（2）所示．
由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为（1,1），（1,2），（1,3），（2,2），（2,3）．
反思感悟 目标函数的最优整数解可能不止一个，有多个，注意不要漏写．
跟踪训练1 若满足条件的整点（x，y）（整点是指横、纵坐标都是整数的点）恰有9个，则整数a的值为（ ）
A．－3B．－2C．－1D．0
答案 C
解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分（含边界）所示，
当a＝0时，只有4个整点（1,1），（0,0），（1,0），（2,0）．当a＝－1时，正好增加（－1，－1），（0，－1），（1，－1），（2，－1），（3，－1），5个整点．再加上a＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.
题型二 生活中的线性规划问题
例2 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：
产品A
产品B
搭载要求
研制成本与搭载实验费用之和（万元/件）
20
30
计划最大资金额300万元
产品质量（千克/件）
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益（万元/件）
80
60
试问：
如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
解 设搭载A产品x件，B产品y件，预计总收益为z万元，则目标函数为z＝80x＋60y.
由题意，得即
画出可行域，如图阴影部分（含边界）所示．
将z＝80x＋60y变形为y＝－x＋.
作出直线l0：
4x＋3y＝0，并将其向右上方平移，由图象可知，
当直线l0经过点M（整点）时，z能取得最大值．
由解得即M（9,4）．
所以zmax＝80×9＋60×4＝960（万元）．
即搭载9件产品A,4件产品B，可使得总预计收益最大，最大为960万元．
反思感悟
（1）从实际问题抽象出约束条件时要选择适当的决策变量作为x，y．并用x，y把约束条件准确表达出来．
（2）实际问题有时会要求整数解，但高考很少涉及．有兴趣的同学可以自行搜索相关资料．
跟踪训练2 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.
货物
体积（m3/箱）
重量（50kg/箱）
利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
答案 4,1
解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x，y，则
目标函数z＝20x＋10y，画出可行域如图阴影部分（含边界）所示．
由得A（4,1）．
易知当直线z＝20x＋10y平移经过点A时，z取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．
如何从实际问题中建立线性规划模型
从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤
1．根据影响目标的因素找到决策变量．
2．由决策变量与目标的关系确定目标函数．
3．由决策变量所受限制确定约束条件．
典例 某人准备投资1200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：
学段
班级学生人数
配备教师数
硬件建设/万元
教师年薪/万元
初中
45/班
2/班
26/班
2/人
高中
40/班
3/班
54/班
2/人
因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件．
解 设开设初中班x个，开设高中班y个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x＋y≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数应为自然数，则x∈N，y∈N.
把上面的四个不等式合在一起，得到
[素养评析] 1947年美国数学家G.B.Dantzing为线性规划奠定基础，却水花不起；1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此获1975年诺贝尔经济学奖．由此可见应用实践能力的重要．认识数学模型在科学、社会、工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学模型核心素养的培养目标之一.
1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．无数个
答案 B
解析 画出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示（含边界）．
因为直线2x＋y－10＝0过点A（5,0），且其斜率为－2，小于直线4x＋3y＝20的斜率－，所以只有一个公共点（5,0），故选B.
2．设点P（x，y），其中x，y∈N，则满足x＋y≤3的点P有（ ）
A．10个B．9个C．3个D．无数个
答案 A
解析 作出所表示的平面区域，如图中阴影部分的整点所示，
由图知，符合要求的点P有10个，故选A.
3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）
A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元
答案 B
解析 设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用为z元，
根据题意，得线性约束条件为目标函数为z＝400x＋300y，画出可行域（图略）可知，
当x＝4，y＝2时z取得最小值，zmin＝2200，故选B.
4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________．
答案 （2，＋∞）
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，
要使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x＋y－2＝0重合，所以当n>2时，目标函数的最优解有无穷多个．
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．
一、选择题
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为（ ）
A．B．2C．D．－
答案 B
解析 画出满足约束条件的平面区域，如图所示．
由题意可得A（1,0）．由图可知，当直线z＝2x＋y过A（1,0）时，z取得最大值，最大值是2.故选B.
