自动控制期末章节复习docx.docx
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第一章自动控制的一般概念
§1-1内容提要和基本要求
1.1.1基本概念
1基本术语
（1）自动控制：
即在不需要人直接参与的条件下，依靠控制器使受控对象按预定技术要求进行工作，使被控量等于输入量（或使被控量与输入量保持某种函数关系）。
（2）自动控制系统：
受控对象和控制器的总体，它能对受控对象的工作状态进行自动控制。
（3）受控对象：
被控制的机器、设备或生产过程。
控制器：
对受控对象进行控制的设备总
（4）体，一般有测量、运算、放大等部件和执行装置
等组成。
（5）被控量：
受控对象的输出量。
（6）输入量：
是作用于自动控制系统的输入端并作为控制依据的物理量，也称为输入信号、输入指令、参考输人、给定值。
（7）干扰：
使被控量偏离期望状态的信号。
2.基本控制方式
（1）开环控制
1按给定值操纵的开环控制，如图1-1（a）所示。
2按干扰补偿的开环控制，如图1-1（b）所示。
（a）（b）
图1-1开环控制的原理方框图
（2）按偏差调节的闭环控制，如图1-2所示。
图1-2按偏差调节的闭环控制原理方框图
（3）复合控制，如图1-3所示。
（a）（b）
图1-3复合控制的原理方框图
3.对控制系统的性能要求
（1）稳指动态过程的平稳性
（2）快指动态过程的快速性
（3）准指动态过程的最终精度
1.1.2基本要求
1.明确自动控制的基本概念。
2.正确理解三种基本控制方式及其特点。
3.初步掌握由系统工作原理图画原理方框图的方法，并能判别系统的控制方式。
4.正确认识对控制系统的性能要求。
第二章自动控制系统的数学模型
§2-1内容提要和基本要求
2.1.1基本概念
1.建立系统微分方程的一般步骤
（1）分析系统和各个元件的工作原理，找出各物理量（变量）之间的关系，确定系统和各元件的输入、输出变量。
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出动态微分方程。
（3）对已建立的微分方程进行数学处理，如忽略次要因素，对方程进行线性化等，以简化原始方程。
（4）消去中间变量，写出关于输入、输出变量的微分方程。
（5）将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幕排列。
2.拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式
（1）拉普拉斯变换定义
oo
函数f（t）,t为实变量，如果线性积分（SP+如）存在，则称其为函数
/■（f）的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。
记作F（s）或£[/（/）]，即
ZV（7）]=F（s）=U（7）e-'0
一般称F（s）为/的象函数，而y。
）为F（s）的原函数。
1b+m
L-'[F（5）]=—[F（s）e"ds=g（2-2）
为拉氏反变换。
（2）拉氏变换的基本法则
1线性性质
L[afi（0+bf2（0]=aIXfx⑺]+bL[f2⑺]=时（s）+bF,（s）（2-3）
2微分法则
山^^1=矿『（$）一广顷0）—s"—2f（0）—-"1”）（2-4）
式中/（0）,/'（0）,fW）（0）为函数y。
）及其各阶导数在7=0时的值，当
/（0）=/（0）==f（i（0）=0时,有
（2-5）
3积分法则
L[\I/（r）W]=-F（5）+1/（'n（0）++1广”>（0）（2-6）
„S"s"s
式中f（—D（o）,f（-2）（0）,『-"）（0）为函数yQ）的各重积分在7=0时的值，
当fT>（0）=f-2>（0）===/•<-«）（0）=0时，有
£[fI/（r）W!
