小学数学疑难问题研究.docx
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小学数学疑难问题研究
《小学数学疑难问题研究》
（即原《小学数学解疑》）编写方案
江苏省扬州教育学院高邮校区金成梁刘明祥
《小学数学解疑》编写构想在网上发布后，同行们提出了一些有价值的建议和具体条目。
经认真研究，该书编写方案调整如下。
（一）
将书名改为《小学数学疑难问题研究》，以突出编写书本的指导思想；研究和解决小学数学教师在分析和处理小学数学教材的过程中发现的疑难问题，以及在小学数学教学中产生的有关基础知识方面的、带有普遍性的问题。
希望有助于澄清师范生或小学教师在小学数学基础知识方面的某些困惑，解决疑难问题，防止产生误解，杜绝教学中的知识性错误，确保教学内容的科学性。
（二）
本书的内容分为若干“条目”，条目以问题的形式出现（而不是以词或词组的形式出现）。
所有的条目大致按《课程标准》规定的教学内容的几个领域编排：
A．数与代数
B．空间与图形
C．概率与统计
D．实践与综合运用
E．其它
条目的解答部分，由问题引发议论，必要时从相关概念的定义说起，进而说明它们的区别和联系。
并针对小学师生可能产生的疑问作进一步解释。
在给出问题的答案时，尽可能说明答案的理由和依据。
从而解决疑难，澄清可能产生的误解。
每一条目（每一个问题）确定1个或几个关键词。
书末附上便于读者查找的几种索引。
·按关键词的汉字笔划索引；
·按关键词的拼音字母的顺序索引；
·按小学数学教科书的年级索引等。
（三）全书要目
第一章有关“数与代数”的疑难问题
A1为什么以前规定“零不是自然数”，现在又规定“零是自然数”？
A2自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？
A3自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
A4怎样认识“小数”与“分数”的关系？
（汤雪峰）
A5为什么“0是任何一个整数的倍数”，但不是几个整数的最小公倍数?
A6为什么“0可以做乘数”，但“0不能作除数”？
（李同贤）
A7怎样证明“自然数没有最大的”？
A8怎样证明“质数没有最大的”？
A9怎样构造最小的（或最大的）一位数，两位数，三位数，…，n位数？
为什么说“0不是一位数”？
A10“十进制计数法”和“十进制记数法”有什么不同？
什么是“科学记数法”？
A11“数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？
A12数和数字的区别和联系是什么？
A13说“43”是数而不是数字对吗？
A14零是不是“偶数”？
零是不是“双数”？
A15说“自然数1不同于单位1”对吗？
任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型。
哪些物体还可以作为分数定义中的单位“1”？
A16最小的分数单位是什么？
最大的分数单位又是什么？
A17真分数有没有最小的？
真分数有没有最大的？
A18整数（分数、小数）的计数单位有哪些？
其中有没有最大的和最小的？
A19“分数单位”和“单位分数”、“最简分数”和“即约分数”有没有区别？
（李同贤）
A20“因为，所以3也是分数”对吗？
A21百分数是不是一种数？
“百分数就是分母是100的分数”对吗？
（汤雪峰）
A22说“分数可以分为真分数、假分数与带分数”对吗？
A23为什么“多位数大小的比较法则”推广到小数大小的比较后，只适用于有限小数，不适用于无限小数？
＜对吗？
A24“不知道的数叫做未知数”对吗？
A25加法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的定义有什么不同？
A26乘法在现代数学中的定义与在小学数学课本中的定义有什么不同？
A27“有余数除法是除法里面的一种”，还是“除法是有余数除法里面的一种”？
A28“比”是一种运算，还是一种关系？
