福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx.docx

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福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx

泉州市普通高中2019级高一下学期教学质量跟踪监测

数学（新教材必修2、1三角）

一、单项选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若复数z=3-4Z,则复数z在复平面内对应的点位于（）

A,第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可.

【详解】解：

复数z在复平面内对应的点的坐标为（3,T），位于第四象限,故选：

D.

【点睛】本题主要考查复数的几何意义，结合复数的几何意义求出点的坐标是解决本题的关键.属于基础

题.

2.若sina=L

3

则cosla=（

A.

2V2

B.-

C.

【答案】B

【解析】

【分析】

cos2由此能求出结果.

【详解】解：

•.•sina=L,

3

33

A.B,—C.6D.—6

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量共线的坐标表示即可求得x的值.

11

【详解】因allb，

所以lx3=2x,

3

解得：

%=-

2

故选：

B

【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示，属于基础题.

4.要得到函数J=COS^|-^的图象，只需将y=cos|的图象（）

兀

A.向右平移一个单位

4

71

C,向右平移一个单位

2

【答案】C

兀

B,向左平移一个单位

4

JT

D.向左平移一个单位

2

【解析】

【分析】

把；y=cos

1TT

变形为：

3），由自变量的变化得答案.

【详解】解：

y=cos

1

=cos—

2

71X-—

要得到函数y=cos

X71

XTT

的图象，只需将y=cos；的图象向右平移:

个单位.

故选：

C.

【点睛】本题主要考查三角函数的平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，属于中档题.

5.如图是2020年1月23日至2月13日我国新冠肺炎疫情的数据走势图（其中1月23日-2月5日，重症

率=现有重症/累计确诊；2月6日开始公布现有确诊数，重症率=现有重症/现有确诊）.若以图中所示方法界定月份，则下列说法错误的是（）

—O—重症率治俞率-♦-死亡率

0.25

21.62%

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

>1.33%

20.74%

13.34苗知.23磅'J尹

-O-

21.14%

19.20%19.49%

18.34%8_02%

18.30%

10.67%10.53%

9.37%9.23%

8.17%本••••..

7.12%▲...•••.•

5.93%▲.

~~4.94%

4.10%亦球4.12%

▲2.95%nccm，276%3・00%"°’布

二f郛土姒心泌刀％1.51%1-76%206%2警：

薯..“•••••..•'—一一

3-01°°2,84%'^'2^2.21%2.20%2.20%2.20%2.11%2.10%2.08%2.01%2.01%2.04%2.09%2.18%2.26%2.38%2.49%2.29%2.16%

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1/231/241/251/261/271/281/291/301/312/12/2

1月份

2/32/42/52/62/72/82/92/102/112/122/13

2月份

A.2月份的重症率明显下降

B.

2月11日的治愈率约为死亡率的4.3倍

C.2月1日后治愈率超过死亡率

D.

2月以来，新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象逐一进行分析即可

【详解】解：

由图可得，2月份重症率有增有减，故A错误;

2月11日的治愈率与死亡率之比约为号盖R4.3,故B正确;

2月1日后治愈率超过死亡率，故C正确;

2月以来，治愈率总体上呈上升趋势，故。

正确;

【点睛】本题考查学生合情推理的能力，数形结合思想，属于基础题.

6.甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知他们答对的概率分别为则恰有一人答对的概率为（）

32

1A.-

6

1

B,—

2

5C.—

6

2D.-

3

【答案】B【解析】

【分析】

利用概率的加法公式和概率的乘法公式即可求解.

【详解】由题意知：

甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件A,“乙答对”为事件

“恰有一人答对”为事件C,

71

则P（A）=a，P（B）=^

所以P（C）=P（A）.P（B）+P（A）.P（B）=|x|+|x|=|,

故选：

B

【点睛】本题主要考查了事件关系与事件运算，概率的乘法公式和加法公式，属于基础题.

377,

7.平行四边形ABC。

中，AB=4,AD=2g，ZBAD=~,E是线段C£＞的中点，则AEAC=（）

A.0B.2C.4D.4很

【答案】C

【解析】

【分析】

根据条件即可得出AE=AD+^AB,AC=AD+AB，从而得出AE-AC=（AD+^AB）^AD+AB）,然后进行数量积的运算即可.

13冗

【详解】解：

如图，根据题意：

=AD+—AB,AC=AD+AjB，且AB=4,AD=2皿,Z.BAD=,

AE.AC=（AD+-AB）.（AD+AB）=AD2+-AB2+-AB^l5^8+-xl6+-x4x2y/2x（-—）=4.

