中考数学圆的综合练习试题.docx
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圆综解题技巧
中考解读:
圆的综合是中考数学必考题,一般在第24或25题,分值5分
圆综一般有两小题
Ⅰ.第一小题占2分,一般需要证明切线或角的关系和线段关系
一般需要导角证明,求证相切的关系其实是导90°角,求证平行关系其实也是通过导角的关系来判定平行,这类问题通常都要用到圆的常见辅助线来解决;
Ⅱ.第二小题占3分,一般考查求线段的长度
主要应用圆的基本性质,同时结合相似、勾股定理以及锐角三角函数等知识。
这一问是考生容易丢分的,是此题的难点,需要掌握核心方法和技巧。
2012-2016年北京中考圆综合知识点考查对比
2012
2013
2014
2015
2016
第一问
切线的证明
证角等
证线段等
证明等边
证明平行
第二问
求线段长
求线段长
求线段长
求线段长
求面积
解决圆综问题常用到的定理:
(1)弧、弦、圆心角定理
弧、弦、圆心角定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论1:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.
推论2:
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
(2)圆周角定理
圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
推论2:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
(3)垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(4)切线定理
切线的判定定理:
经过半径的外端,且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
(5)切线长定理
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
(6)圆的内接四边形:
圆内接四边形性质:
圆内接四边形对角互补.
推论:
圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角。
要想熟练解决几何问题,一定要形成一种做辅助线和解题的条件反射,看到题中的某个条件、某个图形或是某种问法脑海中就会即刻呈现出可能的辅助线。
这种条件反射像是饿了想吃饭,渴了想喝水一样。
(1)见到条件给出圆周角或者圆心角的度数或等量关系→找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角。
(2)见到直径→找直径所对的圆周角
(3)见到切线尤其是要证明相切关系→连过切点的半径
(4)若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时,一般连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出结果。
(5)圆心是直径的中点,考虑中位线
(6)同圆的半径相同,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质,圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理
(7)角平分线,平行,等腰→知二得一
还有很多要形成条件反射的内容,例如出现平行线要怎么办等等,平时要多注意积累
像这些需要形成条件反射的辅助线,我们称之为必连线,即使题中可能用不到,在做题过程中也要先连起来。
圆综的解题步骤:
第一问一般需要证明切线或角的关系和线段关系
它们有一个共同的特点:
通过导角来证明。
证切线→导直角;证角的关系等→导角;证线段相等→一般导等腰(有时需要全等);证线段平行→导角。
第二问一般需要求边,一种是求边的比例,另一种是求边的长度
※求边的比例大多数情况会用相似三角形来解决
※求边的长度则分3个步骤:
(1)把所求的边放到直角三角形中,利用勾股定理或者三角函数解决
(2)把所求的边放到合适的三角形中,利用相似三角形来解决
利用勾股定理,相似三角形或者锐角三角函数时,通常需要设未知数,然后列方程求解
(3)若发现
(1)和
(2)行不通,则可以考虑等量代换或者求线段的和差,再回到
(1)或
(2)解决
圆中有非常多的直角三角形,所以相似一般是直角三角形的相似,包括:
平行相似,错位相似,射影相似,共角相似,八字相似等
典题讲解:
1:
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E,连结DE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证:
∠BDF=∠F;
(2)如果CF=1,sinA=,求⊙O的半径.
(2014北京丰台一模)
解题思路:
1:
遇到相切:
连半径得垂直;
2:
遇到直径:
联想所对圆周角为90°;
3:
三角函数:
直角三角形、相似;
解:
(1)证明:
连接OE,[来#%源:
中国教育^&出版网@]
∵AC与圆O相切,
∴OE⊥AC,[来源:
*&^中…………………1分
∵BC⊥AC,
∴OE∥BC,
∴∠1=∠F
又∵OE=OD,∴∠1=∠2∴∠BDF=∠F;……………2分
(2)解:
设BC=3x,根据题意得:
AB=5x,
又∵CF=1,∴BF=3x+1,[ww~w.zzs%#t@ep.^com]
由
(1)得:
∠BDF=∠F,∴BD=BF,
∴BD=3x+1,
∴OE=OB=,…………………3分
AO=AB﹣OB=5x﹣=,
∵sinA=,∴=,即=,………………4分
解得:
x=,则O的半径为=.……………5分
2:
如图,CA、CB为⊙O的切线,切点分别为A、B.延长直径AD与CB的延长线交于点E.AB、CO交于点M,连接OB.
