初中2年级数学 Microsoft Word 文档.docx
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第一讲有理数的巧算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．
1．括号的使用
在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．
例1计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
2．用字母表示数
我们先来计算（100+2）×（100-2）的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过
程变为（a+b）（a-b）=___________
于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________
这个公式叫¬¬¬¬___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明
过程，可直接利用该公式计算．
例3计算3001×2999的值．
练习1计算103×97×10009的值．练习2计算：
练习3计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．
练习4计算：
．
3．观察算式找规律
例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
例5计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．
例7计算：
练习一
1．计算下列各式的值：
（1）-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；
（2）11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；
（3）1991×1999-1990×2000；
（4）4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；
（6）1+4+7+…+244；
2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．
81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．
第一讲有理数的巧算答案
例1计算下式的值：
211×555+445×789+555×789+211×445．
分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第
一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．
解原式=（211×555+211×445）+（445×789+555×789）
=211×（555+445）+（445+555）×789
=211×1000+1000×789
=1000×（211+789）
=1000000．
说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．
例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．
现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
n-（n+1）-（n+2）+（n+3）=0．
这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
（1-2-3+4）+（5-6-7+8）+…+（1993-1994-1995+1996）-1997+1998=1．
所以，所求最小非负数是1．
说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．
例3计算3001×2999的值．
解3001×2999=（3000+1）（3000-1）=30002-12=8999999．
例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．
87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+（-3）+1+4+（-2）+3+1+（-1）+（-3）+2+（-4）+0+2+（-2）+0+1+（-4）+（-1）+2+5+（-2）=1800-1=1799，
平均分为90+（-1）÷20=89.95．
例5计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．
分析观察发现：
首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．
解用字母S表示所求算式，即
S=1+3+5+…+1997+1999．①
再将S各项倒过来写为
S=1999+1997+1995+…+3+1．②
将①，②两式左右分别相加，得
2S=（1+1999）+（3+1997）+…+（1997+3）+（1999+1）
=2000+2000+…+2000+2000（500个2000）
=2000×500．
从而有S=500000．
例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．
分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．
解设S=1+5+52+…+599+5100，①
所以
5S=5+52+53+…+5100+5101．②
②—①得
4S=5101-1，
例7计算：
分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式
来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．
解由于
所以
说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．
第二讲代数式
一主要知识点回顾
字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。
初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题.
1．代数式
用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.单独一个数或
一个字母也是代数式.
2.单项式、多项式
数与字母的积的代数式，单独一个数或字母也是单项式.
3．整式的意义：
单项式和多项式统称为整式
4．同类项：
多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项
5．用字母表示数解题
在某些数学问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，即用字母表示数解题，常会收到化繁为简，化难为易的效果.
6．求代数式的值：
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是
一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值
二．典型例题讲解
例1：
某市出租车收费标准如下：
3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分，每千米收费1.5元,
（1）请写出收费y（元）与出租车行驶的路程x（km）的关系式;
（2）若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元?
（3）若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?
例4:
如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．
三、专项练习
（一）选择题:
1．已知14x5y2和－31x3my2是同类项，则代数式12m－24的值是（）
（A）－3（B）－5（C）－4（D）－6
2.列去括号错误的是（）
（A）2x2－（x－3y）=2x2－x＋3y（B）x2＋（3y2－2xy）=x2－2xy＋3y2
（C）a2－4（－a＋1）=a2－4a－4（D）－（b－2a）－（－a2＋b2）=－b＋2a＋a2－b2
3.a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的相反数是的倒数，则m2－2cd＋的值为（）
（A）2（B）3（C）4（D）5
4.M厂库存钢材100吨，每月用去15吨，N厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x个月，两厂所剩钢材相等，x等于（）
（A）2（B）4（C）3（D）5
5.是有理数，则的值不能是（）
A1BC0D
6.若等于（）
ABCD
7.小明编制了一个计算程序。
当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数
的平方与1之和。
若输入，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（）
A2B3C4D5
（二）填空题：
8.（）－（x2＋3xy）=－xy－y2
9.．化简an－an－bn＋bn的结果是。
10．当a－b=－1，ab=－2时，（2a－3b－ab）－（a－2b＋3ab）=。
11.观察下列算式，你将发现其中的规律：
；；；；；……请用同一个字母表示数，将上述式子中的规律用等式表示出来：
。
（三）解答题：
12．已知A=mx²+2x-1，B=3x²-nx+3,且多项式A-B的值与m、n的取值无关，试确定m、n的值.