]=-FGv）（2-7）
„s"
4终值定理
limf（t）=limsF（s）（2-8）
r—>oo5—>0
5位移定理
L[f（t-TQ）]=e^oSF（s）（实数位移）（2-9）
L[eu,f（,t）]=F（s-a）（复数位移）（2-10）
（3）典型函数的拉氏变换形式如表2-1所示
表2-1典型函数的拉氏变换形式
典型函数
原函数了。
）
象函数仃3）
1
单位脉冲函数
地）
1
2
单位阶跃函数
1（/）
1s
3
单位斜坡函数
t
_L
$2
4
单位等加速函数
[广2
1
/
5
指数函数
ea,
]
s-a
6
正弦函数
sincot
CD
■/+口2
7
余弦函数
coscot
s
s2+（O2
3.线性微分方程的求解
用拉氏变换求解微分方程的步骤
（1）将系统微分方程进行拉氏变换得到以S为变量的象方程（系统初始值取7=0一时的对应
值）。
（2）解象方程，求出系统输出变量的象函数表达式。
（3）将输出的象函数进行拉氏反变换，得微分方程的解。
4.传递函数的概念及性质
（1）传递函数定义为:
零初始条件下,线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
d"c[）d”%。
）dc（f）d%（f）dr（f）
%钟+0",，，t++0，-i土+a“c（t）=b。
++bm_x+bmr（t）atatdtatat
（2-11）
「％s+as++an_}s+C（5）=Pbos++bm_}s+bm~\RG）
（2-12）
则系统传递函数马*=~=G（s）（2-13）
R（s）aosn++anv7
（2）有关传递函数的性质
1由传递函数定义可知，它只适用于线性定常系统。
2传递函数完全由系统的结构、参数确定，与外界输入无关。
传递函数只表示一
3个输出对一个输入变量间的动态联系，它不能表明中间各变量
间的动态特征，这是其局限性。
4传递函数是在零初始条件下定义的，它只反映系统的零初始状态的系统动态特性。
5传递函数是一种数学抽象，物理性质不同的系统，完全可以有相同的传递函数。
5.典型环节的传递函数形式
（1）比例（或放大）环节G（s）=k
（2）纯微分环节G（s）=s
（3）积分环节G（s）=【
S
（4）惯性环节（或一阶环节）G（s）=」一
Tv+1
（5）一阶微分环节G（s）=）s+1
12
（6）振荡环节（或二阶环节）G（s）==-——竺
'7T~s2+2CTs+1s~+2^cons+a）;
⑺二阶微分环节G（s）=/站+2；源+1
6,由系统微分方程组建立动态结构图（也称方框图）的方法
（1）对各方程组进行零初始条件下的拉氏变换，将变换方程组的每一个子方程都用子结构图表示出来。
（3）系统的输入变量置于左端，输出变量（被控量）置于右端，并且按系统中各变量的传递顺序，依次将各元件结构图中相同的量连接起来，即可得到系统的结构图。
7.用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法
（1）用动态结构图等效变换求传递函数结构
图变换的原则是变换前后要等效。
基本
的运算形式有三种，如图2-1所示。
②并联连接G（5）=G1（5）±G2（5）
（2-15）
③反馈连接
前、G（s）
]±G（s）H（s）
（2-16）
（a）串联连接（b）并联连接（O反馈连接
图2-1结构图的三种基本连接形式
除这三种基本连接形式外，还有其它连接形式。
但只要在保持传递信号关系不变的原则下，移动引出点、综合点，就可变为上述的三种基本连接形式。
分述如下：
④引出点前后移动的等效变换，如图2-2所示。
（b）引出点的刖移
图2-2引出点前后移动的等效变换
⑤相邻引出点之间的移动，如图2-3所示。
职）弓（s）
顷s）巴（s）
R（s）「』|
R（s）R（s）
（a）
R（s）R（s）
（b）
图2-3相邻引出点的移动
⑥综合点前后移动的等效变换，如图2-4所示。
R（s）c►®—►G（s）il±
Q（s）
C（s）
3）综合点的后移
（b）综合点的前移
图2-4综合点前后移动的等效变换
⑦相邻综合点之间的移动，如图2-5所示。
Y（s）
±
R（s）cAC（s）
'土
X（s）
（a）
Y（s）
±
M±
X（s）
（b）
R（s）
Y（s）
±
M±
X（s）
（c）
图2-5相邻综合点的移动
（2）梅逊公式求传递函数
梅逊公式为:
G（s}=*T△——
（2-17）
（2-18）
式中G（s）为总传递函数。
A称主特征式，且：
△=1一£La十£LbL-£LdLeLf+
£侦为所有各回路的"回路传递函数”之和£住为所有两两互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和。
YLclLeLf为所有三个互不接触的回路，其“回路传递函数”乘积之和。
4即第k条前向通道的传递函数，〃是前向通道数。
是将△中与第k条前向通道相接触
（有重合部分）的回路所在项去掉之后的余子式。
8,开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念
控制系统的典型结构如图2-6所示。
图2-6控制系统的典型结构图
G（s）G2（s）H（s）为系统的开环传递函数，相当于梅逊公式中的回路传递函数
B（s）IE（s）,但二者不是同一概念，开环传递函数是闭环系统的开环且不含反馈极性。
（1）
广。
）作用下的系统闭环传递函数
（2-18）
令77（?