球类比赛中的比分（如2∶0）是比吗？
A29不区分被乘数与乘数会导致什么后果？
A30化简比和求比值有什么区别和联系？
A31比和比例有什么区别和联系？
A32运算性质、运算定律和运算法则有什么区别和联系？
A33四则混合运算为什么要规定：
“从左到右”、“先乘除、后加减”？
A34根据什么来证明36＋88＋64=36＋64＋88？
（汤雪峰）
A35“4×7×250=4×250×7”是根据乘法交换律吗？
A36为什么由“a≠b和b≠c”推不出“a≠c”？
如果把这里的“≠”换成“＞”、“≥”、“＜”或者“≤”，推理就是正确的？
A37为什么由“a=b和b=c”可以推出“a=c”，而根据“300÷70=30÷7和30÷7=4……2”推不出“300÷70=4……2”？
A38为什么从“399÷199=2……1和3999÷1999=2……1”推不出“399÷199=3999÷1999”？
A39为什么说：
“偶数都是合数”、“质数都是奇数”都是错误的？
A40单数、双数与奇数、偶数有什么区别和连系？
A41“运算”、“计算”、“演算”有什么不同？
A42“速算”、“简算”、“验算”有什么不同？
A43“精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么？
A44“精确数”和“近似数”、“有效数字”和“可靠数字”以及“相对误差”和“绝对误差”有什么区别？
（李同贤）
A45“运算性质”、“运算定律”和“运算法则”各指什么？
A46说“假分数的分子大于分母”错在哪里？
A47x=1是不是方程？
A48在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么？
A49“自然数”和“整数”、“基数”和“序数”各有什么不同？
A50“计数”、“记数”、“数数”、“写数”、“读数”各指什么？
A51“数的命名”和“读写法则”是什么关系？
A52“十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？
A53自然数列有哪些基本性质？
A54“量”和“数”有什么区别和联系？
A55“直接计量法”和“间接计量法”有什么不同？
A56“国际单位制”和“法定计量单位”各指什么？
A57“时间”和“时刻”以及“它们的计量单位”有什么区别？
（李同贤）
A58什么是“米·千克·秒制”？
米、千克和秒各是如何定义的？
A59“整除”在小学数学中的解释和在数论中的定义有什么不同？
（汤雪峰）
A60“整除”和“除尽”有什么区别和联系？
（李同贤）
A61在定义“倍数”和“约数（因数）”时，用整除来定义和用乘法算式来定义各有什么利弊？
A62“倍”和“倍数”；“约数”和“因数”有什么区别和联系？
（李同贤）
A63为什么1既不是质数、也不是合数？
（李同贤）
第二章有关“空间与图形”的疑难问题
B1小学生直观认识图形后，在辨认形、体时作出肯定或否定的判断，需不需要他们说明理由？
B2小学生认识“三角形两边之和大于第三边”时，要不要论证？
根据这个真命题可以推出哪些命题？
B3怎样帮助学生逐步进行理想化抽象，认识直线的无限延伸性？
B4说“直线可以无限延长”、“线段不能无限延长”为什么不对？
B5形成直线的概念应该包括哪些要点？
B6定义“有两边相等的三角形叫做有等边三角形”有什么不对？
B7“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”在什么条件下不成立？
B8定义“直角的边叫直角边”、“形状相同的图形叫做相似形”犯了什么错误？
B9为什么“两腰相等的梯形叫做等腰梯形”是一个正确的定义；而“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”是错误的？
它犯了什么错误？
B10为什么小学生往往不承认“正方形是特殊的长方形”？
怎样防止小学生产生这样的误解？
B11为什么让小学生思考“长方形和正方形有什么相同点和不同点”是不妥当的”？
