小学阶段奥数知识点总结33大类.docx

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小学阶段奥数知识点总结33大类

小学阶段奥数知识点总结（共计33大类）

一、年龄问题的三大特征

2、归一问题特点

3、植树问题总结

4、鸡兔同笼问题

5、盈亏问题

6、牛吃草问题

7、平均数问题

8、周期循环数

9、抽屉原理

10、定义新运算

11、数列求和

12、二进制及其应用

13、加法原理

14、质数与合数

15、约数与倍数

16、数的整除

17、余数及其应用

18、余数问题

19、分数与百分数的应用

20、分数大小的比较

21、完全平方数

22、比和比例

23、综合行程问题

24、工程问题

25、逻辑推理问题

26、几何面积

27、时钟问题—快慢表问题

28、时钟问题—钟面追及

29、浓度与配比

30、经济问题

31、简单方程

32、不定方程

33、循环小数

1、年龄问题的三大特征

年龄问题：

已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。

年龄问题的三个基本特征：

　　①两个人的年龄差是不变的；

　　②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；

　　③两个人的年龄的倍数是发生变化的；

　　解题规律：

抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。

　　例：

父亲今年54岁，儿子今年18岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍？

　　⑴父子年龄的差是多少？

　　54–18=36（岁）

　　⑵几年前父亲年龄比儿子年龄大几倍？

　　7-1=6

　　⑶几年前儿子多少岁？

　　36÷6=6（岁）

　　⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？

　　18–6=12（年）

　　答：

12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。

2、归一问题特点

归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

　　关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

　　复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

例1一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？

（损耗忽略不计）

　　分析：

以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

　　1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

　　95000÷475＝200（根）。

解：

95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：

可以制造200根钢轨。

例2王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　分析：

以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

　　630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　18×8×15＝2160（千克）。

解：

（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：

可产牛奶2160千克。

例3三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：

以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

　　2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

　　25600÷320÷8=10（时）。

　　综合列式为

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。

例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：

需要增加同样的卡车多少辆？

分析与解：

以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

　　336÷4÷7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

　　420÷12÷5＝7（辆）。

　　（3）需要增加多少辆卡车？

　　7-4＝3（辆）。

　　综合列式为

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。

所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

　　分析：

（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

　　15×8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

　　120÷12＝10（时）。

解：

15×8÷12＝10（时）。

答：

12人需10时完成。

例6一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

　　分析：

从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

　　60×5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

　　300÷4＝75（千米）。

　　（3）每小时多行多少千米？

　　75－60＝15（千米）。

解：

（60×5）÷4——60＝15（千米）。

　答：

每小时需要多行15千米。

例7修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

　　分析：

（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

　　60×80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

　　4800-60×20=3600（劳动日）。

　　（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

　　3600÷（60＋30）=40（天）。

解：

（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

　　答：

再用40天可以完成。

三、植树问题总结

植树问题

　　基本类型：

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

　　封闭曲线上植树

　　基本公式：

　　棵数=段数＋1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数－1

　　棵距×段数=总长

　　棵数=段数

　　棵距×段数=总长

　　关键问题：

　　确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

1.红领巾公园一条长200米的甬道两端各有一株桃树,现在两棵桃树之间等距离栽种了39株月季花,每两株月季花相隔米.

此题与题4类型相同,所求不同.已知全长200米,棵数39株,求间隔长.列式是:

200÷（39+1）=200÷40=5（米）

答:

每两棵月季花相隔5米.

2.学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备面彩旗?

此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:

棵数=全长÷间隔长

全长=间隔长×棵数

间隔长=全长÷棵数

只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树.列式是:

100÷10=10（面）

答:

还需准备10面彩旗.

3.在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插

面彩旗?

此题也属于植树问题中植树线路不封闭的,并要求植树线路的两端都要植树.与题1类似,但又要求在线路的两旁,而不再是一侧.

解法一:

50÷5+1=10+1=11（面）…先求出一侧的,再求两旁.11×2=22（面）

答:

一共要插22面彩旗.

解法二:

把线路两旁转化成一侧.50×2=100（米）,100÷5+1=20+1=21（面）.在转化成一侧时,有两棵重叠了,所以还需加1.21+1=22（面）

答:

一共要插22面彩旗.

