数学建模生产规划问题.docx
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数学建模生产规划问题
一、问题的重述
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。
原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
其中，各种产品的百分比以与去年销售量和价格分别见表（表1、表2）
表一
产品\成分
脂肪
奶粉
水
牛奶
4
9
87
奶油
80
2
18
奶酪1
35
30
35
奶酪2
25
40
35
表二
产品
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
消费（千吨）
4820
320
210
70
价格（元/吨）
297
720
1050
815
1、价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：
E=需求降低百分数/价格提高百分数；
各种产品的E值，可以据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
2、两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB其定义为：
EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数。
3、已知四种产品的E值分别为：
0.4，2.7，1.1，0.4以与EAB=0.1，EBA=0.4
二、模型假设
2．1假设工厂的生产能力、生产设备与各种产品的百分比在某段时间内不会发生变化。
2．2假设价格的变化会影响消费要求，价格的伸缩性E=需求降低百分比／价格提高百分比。
2．3对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代，表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性定义EAB=A需求提高百分／B价格提高百分比。
2.4水这种原料可以无限制提供
2．5工厂生产的产品全部销售完。
四、模型建立与求解
问题一
4．1-1建立目标函数
通过综合分析，本题影响工厂的销售总收入有两个因素：
一个是价格；另一个是销售量。
要使销售总收入最大，只要价格和销售量的乘积最大即可：
即是
其中：
：
第i种产品的销售量（千吨）；
：
第f种产品的价格（元／吨）。
4．1-2建立产品价格的优化模型
由题意知道，四种产品均由三种原料配制而成，而且原料一、原料二分别为60、70万吨，原料三可以无限制提供，所以用于生产各种产品的第j种原料之和应该小于等于这种原料。
即：
其中原料变量
：
第j种原料的总量（万吨）；
第i种产品j种原料的占有率（百分比）。
根据假设2．2，价格的变化会影响消费需求，因此引入伸缩性E，表现这一规律的价格的伸缩性E：
等于需求降低百分比除以价格提高百分比。
因此对于第i种产品的销售量有以下关系：
其中：
第i种产品的价格伸缩性；
：
第种i产品去年的销售量（千吨）；
：
第中i产品去年的销售价格（元／吨）。
对于产品三和产品四的销售量，除了受到自身的价格影响，还要受到除自身外另外一种产品（产品三、产品四）的影响。
下面分别采用控制变量法对产品三和产品四进行分析。
对产品三，由（3）式得：
然后，控制产品三自身的价格，分析产品四的价格对产品三的销售总量的影响。
根据假设2．3，市场对产品三和产品四的需求，随着他们价格相对变化，在某种程度上可以相互替代，这一规律用需求关于价格的交叉伸缩性定义：
价格的交叉伸缩性E等于需求提高百分比除以需求提高百分比，产品三销售量与产品四的价格关系如下：
其中，
第3种产品对第4种产品的交叉伸缩性；
表示产品三在它自身价格影响下的销售量；
表示产品三在产品四的价格的影响下的销售量。
结合（4）式、（5）式，得到产品三的销售总量和产品三的价格与产品四的价格的关系为：
同理可得产品四的销售总量和产品三的价格与产品四的价格的关系为：
综上所述，为使其销售总收入最大，建立工厂产品定价的最优化模型如下：
目标函数：
约束条件：
4.1-3模型求解的实现
在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：
表三
从而可以得出，当牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的定价分别为524.2657元/吨、583.6468元/吨、1223.093元/吨、1950.675元/吨时，其所导致的需求分别为3344686吨、483623.8吨、201182.3吨、35598.75吨。
此时达到最大销售总收入：
2351275885元。
问题二：
若单个产品价格不能高于去年该种产品的价格，并且新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加有下列四种情况：
1、
则原来的模型变为：
约束条件分别为：
在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：
表四
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格（元/吨）
297
643.2171
1249.158
1969.634
销量（吨）
412139.5
195936.6
35642.45
销售收入（元）
1431540000
265095174
244755771.4
70202581.36
销售总收入（元）
2011593527
经济代价数量表示（元）
201159885=-339682358
即是，当牛奶价格指标受到限制时，销售总收入降为2011593527元，经济代价数量为：
-339682358元，即销售总收入减少了339682358元。
2、
则原来的模型变为：
约束条件分别为：
在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以实现上述目标函数在给定约束条件下的求解过程，将表一、表二的数据代入模型可以求得以下结果：
表五
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格（元/吨）
519.75
720
1183.577
1921.932
销量（吨）
320000
209135.3
35532.49
销售收入（元）
1753636500