B12说“长方形有两条对称轴”对吗？
B13平行四边形是不是轴对称图形？
B14说“飞机、天安门、桂林山水等是轴对称图形”对吗？
B15“圆”是指圆周还是指“圆面”？
B16说“圆就是360°的扇形”对吗？
B17“球”是指球面还是指“球体”？
B18用数方格的办法求一个图形的面积，它的理论根据是什么？
B19在“空间与图形”的教学中，如何实行“直观几何、实验几何与论证几何的结合”？
B20火车车箱的运动是平移吗？
车轮的运动是旋转吗？
B21“非等腰三角形”的说法合适吗？
第三章有关“概率与统计”的疑难问题
C1“确定性现象”和“随机现象”的主要区别是什么？
C2“事件”、“必然事件”、“偶然事件”和“不可能事件”各自的意义和相互联系如何？
C3“试验”和“等可能性试验”如何定义？
（李同贤）
C4“概率”和“频率”有什么区别和联系？
（汤雪峰）
C5“频数”和“累积频数”、“频率”和“累积频率”各是指的什么？
（李同贤）
C6“平均数”、“中位数”和“众数”各表示什么？
（李同贤）
C7常见的平均数有哪几种？
“算术平均数”、“几何平均数”和“加权平均数”各指什么？
（李同贤）
C8“极差”、“方差”和“标准差”各是什么？
（李同贤）
C9“统计表”和“统计图”常用的有哪几种？
它们各有什么特点？
C10买几张奖券，是买连号的奖券中奖的可能性大、还是买号码分散的中奖的可能性大？
C11一种病的治愈率只有10%（即所谓“九死一生”）。
某医生一连接诊了9名这样的病人，都不幸去世，那么当他接诊第十名这种病人时，能否断定这位病人一定能治愈？
第四章有关“实践与综合应用”的疑难问题
D1小学数学实践活动的特征、类型和意义各如何？
（李同贤）
D2不同学段的小学数学实践活动有哪些主要区别？
（李同贤）
D3如何设计、实施和评价小学数学实践活动？
（李同贤）
D4式题、文字题、应用题和实际问题的主要区别是什么？
D5什么是数学建模？
D6实际问题是由哪几个部分组成的？
D7实际问题如何分类？
D8解答实际问题的一般步骤是什么？
D9在小学数学中，一步计算的实际问题主要涉及哪些数量关系？
怎样教学？
D10怎样从一步题的教学向两步题过渡？
D11“情境”、“实际问题”和“数学问题”是如何相互联系和相互转化的？
D12在小学数学中，解决实际问题的方法主要有哪些？
D13小学数学中的几何问题主要有哪些类型？
D14小学生能解决的经济数学问题大致有哪些？
D15什么是哈密尔顿周游世界问题？
D16什么是柯尼斯堡七桥问题？
D17什么是四色问题？
D18什么是柯克曼的女生散步问题？
D19“比多、比少问题”的数量关系如何分析？
D20从甲地到丙地有几条路可走？
第五章有关“数学”、“逻辑”与其它的疑难问题
E1“数学”是一门什么样的学科？
它有哪些基本特征？
这些特征在小学数学中是怎样体现的？
E2“数学观念”、“数学意识”和“数学精神”各指什么？
E3“数学思维”、“数学思想”和“数学方法”有什么区别和联系？
E4数学语言包括哪几方面？
怎样处理好它和自然语言（生活语言）的关系？
E5小学生的“数学能力”主要指的是哪些？
E6为什么给概念下定义时要用“…叫做…”的句型，不能用“…是…”的句型？
“是”有哪几种逻辑意义？
E7当学生举某一数学概念的生活事例不很贴切时，教师应如何处理？
E8日常词语的解释和科学术语的定义有什么不同？
E9怎样从“白马非马”、“酒鬼非鬼”到“椭圆非圆”，认识自然语言和数学语言的不同特点？
E10概念的定义需要“论证”吗？
E11下面的定义有没有错误？
有什么错误？
A．没有错误；B．定义过窄；C．定义过宽；
D．循环定义；E．比喻定义。
（1）两条射线组成的图形叫做角。
（）
（2）连接圆上任意两点且不经过圆心的线段叫做弦。
（）
（3）分子、分母是不相等的质数的分数叫做最简分数。
（）
（4）线段向两方无限延长所得的图形叫做直线，直线上两点间的部分叫做线段。
（）
（5）像门框、窗框、书本面那样的图形叫做长方形。
（）
（6）形状相同的两个图形叫做相似形。
