的因果关系模型。
测量模型主要用于表示观测变量与潜变量之间的关系;而结构模型主要用來表示潜变量之间的关系。
1、测量模型:
测量模型又称验证性因素分析模型，它是在对研究问题后所了解的基础上进行的，这种了解可以是建立在理论、实验研究或是两者相结合的基础上。
模型假设为：
（1）在总体中，模型中所有的变量（观测变量、潜变量、误差）都设定其平均值为零；
（2）公共因子与误差项Z间相互独立；
（3）各独立因子之间相互独立。
模型的数学表达式为：
x=w+5
Y=Ay•"+£
观测变量的协方差矩阵与估计参数之间的关
系：
（AVCOU（〃）A；.+©&AyCOV（〃,）
IAXCOV（^;7）A；A®A丿
工是观测变量之间的方寿U协方差矩阵；
Ay,Ax分别是观测变量f和X的因子负荷矩阵；
分别是两测量模型屮躍项Z间的协方差矩陈
上述方程把观测变幽、X的方差和协方差分解成负荷矩阵Ay，A*，7八f的方差和协方差以及厂和5的方差与协方差。
模型估计就是求解上皿协方差方程中的各个缴的估计值,以便使模型更好地重新W生观测变量的方差利协方差矩阵。
结构方程模型川來描述潜变暈之间的关系。
该模型的假设为：
（1）在总体中，模型所有的潜变量都是平均数为零；
（2）方程中的外源变量与误差之间的相关为零；
（3）模型中潜变量关系不存在多余的方程。
“、§分别是内源变斌和外源变彊,b、r为〃、§的系数矩阵,g为结构方程的残芳项。
①衣示外源变量之间的协方芳矩阵，屮衣示结构方程屮的残做阵。
r|=Br|+rg+C协方差方程为:
数学表达式为：
3、完整协方差结构模型
模型假定，
（1）所有变量来自均数为零的总体；
（2）没有多余的方程存在；
（3）方程中的误差项与外源变量的误差之间不相关。
数学表达式：
X=Ax£+§
Y=/\yT|+8
协方差结构方程：
‘A、（1一B）-'（r（Dr+屮）（（1一B）t）+®&Ay（l-B）-'TAJ
AxOAfx+e）
X1为高中平均成绩：
X2为高考•成绩；X3为高中教师评价；X4为学牛性别。
丫1为足否在重点院校；Y2为尚校第一年平均成绩；丫3为教师对其高校第•年表现的评价。
ks订为岛中成绩；ksi2为性别；eta1为是否重点院校；eta2为岛校第•年成绩。
上例中结构方程模型||的三个方程具体可表达力:
0\z、
（Zll十
1/21
<1
0、
/、
p、
0
y2
1
无y32.
+
1°
X、
仃
0、
0、
X2
几x2l
0
M
+
X3
几x31
0
UJ
1°
L
“21
0人〃2丿
•••
10.2.3协方差结构模型的识别:
:
:
一、自由度识别（必要条件）：
：
<
根据所定义模型的自由度与最大可能自由度之间的关系來简单判断模型是否有可能识別，这是一个必要条件。
1、最大可能自由度的概念
设模型中有p个外源观测变量，q个内源观测变量，那么模型最大可能的自由度为（p+q）（p+q+1）/2
2、自由度识别方法
在协方差方程》=工停）中包含（p+q）（p+q+1）/2个方程。
如果待估参数6的个数t人于方程的个数，则模型不可能识别。
所以,t<（p+q）（p+q+1）/2o
模型的自由度df=（p+q）（p+q+1）/2-t>0odf模型有可能识别；df<0,模型一定不能识别。
P=5,q=6,（p+q）（p+q+1）/2=11x12/2=66,
需要估计的参数：
•由内源变量指向测量变量的路径系数。
本例为11个；
•测量变量的残差。
个；
•外源变量指向内源变量的路径系数。
4个；
•潜变量之间的协方差和残差。
家庭地位与学生能力的协方差1个，同伴关系和学业成就的2个残差，两个残差之间的协方差1个，共4个。
•外源潜变量的方差，2个。
•为了使模型可以识别，对于每个潜变量，一定要对其设立一条路径系数，通常为1,这些系数当然不需要估计，本例为4个。
模型的自由度为:
df=66-11-11-4-4-2+4=38
二、两阶段判别法（充分条件）