）=0,0（5）==G（S）G2（S）
R（s）1+G（s）G2（s）H（s）
（2）花（。
作用下的系统闭环传递函数
令r（r）=0,①（s）=G⑴=G2O）（2-19）
〃N（s）1+G（s）G2（s）H（s）
（3）系统总输出
根据线性叠加原理，总输出的拉氏变换形式为：
c（5）=①r（s）R（s）+①n（s）N（s）=——G（s）G2（s）——R（s）+N（s）
'1+Gj（s）G2（s）H（s）1+G1（5）G2Gv）H（5）
（2-20）
（4）闭环系统的误差传递函数
令n（t）=0,①（s）=坦01
'R（s）l+G（s）G2（s）丑（s）
令/-（?
）=0,中，"（$）=鸟3_—_
N（s）l+G（s）GJs）丑（s）
根据线性叠加原理，系统的总误差E（s）=Q（s）R（s）+Q"（s）N（s）（2-21）
2.1.2基本要求
1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。
2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。
3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。
4.掌握传递函数的概念及性质。
5.掌握典型环节的传递函数形式。
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和梅逊公式求传递函数的方法。
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。
第三章时域分析法
§3-1内容提要和基本要求
3.1.1基本概念
1.典型输入信号
（1）阶跃信号和
单位阶跃信号
/-（?
）=7?
-l（r）（t>0）邸）=
s
当R=1时，称为单位阶跃信号
r（0=l（r）（t>0）R（s）=—
s
（2）斜坡信号和单位斜坡信号
_v
r（r）=v（t>0）R（s）=
q2
当V=1时，称为单位斜坡信号
r（0=t（t>0）R（s）=一
q2
（3）等加速信号和单位等加速信号
r（r）=~a-t2>o）R（s）=@
2s3
当。
=1时，称为单位等加速信号
1,1
rQ）=r（t>0）R（s）--
2s3
（4）单位脉冲信号
[0（逐0）
业）="（t=o）且L”（g=i
L["]=l
（5）正弦信号
aco
r（t）=asin（仞）R（s）二
2?
s+©
2.典型时间响应
（1）单位阶跃响应
丑（s）=（s）・〔s
（3-1）
如）"卜（s）.‘
（3-2）
（2）单位斜坡响应
G（s）=（3-3）
1.v21
（3-4）
（3）单位脉冲响应
（3-5）
（3-6）
K（s）=O）（s）R（s）=a）（s）l=a）（s）
轮）="①⑴]
（4）三种响应之间的关系
H（s）=©（S）\=K（s）\,h（t）=F（i）心（3-7）
t（t）=p（rW
（3-8）
dh（t）dt
（3-9）
dqQ）
（3-10）
K（s）=sH（s）,s、_
G（s）=0（S）」=H（s）」c
SS，t
丑（s）=sC,（s）,h（t）=
dt
式（3-7）、（3-8）表明，单位脉冲响应积分一次就是单位阶跃响应，单位阶跃响应积分一次就是单位斜坡响应。
而式（3-9）、（3T0）表明，单位斜坡响应的一次导数就是单位阶跃响应，单位阶跃响应的一次导数就是单位脉冲响应。
所以根据三种响应之间的关系，可由其中的任何一种换算另外两种。
3.单位阶跃响应的性能指标单位阶跃输入作用下，稳定系统的输出响应随时间变化的指标
称为阶跃响应的动态性能
指标（如图3T）。
⑴延迟时间单位阶跃响应曲线&（。
上升到其稳态值的50%所需要的时间。
⑵上升时间八：