（）
（7）两腰相等的梯形叫等腰梯形。
（）
（8）两腰相等的三角形叫等腰三角形。
（）
（9）平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（）
（10）只能被1和本身整除的自然数叫做质数。
（）
（11）无限不循环小数叫做无理数。
（）
（12）同一平面内的两条直线，不相交叫做平行，不平行叫做相交。
（）
（13）能被2除尽的自然数叫正偶数。
（）
（14）含有未知数的式子叫做方程。
（）
E12下面的划分（分类）有没有错误？
有什么错误？
A．没有错误；B．划分标准不统一；
C．子项相容；D．子项不穷尽；
E．多出子项；F．越级划分。
（1）将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和斜三角形。
（）
（2）将分数分为真分数、假分数和带分数。
（）
（3）将四边形分为平行四边形和梯形。
（）
（4）将分数分为最简分数和可约分数。
（）
（5）将梯形分为等腰梯形和直角梯形。
（）
（6）将正整数分为正奇数、正偶数、质数与合数。
（）
（7）同一平面内两条直线的位置关系分为相交、平行和垂直。
（）
（8）将有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数和零。
（）
（9）将三角形分为不等边三角形和等边三角形。
（）
（10）将三角形分为不等边三角形和等腰三角形。
（）
（11）将概念分为集合概念和非集合概念。
（）
（12）将概念分为单独概念和普遍概念。
（）
E13从某一事例的观察或实验可以作出什么判断？
E14“眼看能不能为凭”？
凭借观察和直觉能够作出言而有据的判断吗？
能作出什么样的判断？
（如判断两条直线是否垂直或平行）
E15下面的句子是不是判断？
是真判断、还是假判断？
A．不是判断；B．是真判断；C．是假判断。
（1）42÷7的商是整数。
（）
（2）42÷7的商不是整数。
（）
（3）42÷7的商是整数吗？
（）
（4）求42÷7的商。
（）
（5）这个图形是长方形吗？
（）
（6）这个图形是长方形。
（）
（7）画一个长方形。
（）
（8）等腰梯形有外接圆吗？
（）
（9）画这个等腰梯形的外接圆。
（）
（10）等边三角形不是等腰三角形。
（）
（11）13是1001和65的最大公约数。
（）
（12）求1001和65的最大公约数。
（）
（13）所有的偶数都是合数。
（）
（14）是不对的。
（）
（15）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
（）
E16下面的推理有没有错误？
有什么错误？
（1）如果一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线相等。
这个四边形的对角线相等，
所以，这个四边形的矩形。
（2）如果一个四边形是矩形，那么这个四边形的对角线相等。
这个四边形是矩形，
所以，这个四边形的对角线相等。
（3）如果多位数能被9整除，那么它也能被3整除。
这个数不能被9整除，
所以，这个数不能被3整除。
（4）如果多位数能被9整除，那么它也能被3整除。
这个数不能被3整除，
所以，这个数不能被9整除。
（5）如果四边形的对角互补，则它有外接圆。
直角梯形的对角不互补，
所以，直角梯形没有外接圆。
（6）如果习题困难，就需要用很多时间来解答它，
解这道题花费了很多时间，
所以这道题困难。
E17为什么一个假言命题和它的逆否命题同真或同假？
E18这里有一张纸，上面写了一句话：
“这张纸上写的是假话。
”现在问：
这句话竟是真话还是假话？
E19为什么从“罗素是罗马教皇”可以推出“2=1”？
如果罗至少是罗马教皇，那么罗马教皇和罗素是1个人。
因为罗素不是罗马教皇，所以罗马教皇和罗素是2个人。
因此，2=1。
E20下面的推理为什么从正确的前提推出了错误的结论？
数学题是做不完的
这道题是数学题
∴这道题是做不完的