230400000
247527731
68291029.57
销售总收入（元）
2299855261
经济代价数量表示（元）
229985885=-51420624
即是，当奶油价格指标受到限制时，销售总收入降为2299855261元，经济代价数量为：
-51420624元，即销售总收入减少了元。
3、
同理，在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以求得以下结果：
表六
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格（元/吨）
524.8662
595.6578
1050
815
销量（吨）
469210.6
210000
70000
销售收入（元）
1753466703
279488953.7
220500000
销售总收入（元）
2310505656
经济代价数量表示（元）
231050885=-40770229
即是，当奶酪1价格指标受到限制时，销售总收入降为2310505656元，经济代价数量为：
-40770229元，即销售总收入减少了元。
4、
同理，在LINGO这一线性规划软件的支持下，可以求得以下结果：
表六
牛奶
奶油
奶酪1
奶酪2
价格（元/吨）
524.8662
595.6578
1050
815
销量（吨）
469210.6
210000
70000
销售收入（元）
1753466703
279488953.7
220500000
销售总收入（元）
2310505656
经济代价数量表示（元）
231050885=-40770229
即是，当奶酪2价格指标受到限制时，销售总收入降为2310505656元，经济代价数量为：
-40770229元，即销售总收入减少了元。
将上述4个结果整理汇总成表格，如下：
牛奶价格指标限制
奶油价格指标限制
奶酪1价格指标限制
奶酪2价格指标限制
限制下的销售总收入（元）
2011593527
2299855261
2310506000
2310505656
经济代价数量表示（元）
339682358
图形表示如下:
图一（销售总收入在各个产品价格限制下与无限制情况下的对比）
图二（经济代价在各种产品政策限制下的数量表示）
由上可知，当牛奶价格指标受到限制时，产生的经济代价最大，而其他产品价格指标的限制影响较小。
五、模型的推广与评价
5．1模型的评价
1、本模型准确地得出了奶产品的定价模型，采用了成熟的方法—线性规划，这个方法久经考验，可靠性高。
2、模型中的数据都是运用了往年的数据统计，真实可靠。
利用LINGO软件准确地求解出最大销售收入以与最优定价。
3、模型与实际紧密联系，符合价格的变化规律，本文最后还对模型进行了推广，使得模型更贴近实际，通用性强。
4、“需求的价格伸缩性”和“价格的交叉伸缩性”是用数理统计方法求出的，会存在一定程度的误差。
5．2模型的推广
对文中的变量以与约束条件可以扩大，例如：
当有n种产品以与有m种原料约束条件等，通过所建立的模型就能够很好的解决。
本文建模的方法和思想对其他类似的问题也很实用，除了奶产品定价方面实用性强外，还可以推广到多个领域的产品定价中去。
附录
问题一LINGO程序代码输入
max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;
s1=4820000*（1-0.4*（p1-297）/297）;
s2=320000*（1-2.7*（p2-720）/720）;
s3=210000*（1-1.1*（p3-1050）/1050+0.1*（p4-815）/815）;
s4=70000*（1-0.4*（p4-815）/815+0.4*（p3-1050）/1050）;
4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000;
9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;
问题一LINGO运算结果输出
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2351276E+10
Totalsolveriterations:
29
VariableValueReducedCost
S13344686.0.000000
P1524.26570.000000
S2483623.80.000000
P2583.64680.000000
S3201182.30.000000
P31223.0930.000000
S435598.750.000000
P41950.6750.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.2351276E+101.000000
20.000000515.2343
30.000000403.0198
40.0000001144.069
50.0000001894.229
6-0.3492460E-082.257837
问题二牛奶价格指标限制下的LINGO软件程序输入：
max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;
s1=4820000*（1-0.4*（p1-297）/297）;
s2=320000*（1-2.7*（p2-720）/720）;
s3=210000*（1-1.1*（p3-1050）/1050+0.1*（p4-815）/815）;
s4=70000*（1-0.4*（p4-815）/815+0.4*（p3-1050）/1050）;
4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000;
9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;
p1<297;
p1*s1<1431540000;
问题二牛奶价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2011593E+10
Totalsolveriterations:
18
VariableValueReducedCost
S14820000.0.000000
P1297.00000.000000
S2412139.50.000000
P2643.21710.000000
S3195936.60.000000
P31249.1580.000000
S435642.450.000000