4.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长米?

此题与题7类型相同,所求不同.已知间隔长12米,棵数是25棵,求全长.

列式是:

12×25=300（米）

答:

这条甬路长300米.

5.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距米.

此题与题8类型相同,所求不同.

解法一:

82棵是甬道两旁的,先求出一旁栽的棵数.82÷2=41（棵）,再求间隔长.200÷（41-1）=200÷40=5（米）

答:

每两棵美人蕉相距5米.

解法二:

可以把两旁转成一侧.200×2=400（米）,转化成一侧后两棵美人蕉重叠,所以共植82-1=81（棵）,再求间隔长,400÷（81-1）=400÷80=5（米）

答:

每两棵美人蕉相距5米.

6.有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来棵杨树苗?

此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种,并要求植树线路的两端都要植树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是:

棵数=全长÷间隔长+1

全长=间隔长×（棵数-1）

间隔长=全长÷（棵数-1）

只要知道其中两个,就可求出第三个量.1250是全长,25是间隔长求棵数,列式是:

1250÷25+1=50+1=51（棵）.

答:

需运来51棵树苗.

7.在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15米坚一根电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长米.

此题与题1类型相同,所求不同.15是间隔长,86是棵数,求全长.列式是:

15×（86-1）=15×85=1275（米）

答:

这条绿荫大道全长1275米.

8.红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距米.

已知全长800米,棵数是41个,求间隔长.

列式是:

800÷（41-1）=800÷40=20（米）

答:

每两个垃圾桶相距20米.

9.在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线杆根.

此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的两端都不植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:

棵数=全长÷间隔长-1

全长=间隔长×（棵数+1）

间隔长=全长÷（棵数+1）

只要知道其中两个,就可以求出第三个量.2500米是全长,50米是间隔长,求棵数.列式是:

2500÷50-1=50-1=49（根）

答:

共需电线杆是49根.

10.在一条公路上每隔16米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆54根,这条公路全长米.

此题与题4类型相同,所求不同.已知间隔长16米,又知棵数54根,求全长.列式是:

16×（54+1）=16×55=880（米）

答:

这条公路全长880米.

11.一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?

此题类型与题11相同,所求不同.已知全长200米,棵数25棵,求间隔长.列式是:

200÷25=8（米）

答:

隔8米种一棵才能都种上.

12.明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:

湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?

由顺口溜可知,植树线路是封闭的,所以棵数与间隔数相等.共栽桃树杏树3000÷6=500（棵）.由于“一株杏树一株桃”,所以桃、杏的棵数相等,都是500÷2=250（棵）.

答:

桃树、杏树各250棵.

13.一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?

此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.所以全长、间隔长、棵数三量之间的关系是:

棵数=全长÷间隔长

全长=间隔长×棵数

间隔长=全长÷棵数

只要知道其中两个,就能求出第三个量.已知全长300米,间隔长5米,求棵数.列式是:

300÷5=60（株）

答:

需要树苗60株.

14.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

此题与题11类型相同,所求不同.已知间隔长2米,又知棵数40棵,求全长.列式是:

2×40=80（米）

答:

水池的周长是80米.