单位阶跃响应曲线顷）,从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间（也指从零第一次到达稳态值所需要的时间九
（3）峰值时间上:
单位阶跃响应曲线超过其稳态值达到第一个峰值所要的时间。
（4）调节时间八：
单位阶跃响应曲线/z（。
进入±5%（有时也取±2%）误差带，并且不再超出该误差带的最短时间。
又称为过渡过程时间。
（5）超调量a%:
单位阶跃响应最大超出量与稳态值之比。
即
cr%=
h（tQ-h（g）当,
/z（oo）
（3-11）
⑹稳态误差综:
单位阶跃响应的稳态值与期望值之差。
即％=1-A（oo）（3-12）
4.一阶系统的时间响应
（1）数学模型
/、。
⑴1
中（s）=m=T——一阶系统的时间常数（3-13）
如）75+1
一阶系统的结构图如图3-2（a）„
⑵单位阶跃响应C（s）=（D（s）.R（s）=—-—•-（3-14）
Ti+lS
c“）="」一.【］="=l-eT（3-15）
'11
一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-2（b）。
R（s）
C（s）
图3-2一阶系统的结构图与单位阶跃响应曲线
（3）一阶系统单位阶跃响应曲线的特点
1曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线。
2当r=0时，曲线的斜率为1/7,响应若按此速度上升，当t=T时，c（T）=1„
3响应没有超调且没有稳态误差。
（4）一阶系统单位阶跃响应的动态性能指标
ts=3T（对应±5%误差带）（3-16）
ts=4T（对应±2%误差带）（3-17）
（5）一阶系统的单位脉冲响应和单位斜坡响应分别为
y（f）=-etlT（t>0）（3-18）
（3-19）
y（t）=t-T+1er,T（t>0）
T
与其相对应的响应曲线如图3-3所示。
（a）单位脉冲响应（b）单位斜坡响应
图3-3一阶系统的响应曲线
5.二阶系统的时间响应
（1）数学模型
C（$）=①（$）=mn1
R（s）{7妒+2知“$+就T2s2+2^Ts+1
（3-20）
<——阻尼比，a„=l/T——自然振荡角频率，T——二阶系统的时间常数二阶系统的结构图如图3-4<,
R（s）,①_,|如，C（?
s（s+2甄）
图3-4二阶系统的结构图
（2）二阶系统的两个特征根，即闭环极点S],2在s平面的分布情况如图3-5所示。
'j
'j
---
J
0
AX
$1=s2
0
-初
$2又-…
0
（b）。
=1
（c）0<<<1
1j
---Qi
X——K-
$1$2
'j
*1
〉
0
<$2
（a）6>1
---XS2
（d）。
=0
图3-5二阶系统的闭环极点在s平面的分布情况
（f）
当<〉1时，称过阻尼，»,2=_知，±口」<2-1；当<=1时，称临界阻尼，S“=—吃,；
当0＜，＜1时，称欠阻尼，|2=_洌,±丽』1_'2；
当＜=0时，称零阻尼，51＞2=±j（o„;
当〈＜0时，称负阻，系统将出现s平面右半平面的特征根;
二阶系统正常工作的基本条件是阻尼比＜＞0。
（3）过阻尼（＜＞1）二阶系统的单位阶跃响应
（3-21）
图3-6过阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应无震荡、无超调、无稳态误差。
（4）临界阻尼（＜=1）二
阶系统的单位阶跃响应
"（'）=1—（1+牡八,-即（3-22）
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应无震荡、无超调、无稳态误差。
（5）零阻尼（＜=0）二阶系统的单位阶跃响应
/?