(1)求证:
∠ABO=∠ACB;
(2)若sin∠EAB=,CB=12,求⊙O的半径及的值.
(2014朝阳一模)
解题思路:
1、题中过一个点有两条切线,可联想:
1)切线长定理:
切线长相等,角平分线;
2)垂直:
连接圆心和切点,垂直于切线;
3)圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如:
OCAB且OC平分AB
2、三角函数
1)构造直角三角形或通过导角,转换为直角三角形的三角函数问题;
2)利用直角三角形的相似,解决问题。
解:
(1)证明:
∵CA、CB为⊙O的切线,
∴CA=CB,∠BCO=∠ACB,∴∠CBO=90°.………………1分
∴CO⊥AB.
∴∠ABO+∠CBM=∠BCO+∠CBM=90°.
∴∠ABO=∠BCO.
∴∠ABO=∠ACB.…………………2分
(2) ∵OA=OB,∴∠EAB=∠ABO.
∴∠BCO=∠EAB.
∵sin∠BCO=sin∠EAB=.…………………3分
∴=.
∵CB=12,
∴OB=4.……………………………………………4分
即⊙O的半径为4.
∴∠OBE=∠CAE=90°,∠E=∠E,
∴△OBE∽△CAE.
∴=.
∵CA=CB=12,
∴=.…………………………………………5分
3:
如图是⊙O的直径,,与⊙O分别相切于点,,交的延长线于点,交的延长线于点.
(1)求证:
;
(2)若,,求的长.
(2013年北京中考)
解题思路:
1、题中过一个点有两条切线,可联想:
1)切线长定理:
切线长相等,角平分线;
2)垂直:
连接圆心和切点,垂直于切线;
3)圆外一点和圆心连线垂直平分“切点弦”——如:
OCAB且OC平分AB
过一点有两条切线:
2、圆内相似
1)半径相等
2)三角函数——确定直角三角形的三边比例关系
解:
(1)证明:
PA,PC与⊙O分别相切于点A,C,
∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO,
∴∠PAO=90°,
∵∠AOP=∠EOD,∠PAO=∠E=90°,
∴∠APO=∠EDO,
∴∠EPD=∠EDO;
(2)解:
连接OC,
∴PA=PC=6,
∵tan∠PDA=,
∴在Rt△PAD中,AD=8,PD=10,
∴CD=4,
∵tan∠PDA=,
∴在Rt△OCD中,OC=OA=3,OD=5,
∵∠EPD=∠ODE,
∴△OED∽△DEP,
∴,
在Rt△OED中,OE2+DE2=52,
∴OE=.
4:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点,DFAC于F.
(1)求证:
DF为⊙O的切线;
(2)若,CF=9,求AE的长.
(2014海淀一模)
解题思路:
1.证切线,连半径,导90°或垂直
1)遇线段相等,得角相等,联想“三线合一”
2)遇直径,联想所对圆周角是90°
3)看到垂直,联想到平行
4)圆心是中点,三线合一出中点,利用中位线
2.求线段长
1)有锐角三角函数,找直角三角形
2)三角函数遇所求线段不在同一三角形,想勾股定理或者相似
解:
(1)连接.www.xkb1.com
∵是⊙的直径,
∴.新|课|标|第|一|网
又∵,
∴为的中点.
又∵为的中点,
∴//.
∵,
∴.
又∵为⊙的半径,
∴为⊙O的切线.…………………………………………2分
(2)∵,,
∴.
∴.…………………3分
∵,
∴.
∴.
∴………………………4分
连接.
∵是⊙的直径,
∴.