13.观察下列各式：
2a,4a²,6a³,8a4,…
（1）写出第n个单项式.
（2）当n=2006时，这个单项式是
14．若x:
y:
z=3:
，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？
15．当x=2时，求代数式｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
16.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：
在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的8.5折优惠.设顾客预计购物x元,（x>300）
（1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用;
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠?
说明你的理由.
（3）如果顾客在两个超市购物时都付了450元,那么商品的原价分别是多少元?
17.在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变.
那么你能挑出这样的单项式共有个。
在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是个不同的单项式之和.
四、课外作业
1.某地通讯公司开设了两种通讯业务：
“全球通”使用者每月缴纳50元月租费，然后每通话一分钟，再付话费0.35元；“快捷通”不缴纳月租费，每通话一分钟，付话费0.60元（话费均指市内通话）.
（1）若一个月内通话x分钟，则两种方式的费用y1y2分别是多少元？
这两种收费相差多少？
（2）若小王估计一个月内通话500分钟，则他选择哪种通讯业务合算？
若小李估计一个月内通话180分钟，则他这样选择通讯业务？
2．有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃.中午12点整，电子钟响铃又亮灯。
问：
下一次既响铃又亮灯是几点钟？
第3讲绝对值
（1）
一、主要知识点回顾
1．有理数：
按有理数的符号分为三类：
正有理数、负有理数和零，简称正数、负数和零
2.数轴的三要素——原点、正方向和单位长度，缺一不可．
3相反数:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数（符号相反且绝对值相等的两数）
4绝对值
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：
任何一个实数的绝对值是非负数
二、典型例题分析:
例1a，b为实数，下列各式对吗？
若不对，应附加什么条件？
（1）｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
（2）｜ab｜=｜a｜｜b｜；（3）｜a-b｜=｜b-a｜；
（4）若｜a｜=b，则a=b；5）若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；（6）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
三、专项练习
（一）填空题:
1.a＞0时，|2a|=________；
（2）当a＞1时，|a-1|=________；
2.已知，则
3.如果a>0，b<0，，则a，b，—a，—b这4个数从小到大的顺序是______________________（用大于号连接起来）
4.若，那么=______0．
5.上山的速度为a千米/时，下山的速度为b千米/时，则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时
（二）选择题:
6.值大于3且小于5的所有整数的和是（）
A.7B.－7C.0D.5
7.知字母、表示有理数，如果+=0，则下列说法正确的是（）
A.、中一定有一个是负数B.、都为0
C.与不可能相等D.与的绝对值相等
8.下列说法中不正确的是（）
A．0既不是正数,也不是负数B．0不是自然数
C．0的相反数是零D．0的绝对值是0
9.列说法中正确的是（）
A、是正数B、—a是负数C、是负数D、不是负数
10.=3，=2，且x>y，则x+y的值为（）
A、5B、1C、5或1D、—5或—1
11.<0时，化简等于（）
A、1B、—1C、0D、
12.若，则必有（）
A、a>0,b<0B、a<0,b<0C、ab>0D、
13.已知：
=3，=2，且x>y，则x+y的值为（）
A、5B、1C、5或1D、—5或—1
（三）.解答题:
14.a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
15..若+=0，求2x+y的值.
16.当b为何值时，5-有最大值，最大值是多少？
17.已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+（3a+2c）2=0.
求式子的值.
18.若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值
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