两阶段判别法将完整的协方差结构模型分为验证性因素分析（测量部分）和潜变量因果关系模型（结构部分）两个部分，然后分别判断两部分模型是否可识别的方法。
如杲测量部分和结构部分都可识别，那么，可以断定整个协方差结构模型可以识别。
川两阶段判别法分析上例,
C:
H5^^DHk~^-.._.---—・
O羽k
o
un丄
cz>
7-/
]J为卜—.X」亦
-»|'-^X
本图是上例模型的测量部分，由丁符合两指标法则，所以可识別
上图为模型的结构部分，该模型为递归模型,所以可识别。
协方差结构模型的两部分都可识别，所以，整个模型可以识别。
10.2.4模型的估计
所谓模型估计就是求解模型中各个参数的估计值,
翳貌韶贅阵尽可能好的拟合观测变量的协华矩
1、极大似然法；
2、非加权的最小二乘估计；
3、广义最小二乘估计:
10.2.5模型的评价与修正拟合指数：
1、绝对拟合指数
（1）Z2=（n-1）F,-般希望得到不显著的沱值。
拟合优度的卡方检验受样本容量的影响，常常不能很好地判断模型的拟合度。
在样本容量很小时，儿乎接受所有的拟合劣势的模型，而在人样本容量时，儿乎拒绝所有的拟合较优的模型。
（2）、拟合优度指数（Goodness-of-fitindex,GFI）和调惜的拟合优度指数（Adjustedgoodness-of-fitindex,AGFI）•
F（s,£（o））'
0=1_（P+qXp+q+l）/2（]一gfi）
df
其中,F（S,》（◎））衣示所定义模型的拟侮数值；
F（S,£（0））表示独立模型的拟合酗值.
（3）、近似误差均方根（Rootmeansquareerrorofapproximation,RMSEA）
RMSEA=A）=max护・（dt7（n・1））0丘足总体差界函数＜
如杲:
RMSEA取值为0.05或小JO05并II.RMSEA的9吆置信区间
上限在0.08及以下，说明数据与定义的模熨拟合较好。
2、相对拟合指数
（1）木特勒与波内特正态化拟合指数（Bentler・Bonettnormedfitindex,NFI）
Nf[—Zindep龙mode/
indep
（2）Bollen的IFI指数
[F[_力ifidep龙modelindep^Anodel
（3）非正态拟合指数（Nonormalfitindex,NNFI）
pindepp2
龙indep,z.龙model
NNFI=/modc/
Xiiuiepindep
（4）木特勒比较拟合指数（Comparativefitindex,CFI）
CFJ—]—力mode/lode/
%indep—indep
（5）信息标准指数（Informationcriteriaindexes）•AkaikeInformationCriterion,AIC
AIC=c+2t
•ConsistentAkaikeInformationCriterion,CAICCAIC=c+[1+ln（n）]t
•Expectedcross-validationindex,ECVI
ECVI=c/（n-1）+2[t/（n-1）]
这些指标越小说明模型越简单并且拟合越好。
［型的修正
结构方程是用于估计潜变量之间的关系，并验证某•模型是否与研究者所得的数据吻合。
在实际中，研
究者常根据一些统计分析结杲如残差、模型修正指数,
进而放宽（free）、固定（fix）或改动模型，以便使模型更拟合数据，整个过程就是模型的修正。
儿个概念:
简约原贝ij（principleofparsimony）;等统模式（equivalentmodels）;嵌套模型（nestedmodel）
修正指数：
指一个固定参数或限定参数恢复为自由时卡方值可能减少最小的量。
10.3LISREL8.20的使用
1、LISREL模型中个变量的符号及有关的LISREL命令
希腊了母
英文表示
模型中的定义
有关程序山命令
符号
大写
小写
大写
X
外源观测变量
LA,SE,NX
Y
内源规测变量