2.如图所示，已知x，y满足的可行域为四边形OACB（含边界），若C是目标函数z＝ax－y取最小值时所对的点，则a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 ∵y＝ax－z在C点取最优解，∴目标函数z＝ax－y在点C处取得最小值．∵kAC＝－，kBC＝－，
∴－3．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z＝·的最大值为（ ）
A．3B．4C．3D．4
答案 B
解析 由线性约束条件
画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，
目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，当目标函数的图象过点（，2）时，z最大，将点（，2）代入z＝x＋y，得z的最大值为4.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案 C
解析 作出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示．
设m＝2x＋y，由图可知，当直线2x＋y＝m过点B时，m取得最小值．由得B（1,1），所以mmin＝2×1＋1＝3，则目标函数z＝2x＋y的最大值为3＝.
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工1箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工1箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间共能完成至多70箱原料的加工，且两车间耗费工时总和不得超过480小时，则使甲、乙两车间总获利最大的生产计划为（ ）
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，总获利为z元，由题意可知甲、乙两车间总获利为z＝280x＋200y，画出可行域如图中阴影部分（包括边界）内的整点所示．
点M（15,55）为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图知在点M（15,55）处z取得最大值，故选B.
6．已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y（其中a＞0）仅在点（3,0）处取得最大值，则a的取值范围是（ ）
A．a>B．a>C．00
答案 A
解析 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，
目标函数z＝ax＋y（a＞0）对应直线的斜率k2＝－a，
若符合题意，则需k1＞k2.即－＞－a，得a＞.
7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
A．36万元B．31.2万元
C．30.4万元D．24万元
答案 B
解析 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，可获得利润z万元，
则z＝0.4x＋0.6y.
可行域如图阴影部分（含边界）所示，
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
由得A（24,36），
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2（万元）．
8．不等式组表示的平面区域内整点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案 D
解析 不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
由图可知，满足条件的平面区域中的整点为（1，－1），（2，－2），（0,0），（0，－1），共有4个．
二、填空题
9．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
答案 90
解析 原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
由图可知，当直线10x＋10y－z＝0过点时z有最大值，由于x，y∈N＋，可行域内与点最接近整点为（5,4），故当x＝5，y＝4时，z取得最大值，为90.
10．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
目标函数z＝2100x＋900y.
作出可行域为图中的四边形，包括边界，
顶点为（60,100），（0,200），（0,0），（90,0），在（60,100）处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．
11.给出平面区域如图所示，其中A（5,3），B（1,1），C（1,5），若使目标函数z＝ax＋y（a>0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a＝________.
答案
解析 直线y＝－ax＋z（a>0）的斜率为－a<0，当直线y＝－ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴－a＝－，即a＝.
三、解答题
12．设x，y满足求z＝x＋y的取值范围．
解 作出约束条件表示的可行域，如图阴影部分（含边界）所示，
z＝x＋y表示直线y＝－x＋z过可行域时在y轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A点时，z有最小值．
联立解得A（2,0）．
zmin＝2，z无最大值．∴x＋y∈[2，＋∞）．
13．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t支援物资的任务．该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A型为320元，B型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？
解 设需A型、B型卡车分别为x辆和y辆．列表分析数据.
A型车
B型车
限量
车辆数
x
y
10
运物吨数
24x
30y
180
费用
320x
504y
z
由表可知x，y满足线性约束条件且目标函数z＝320x＋504y.
作出可行域，如图阴影部分（含边界）所示．
可知当直线z＝320x＋504y过A（7.5,0）时，z最小，但A（7.5,0）不是整点，继续向上平移直线z＝320x＋504y，可知点（8,0）是最优解．这时zmin＝320×8＋504×0＝2560（元），即用8辆A型车，成本费最低．
所以公司每天调出A型卡车8辆时，花费成本最低．
14．设非负实数x，y满足（2,1）是目标函数z＝ax＋3y（a>0）取最大值时的最优解，求a的取值范围．
解 作出不等式组所表示的平面区域（阴影部分含边界），
由z＝ax＋3y（a>0），得y＝－x＋，因为当直线z＝ax＋3y（a>0）过P（2,1）时，z取最大值，所以由图可知－≤－2，所以a≥6，所以a的取值范围是[6，＋∞）．
15．某人有一幢楼房，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
解 设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，
由题意可得
即
目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－x＋，
画出可行域如图阴影部分（含边界）所示．
当直线y＝－x平移到经过B点时，z取得最大值，
但B并非整点，故要进一步搜索．
利用B附近的网格，可在B附近找到A（2,9），C（2,8），D（3,8）这几个整点．
因为斜率为－，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A，C两点被排除，利用网格知（0,12），（3,8）为最优整点解．
所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．
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