P41969.6340.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.2011593E+101.000000
20.000000-24.98063
30.000000343.4496
40.0000001118.010
50.0000001875.957
60.0000003.747094
70.1849193E+080.000000
80.0000000.000000
90.0000001.033644
问题二奶油价格指标限制下的LINGO软件程序输入：
max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;
s1=4820000*（1-0.4*（p1-297）/297）;
s2=320000*（1-2.7*（p2-720）/720）;
s3=210000*（1-1.1*（p3-1050）/1050+0.1*（p4-815）/815）;
s4=70000*（1-0.4*（p4-815）/815+0.4*（p3-1050）/1050）;
4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000;
9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;
p2<720;
P2*s2<230400000;
问题二奶油价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2299855E+10
Totalsolveriterations:
33
VariableValueReducedCost
S13374000.0.000000
P1519.75000.000000
S2320000.00.000000
P2720.00000.000000
S3209135.30.000000
P31183.5770.000000
S435532.490.000000
P41921.9320.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.2299855E+101.000000
20.000000519.7500
30.0000000.000000
40.0000001183.577
50.0000001921.932
60.1269595E+080.000000
70.3129864E+080.000000
80.0000000.000000
问题二奶酪1价格指标限制下的LINGO软件程序输入：
max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;
s1=4820000*（1-0.4*（p1-297）/297）;
s2=320000*（1-2.7*（p2-720）/720）;
s3=210000*（1-1.1*（p3-1050）/1050+0.1*（p4-815）/815）;
s4=70000*（1-0.4*（p4-815）/815+0.4*（p3-1050）/1050）;
4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000;
9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;
p3<1050;
p3*s3<220500000;
问题二奶酪1价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2310506E+10
Totalsolveriterations:
30
VariableValueReducedCost
S13340788.0.000000
P1524.86620.000000
S2469210.60.000000
P2595.65780.000000
S3210000.00.000000
P31050.0000.000000
S470000.000.000000
P4815.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.2310506E+101.000000
20.000000514.6338
30.000000391.0088
40.000000-1715.270
50.000000751.0472
60.0000002.558112
70.2989449E+080.000000
80.00000072240.12
90.0000002.548320
问题二奶酪2价格指标限制下的LINGO软件程序输入：
max=s1*p1+s2*p2+s3*p3+s4*p4;
s1=4820000*（1-0.4*（p1-297）/297）;
s2=320000*（1-2.7*（p2-720）/720）;
s3=210000*（1-1.1*（p3-1050）/1050+0.1*（p4-815）/815）;
s4=70000*（1-0.4*（p4-815）/815+0.4*（p3-1050）/1050）;
4*s1+80*s2+35*s3+25*s4<60000000;
9*s1+2*s2+30*s3+40*s4<70000000;
p4<815;
p4*s4<57050000;
问题二奶酪2价格指标限制下的LINGO软件运算结果输出：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.2310506E+10
Totalsolveriterations:
21
VariableValueReducedCost
S13340788.0.000000
P1524.86620.000000
S2469210.60.000000
P2595.65780.000000
S3210000.00.000000
P31050.0000.000000
S470000.000.000000
P4815.00000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.2310506E+101.000000
20.000000514.6338
30.000000391.0088
40.000000960.4661
50.00000048.84513
60.2793968E-082.558112
70.2989449E+080.000000
80.00000032758.26
90.0000000.8615976
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