四、鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　基本公式：

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）

　　关键问题：

找出总量的差与单位量的差。

例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：

小梅家的鸡与兔各有多少只？

　　分析：

假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：

有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），

　　有鸡16-6＝10（只）。

　　答：

有6只兔，10只鸡。

　　当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

　　有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），

　　有兔16——10＝6（只）。

　　由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

1、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

问：

大、小和尚各有多少人？

分析与解：

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

　　假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

　　100－80＝20（人）。

　　同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问：

两种文化用品各买了多少套？

分析与解：

我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。

这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

　　假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

　　买普通文化用品24÷8=3（套），

　　买彩色文化用品16－3＝13（套）。

例2鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只？

　　分析：

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

解：

有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），

　　有鸡100——30=70（只）。

　　答：

有鸡70只，兔30只。

1、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

问：

大、小瓶各有多少个？

　　分析：

本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。

解：

小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），

　　大瓶有50-30＝20（个）。

答：

有大瓶20个，小瓶30个。

2、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

　　分析：

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

　　利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

解：

4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

　　答：

这批钢材有720吨。

例3乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。

问：

搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。

实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。

因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：

（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

　　答：

共打破3只花瓶。

1、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

分析与解：

利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

　　12×（2＋3）＝60（下）。

　　可求出小乐每分钟跳

　　（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），

　　小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

　　780——270×2＝240（下）。

五、盈亏问题

盈亏问题

　　基本概念：

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于

　　分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

　　基本思路：

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足；

　　基本公式：

总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差

　　②当两次都有余数；

　　基本公式：

总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差

　　③当两次都不足；

　　基本公式：

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

　　关键问题：

确定对象总量和总的组数。

（1）幼儿园老师给每个小朋友分饼干，每个小朋友5块饼干，就多22快；每个小朋友分7 块饼干，就少18块。

问：

有几个小朋友和多少块饼干？

本类题是两次分配方案中一盈一亏的盈亏问题,解题的基本方法是:

份数=（盈+亏）÷两次分配差； 

由题意可知:

小朋友的人数和饼干的块数是不变的,按第一种方案,分配多22块,而按第二种方案分配就少18块,两种子选手不同的方案的结果相差22+18=40（块）,为什么会多分出40块呢?

是因为两种方案,每人相差7-5=2（块）,每人相差2块,多少人相差40块呢?

40÷2=20（人）就是小朋友的人数.再根据关系式

（2）可以求出饼干的总数量. 

解:

（ 22+18） ÷（7-5）=20（人）      20×5+22=122（块）或20×7-18=122（块）

（2）四

（1）班同学植树，每人植12棵，刚好植完，每人植14棵差8棵。

有多少个同学？

多少棵树苗？

8÷（14-12）=4（人）12×4=48（棵）

（3）雷锋小组为学校搬砖。

如果每人搬18块，还剩2块；如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。

问共有多少块砖？

（20+2）÷（20-18）=11（11-1）*20=200

（二）两次都有余（盈），可用公式：

 （大盈-小盈）÷（两次分配数的差）=份数。

（4）四

（1）班将一批练习本奖给三好学生。

如果每人奖5本，则缺9本，如果每人奖3本， 则缺1本。

这个班有三好学生多少人？

练习本有多少本？

  本类题是两次分配分配中都亏的盈亏问题,解题的基本方法是:

份数=（大亏-小亏）÷两次分配差； 

由题意可知,三好学生人数和练习本数是不变的.比较两种分配方案,结果相差 9-1=8（本）,这是因为两次分配方案每人得到的练习本相差5-3=2（本）.所以三好学生人数为:

8÷2=4（人）,练习本有:

5×4-9=11（本）解:

（9-1） ÷（5-3）= 8÷2=4（人）         5×4-9=11（本）或3×4-9=1=11（本）

（三）两次都不够（亏），可用公式：

  （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。

（5）某班为男生分配宿舍，如果每间住6人，则多8人；如果每间住8人，恰好合适。

问：

有几间宿舍，男生有几人？

 本类题是两次分配方案中一种盈,一种正好分完的盈亏问题,解题的基本方法是份数=盈÷两次分配差；  

 由题意可知:

宿舍的间数和男生人数不变.按第一种分配方案分配多出8人,而按第二种分配方案的结果相差8人,每间房增加的人数为8-6=2（人）.因此,可以先求出房间数,再求出男生人数. 

解:

8÷（8-6）=8÷4=2（人）               6×4+8=32（人）或8×4=32（人）

（6）兄弟两人每月收入之比为4：

3，支出钱数之比为18：

13，他们每月都结余

元，求兄弟两人月收入分别为多少？

分析与解：

设兄弟两人支出钱数分别为

兄弟两人月收入分别为3600元、2700元。

（7）某工厂生产一种产品，只要成本下降

，利润率就会提高8个百分点，求原利润率。

分析与解：

前后售价没变，设一开始利润率为x，则之后利润率变成,原成本100元，现成本93.6元。

原利润率为百分之十七。

六、牛吃草问题

牛吃草问题

　　基本思路：

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

　　基本特点：

原草量和新草生长速度是不变的；

　　关键问题：

确定两个不变的量。

　　基本公式：

　　生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

　　总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量

1、牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

可供25头牛吃几天？

草速：

（10×20－15×10）