LA,SE,NY
S
样本协方差阵
Ksi
外源潜变墩
NK,LK
H
n
Eta
内源潜变鼠
NE,LE
A
X
Lambda
潜变量対观测变量的影响
LX,LY
△
8
Delta
外源观测变量的误差
E
8
Epsilon
内源观测变量的谋羌
Z
Xeta
内源潜变量的谋差
屮
屮
Psi
内源潜变戢误差间的协方差
PS
B
p
Beta
内源潜变鼠何的影响
BE
r
7
Gamma
外源潜变址对内源潜变址的影响
GA
®
6
Theta
观测变竝谋差的协
TE,TD,TH
4>
Phi
外源潜变屋的协方产
PH
s
a
sigma
根据模些参数再生的协方墨矩阵
SI,RS
2、8个待估协方差矩阵在LISREL程序中的形式
参数矩阵
数学记号
行H列
可能的形式
默认形武
LX
A
NXxNK
ID,IZ,ZI,DI,FU
FU,FI
LY
A
NYxNE
ID,IZ,ZI,DI,FU
FU.FI
PS
屮
NExNE
ID,DI,SY,ST
SY,FR
BE
B
NENE
ZE,SD,FU
ZE,Fl
GA
r
NExNK
ID,IZ,ZI,DI,FU
FU,FR
TE
NYxNY
ZE,DI,SY
DI,FR
TD
©3
NXxNX
ZE,DI,SY
DI,FR
PH
（I）
NKxNK
ID,DI,SY,ST
SY,FR
说明：
ZE—零矩阵；ID—单位阵；IZ—单位和零矩阵;
ZI—零和单位阵，DI—对角阵；SY—对称矩阵。
3、LISREL模理中的三类参数：
I古1定参数一一规定了数值的参数（通常取值为0或1）
约束参数一一等于其他未知参数的的参数，多一个约朿参数就减少了一个待估参数；
H山参数一一其值未加任何限制的参数，是要估计的未知参数。
解决模型识别的常川方法：
•固定方差一将潜变量标准化，令其方差为零；
•固定负荷一将各潜变量的一个观测变量的负荷设定为［。
4、路径图：
：
：
•
绘制路径图的规则：
（1）观测变量x和y耍画在方框里；
（2）潜变量g和耳要画在圆圈里;
（3）误差项&、6、©不画在圆圈里也不画在方框里；
（4）单向箭头表示一个变量对另一个变量的直接影响，要画成直线；
（5）双向箭头表示相关关系而不是因果关系，要画成曲线；
潜变量g是作为原因变量，所以，没有箭头指向它们，H是结果变量，所有指向T1的箭头都來自11、g,或结构方程的误差S路径图中的各个系数都有两个下标，第一个下标代表的是箭头终点变量的标号，第二个下标表示的是箭头起点变量的标号。
5、川PRELIS准备数据文件
例1
TITLE:
covariancematrixpreparedforconfirmatoryfactoranalysis
DANl=6NO=73
LA
Visperccubslozengesparagraphsenteneewordmean
RAFl=d:
\lisrel8\data.dat
COALL
OUMA=CMCM=d:
\lisrel8\data.cm
6、创建LISREL命令文件
Lisrel命令文件包扌舌三部分：
数据输入：
由DA定义
模型构建：
由MO定义
结果输出：
由OU定义
例2
LISRELMODELEXAMPLE1=======（FILENAME:
STUDENT.LS8）
DANl=7N0=1000MA=CM
CMFI=D:
\STUDENT\STUDENT.CM
LA
X1X2X3X4Y2Y3Y1
SE
Y1Y2Y3X1X2X3X4
MONY=3NE=2NX=4NK=2LY=FILX=FIBE=SD,FI
FRLY32
FRLX21LX31
FRBE21
VA1.0LY11LY22
VA1.0LX11LX42
FlTE11
FlTD44
LK
•HIGH_SCHSUC*GENDER
LE
•KEYUNIV*WLLACHr
PATHDIAG
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