（/）=l-cos（yn/（3-23）
零阻尼二阶系统的单位阶跃响应等幅震荡。
（4）欠阻尼（0＜〈＜1）二阶系统的单位阶跃响应
仰）=1--e'^-sin
J1-+arccos<
（3-24）
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-7所示。
C（t）
1
0►t
图3-7欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应震荡衰减、有超调、无稳态误差。
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应性能指标
峰值时间:
/=—（3-25）
超调量：
b%="S）一"（°°）.100%=e*/Qx100%（3-26）
/z（oo）
3
调节时间：
阻尼比<<0.7时，，=—（取±5%误差带）（3-27）
阻尼比<>0.7时，八=：
（6.45<—1.7）（取±5%误差带）（3-28）
6.系统稳定性分析
（1）线性系统的稳定概念若系统受干扰，偏离了平衡状态，而当扰动消失后，系统仍能恢复到原平衡状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。
稳定性是系统的固有特性。
稳定性只由系统结构、参数决定，与初始条件及外作用无关。
（2）稳定的充分必要条件线性系统稳定的充分必要条件是系统特征方程的根均具有负实部，或者全部根都分布在左半复平面内。
特征方程的根即系统闭环传递函数的极点。
（3）古尔维茨（Hurwitz）判据系统
特征方程的一般形式：
D（s）=%s"+哗"T+%$"”++an_1S+an=0（3-29）
一般首次项系数规定为％〉0。
a2n-l
a2n-2
a2n-3
a2n-4
用上式的各项系数构造古尔维茨行列式：
CIq。
2"4
（3-30）
0qa3a5
"0a0a2a4
000
在每一列由上而下按下标递减的
该n阶行列式的主对角线依次是Q],。
2,CL31
顺序填入其它系数，缺项的用0补齐。
判别系统闭环稳定的充分必要条件是特征方程的古尔维茨行列式
。
1。
3
%
D*〉0,（k=1,2,3,,n）D]=Q],D2=,D3=aoaia4
aoain
°%%
（3-31）
（4）林纳德-奇帕特（Lienard-Chipard）判据（也称代数稳定判据）判别系统闭环稳定的充分必要条件是
1系统特征方程的各项系数大于零，即％〉0（7=0,1,2,/）
2奇数阶或偶数阶古尔维茨行列式大于零，即D奇＞0或D偶〉
（5）劳斯判据
根据系统特征方程的系数列写劳斯表，如表3-1所示。
表3-1劳斯表
sn
%
。
2
Q4
。
6
%
%
。
7
_焰_祁3
C13—ai
_ataA—a（）a^
C23~
a\
C33—
ai
3
„_C13@3=1^1^23C14-
C31
C=勺3。
5—C24—
Cl3
C34-
CI3
S“-4
c_-q3C24
rCl4
L_d£33ZLC13&4C25—
C14
妒
C2,n-\
sx
s°
Cl,n+1=an
利用劳斯判据判别系统闭环稳定的充分必要条件是:
劳斯表中第一列所有各项均为正数。
若劳斯表中第一列出现负数，则第一列各数值符号改变的次数就是系统闭环不稳定特征根的个数，即具有正实部根的个数。
在列写劳斯表的过程中，若某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不为零，或不全为零，那么下一行的元素会变成无穷大，这时可用一个很小的正数£代替第一列的零继续计算。
若某一行的元素全部为零，则表明存在对称于s平面原点的根，它们可以是两个大小相等符号相反的实根或一对共辆虚根，也可以是两对对称于坐标原点的共辆复根，这时可用全零行上面的一行元素构造辅助方程（辅助方程的次数通常为偶数，求辅助方程的解就可以得到对称于坐标原点的根），再将辅助方程对复变量s求导，用所得方程系数取代全零行的元素，继续进行劳斯阵列的计算。
7.系统稳态误差分析
控制系统的典型结构如图3-8所示。
R（s）是参考输入，N（s）是干扰输入，C（s）是系统输出，E（s）是系统的误差。
图3-8控制系统的典型结构
（1）误差及稳态误差误差的定义一般有两种方式：
e（7）=r（7）-c（7）（3-32）
e（m（。
（3-33）
当系统是单位负反馈时，统一为式（3-32）。
稳态误差：
稳定系统误差的终值称为稳态误差。
ess=lime（/）（3-34）
一OO\7
Gs为衡量系统最终控制精度的重要性能指标。
（2）稳态误差的计算
E（s）=Er（s）+En（s）=①次（s）R（s）+①湛s）N（s）
=R（s）+——一G（s）H（s）——n（s）（33力
1+G1（5）G2（5）H（5）1+G（s）G2（s）H（s）
应用终值定理，ess=lime（r）=lim5E（5）（3-36）
注意应用终值定理的条件，在这里sE（s）的所有极点均应在s平面的左半部。
求稳态误差首先判别系统的稳定性，只有稳定的系统计算稳态误差才有意义。
（3）广。
）作用下的稳态误差
系统的开环传递函数:
Kn（ris+i）（Sb+2<了2$+1）
G（s）H（s）=G（s）G2（s）H（s）=7ri而小"772^7^
（3-37）
K为开环增益（当开环传递函数分子、分母的最低项系数
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