又∵,
∴//.
∴.
∴.
∴.……………………………………5分
5:
如图,AB是⊙O的直径,点E是上一点,∠DAC=∠AED.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;[来源:
学科网]
(2)若点E是的中点,连结AE交BC于点F,当BD=5,CD=4时,求DF的值.
(2014东城一模)
解题思路:
1:
证切线,导直角
1)题中出现相等的角,找相等的圆周角
2)直径所对的圆周角是90°
2:
求线段长
1)已知BD,CD,射影相似
2)利用线段和差
解:
(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=∠AED=∠CAD,∠C=∠C,
∴∠BAC=∠ADC=90°.
∴AC是⊙O的切线.………………2分
(2)可证△ADC∽△BAC.
∴.即AC2=BC×CD=36.
解得AC=6.
∵点E是的中点,
∴∠DAE=∠BAE.
∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD,
∴CA=CF=6,
∴DF=CA﹣CD=2.………………5分
6:
如图,在△ABC中,AB是圆O的直径,AC与圆O交于点.点在上,连接,,连接并延长交于点,.
(1)求证:
;
(2)若,,,求的长.
(2016西城一模)
解题思路:
1:
证线段垂直,导直角
1)看到直径,联想直径所对的圆周角是90°
2)看到相等的角,找相等的圆周角
2:
求线段长
1)有三角函数,找直角三角形
2)利用相似或勾股定理求线段长
解:
(1)连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DAB+∠1=90°,
∵∠1=∠2,∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠DAB+∠3=90°,
∴∠CFA=180°﹣(DAB+∠3)=90°,
∴CF⊥AB;
(2)连接OE,
∵∠ADB=90°,
∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°,
∵在Rt△CDB中,CD=4,CB=4,
∴DB==8,
∵∠1=∠3,
∴cos∠1=cos∠3==,
∴AB=10,
∴OA=OE=5,AD==6,
∵CD=4,∴AC=AD+CD=10,
∵CF=AC•cos∠3=8,
∴AF==6,
∴OF=AF﹣OA=1,
∴EF==2.
练习:
1:
如图,AB为⊙O直径,C、D为⊙O上不同于A、B的两点,∠ABD=2∠BAC,连接CD.过点作CE⊥DB,垂足为E,直线AB与CE相交于F点.
(1)求证:
CF为⊙O的切线;
(2)当BF=5,时,求BD的长.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
(1)求证:
;
(2)连接BD,AE交于点H,若AB=5,,求BH的长.
3.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.
(1)求证:
PB是⊙O的切线.
(2)若PB=3,DB=4,求DE的长.
4.如图1,以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,且ED⊥AC.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)如图2,若线段AB、DE的延长线交于点F,∠C=75°,CD=2﹣,求⊙O的半径和BF的长.
5:
如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,E为BC边的中点,连接DE.
(1)求证:
DE与⊙O相切.
(2)若tanC=,DE=2,求AD的长.
方法总结
(1)证切线,角的关系,线段关系
证切线→导直角;证角的关系等→导角;证线段相等→一般导等腰(有时需要全等);证线段平行→导角。
(2)求线段
勾股定理,三角函数,相似三角形,线段和差或等量代换
课后练习
1:
如图,AB,AD是⊙O的弦,AO平分.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C,连接CD,BO.延长BO交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE,DE.
(1)求证:
是⊙O的切线;
(2)若,求的长.
2:
如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O切BC于点D,连接AD.
(1)求证:
AD平分∠BAC;
(2)若⊙O的半径为5,sin∠DAC=,求BD的长.
3:
如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A、C,PC交AB的延长线于点D,交PO的延长线于点E.
(1)求证:
;
(2)如果,,求OE的长.
4:
如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,与BC交于点D,点E是弧BD的中点,连接AE交BC于点F,.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)若,BD=5,求BF的长.
5:
如图,四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连接AC,AE,∠ACD=∠BAE=45°
(1)求证:
AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=2,tan∠ADC=3,求CD的长.
6:
如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:
∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=,,求BE的长.