E21下面的证明有没有错误？
有什么错误？
A．没有错误；B．偷换论题错误；C．虚假论据错误；
D．预期理由错误；E．循环论证错误；F．推不出的错误。
（1）因为，所以是有限小数。
（）
（2）根据小数大小的比较法则，0.5＜0.6。
（）
（3）因为自然数是无限的，所以质数是无限的。
（）
（4）因为1只能被1和本身整除，所以1是质数。
（）
（5）因为2是偶数，所以2不是质数。
（）
（6）因为正方形四边相等，所以正方形不是长方形。
（）
（7）因为平行四边形没有对称轴，长方形有对称轴，所以长方形不是平行四边形。
（）
（8）因为长方形可以分成两个同样的三角形，长方形的内角和是
90°×4=360°，所以三角形的内角和是360°÷2=180°。
（）
（9）因为三角形的面积可以用梯形的面积公式来计算，所以三角形是特殊的梯形。
（）
（10）因为整数可以写成分数的形式，所以整数是一种特殊的分数。
（）
E22在小学数学中如何运用“事实证明”和“逻辑证明”？
E23在小学数学教学中，如何结合使用合情推理与论证推理，以获得良好的教学效果与思维训练效果？
E24欧拉图和维恩图的区别在哪里？
E25根据概念的定义作出判断时，能作出肯定的判断、不能作出肯定的判断和能作出否定的判断这三种情况有什么不同？
E26为什么“竞赛数学”又称“奥林匹克数学”？
（简称“奥数”）
E27什么是概念的“定义”和“划分”？
E28什么是概念的“内涵”和“外延”？
E29“判断”、“命题”、“定理”、“公理”有什么不同？
E30逻辑思维的基本要求是什么？
E31逻辑思维的基本形式有哪些？
E32“非逻辑思维”通常指什么？
E33“概括”和“归纳”有什么不同？
E34数学思想方法通常指的是哪些？
E35“逻辑的方法”、“学科的方法”和“构造的方法”各是指什么？
（注：
疑难问题的条目将根据各方面的建议作进一步的充实和调整。
调整情况将及时在网上公布）
附录1按关键词的汉字笔划索引
附录2按关键词的汉语拼音的字母表顺序索引
附录3按小学数学教科书的册号索引
（四）读者和作者互动交流方式
1、读者可以向作者提出新的条目（有待研究和解决的新的疑难问题）。
2、新的条目经作者修改、整合、分类编排后，组织人员编写解答。
3、部分条目也可以用多种方式公布，向广大读者征求解答。
4、读者对某些条目的解答有不同意见，也可以另行作答。
只要论点能自圆其说，并且有一定的论据，一个条目可以有两项或两项以上的解答，同时提出两种或两种以上不同的见解，是为了让读者能独立地辨别其正确性。
使得对某些问题的研究进一步深入。
5、条目及解答，凡不是作者撰写的，均在有关的文本后标注提供的姓名。
提供的条目和解答达十条以上的不再标注姓名，而将姓名列入扉页的作者群的名单中（以姓氏笔划为序）。
建立上述互动方式的目的，是为了使本书的内容能迅速地充实，及时反映广大小学教师在教学中研究教材的实际状况，研究并解答他们在教学活动中产生的有关数学教材本身的疑难问题。
（五）工作进程
2006.06.20前，在都乐网上公布本书的编写方案（1号），初步确定的条目及编写人员名单。
约请的编写解答的人员名单在条目后标出。
未标注名单的条目由本书现有的作者群分工编写。
2006.07.31前，约定的清稿以及增补的建议稿请发至邮箱
lmx6658@刘明祥老师收。
2006.08.31定稿交出版社审定、发排。
争取2006.10.31前出书。
（六）样稿
问题A3自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？
解答：
“数”（shù）起源于数（shǔ），一个、一个地数东西，由此而出现的数
1，2，3，……
就叫做自然数。
0表示没有东西可数，0也是一个自然数。
自然数概念的产生，经过了漫长的岁月。
首先，产生的是“有”、“无”的概念。
原始人在打猎、捕鱼或采集果实时，对于猎物或果实的有、无是最为关心的。
然后，“有”的概念进一步分化为“多”和“少”。
为了比较多少而使用一一对应的方法时，必然会遇到“同样多”的物体集合（即等价集合）。
等价集合被归入一类，并且从中选出一个大家熟悉的集合来表示这类集合的共同性质。
其实质就是用具体的集合形象地表示数目的多少。
例如，用一个人的耳朵的集合作为一类等价集合的代表。
逐渐地，这类等价集合被称为“耳”。
最后，脱离具体的事物集合，用专门术语表示一类等价集合的共同性质。
于是，“耳”就演化为“二”。
自然数“二”的概念就这样产生了。
表示自然数的名词，许多都是从常见的实物演变而来的。
如藏文“二”有“翼”的意思，梵文的“五”与波斯语的“手”相近。
南美洲有些地方干脆把“五”叫做“手”，“六”叫做“手一”，“七”叫做“手二”等等。
这些事实都说明自然数的概念来源于实践。
1884年，德国数学家、逻辑学家弗莱格（F.L.G.Frege1848—1925）在他的著作《算术基础》中，最先给出了自然数的定义。
但这个成果当时少为人知。
直至1902年，英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素（B.A.W.Russell1872—1970）重新给出这个定义。
在他们作出的被后人称之为“弗莱格—罗素的自然数定义”中，将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集。
”和有限集A能建立一一对应的所有集组成的集称为“集A的基数”。
记为A。
即
A={B│B~A}
为了使自然数的这个定义通俗易懂，有些用于教师教育的《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”。
以往人教版小学数学教科书在教学“5的认识”时，首先引导小学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪，以及五根小棒、五粒算珠、五颗五角星等不同的物体集合。
然后，引导小学生寻求这些物体集合的共同点：
它们都是五个。
“五”就是这些物体集合的共同性质。
从而初步形成自然数“五”的概念。
可见，小学生对自然数的基数意义的认识，和弗莱格-罗素的自然数定义实质上是一致的。
为了建立自然数的公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺（G.Peano1858—1932）在1891年给出了关于自然数的五条公理：
①0是一个自然数。
②0不是任何其它自然数的继数。
③每一个自然数a都有一个继数。
④如果自然数a与b的继数相等，则a、b也相等。
⑤（数学归纳法公理）如果一个由自然数组成的集合S包含有0，并且当S包含某一个自然数a时，它一定也含有a的继数，那么S就包含有全体自然数。
皮亚诺的这一公理系统被称之为“皮亚诺公理”，它标志着数学分析算术化运动的终结。
参考书
[1]《中国大百科全书数学》中国大百科全书出版社1988年11月第1版，P220；321—322；461—510。
[2]《中学数学教师手册》上海教育出版社1986年5月第1版，P1—331。
[3]《逻辑与小学数学教学》金成梁著，北京师范大学出版社2001年9月第1版，P19—20。
问题B13平行四边形是不是轴对称图形？
解答：
“平行四边形”和“轴对称图形”是两个概念。
“平行四边形是轴对称图形”和“平行四边形不是轴对称图形”这两个判断的真假如何，取决于这两个几何概念之间的关系。
因为“平行四边形”与“轴对称图形”之间既不是图
（1）所表示的那样的“种属关系”，也不是图
（2）所表示的那种“不相容关系”，所以上述两个判断都是错误的。
图
（1）图
（2）图（3）
事实上，它们之间的关系是交叉关系，如图（3）所示。
因此，应该说：
有些平行四边形是轴对称图形；
有些平行四边形不是轴对称图形；
有些轴对称图形是平行四边形；
有些轴对称图形不是平行四边形。
在这里，我们可以作出的，首先是这种特称肯定判断或特称否定判断。
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