222222

故选：

C.

【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题.

8,我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：

“今有木长二丈，围之三尺“葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？

术曰：

以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”.意思是：

今有2丈长木,其横截面周长3尺，葛藤从木底端绕木7周至顶端，问葛藤有多长？

（）（注：

1丈=10尺）

A.21尺

B.23尺

C.27尺

D.29尺

【答案】D

【解析】

【分析】

这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.

【详解】解：

如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，

另一条直角边长7x3=21（尺），因此葛藤长^202+212=29（尺），

故选：

D.

【点睛】本题考查了几何体展开图最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.

9.在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a,b,c,且sir?

A+sir?

3=sir?

C+sinAsin3，若曲=己

则△A3C的形状是（）

A.等边三角形B,等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

7T

先由正弦定理和已知得到C=5，再由ab=/代入a2+b2-c2=ab得到a=b即可判断三角形形状.

【详解】由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB及正弦定理，

得a2+b2=c2+ab^艮a2+b2—c2=ab

ab_1

lab2

/+人2_2由余弦定理得cosC=—-

lab

71因为OvCv/r,所以C=y,又因为ab=c，代入a?

+/?

-c2=泌得/+b~—2ab=0,

即（a-&）2=0,所以a=b,

所以△43C是等边三角形.

故选：

A.

【点睛】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用；考查运算求解能力、推理论证能力.

10.图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm,高9cm（不含杯脚），已知水的高度是8cm,现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A.36颗B.42颗C.48颗D.54颗

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知利用三角形相似求得水面圆的半径，由圆锥的体积减去水的体积，得到可放入珍珠的体积，除以一颗珍珠的体积得答案.

【详解】解：

作出在轴截面图如图，

由题意，OP=9,QP=8,OA=3,设

n.8xHn8

则-=-，即

41JT

一颗珍珠的体积是-^-x（-）3=-.

326

217〃

卫=坦

Tl9

最多可以放入珍珠48颗.

故选：

C.

【点睛】本题考查圆锥与球体积的求法，正确理解题意是关键，属于中档题.

二、多项选择题：

本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求.作出的选择中，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.

11.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前

四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（）

A.平均数为3,极差是3B.中位数是3,极差是3

C,平均数为3,方差是0.8D,中位数是3,方差是0.56

【答案】BCD【解析】

【分析】

由题知，前四轮投中的个数总和为13,从选项看，分两大类讨论：

①平均数为3,则第五轮投中2个，再根据极差和方差的计算公式求解后，即可判断选项A和C；②中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,然后分4种情况，逐一计算极差和方差，从而判断选项B和D.

【详解】2+3+4+4=13,

1若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,

所以极差为4-2=2,方差为!

[（2—3）2x2+（3—3尸+（4—3）2x2]=0.8,即选项A错误，C正确；

2若中位数为3,则第五轮投中个数为0或1或2或3,

当投中的个数为0时，极差为4,方差为!

[（0-2.6）2+（2-2.6尸+（3-2.6）2+（4-2.6）2x2]=1.848当投中的个数为1时，极差为3,方差为!

[（1—2.8尸+（2-2.8）2+（3—2.8尸+（4—2.8尸x2]=1.36；当投中的个数为2时，极差为2,方差为0.8；

当投中的个数为3时，极差为2,方差为!

[（2—3.2）2+（3—3.2）2x2+（4—3.2）2x2]=0.56

即选项B和D均正确.

故选：

BCD.

【点睛】此题为基础题，考查统计中相关概念.

12.如图菱形ABC。

中，A3=2,ZZMB=60。

，E是AB的中点，将&4DE沿直线£也翻折至△句蔓

的位置后，连接AC,A3.若F是的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有（）

A.异面直线AE与。

。

所成的角不断变大

B.二面角A.-DC-E平面角恒为45。

C.点F到平面A.EB的距离恒为吏

2

D.当A在平面EBCO的投影为E点时，直线AC与平面EBCO所成角最大【答案】CD

【解析】

【分析】

由Z5C//AB,可知或其补角即是与。

C所成的角，可判断选项A,二面角\-DC-E的平面角不是定值，可判断选项8,F到平面A既的距离是C到平面A既的距离的一半，£>C7/平面&BE,等于。

到平面片既的距离的一半，可判断选项C,找出点E位置，以及4。

与平面所成角，即可判断选项。

.

【详解】因为DC//AB,可知既或其补角即是异面直线AE与QC所成的角，在翻折的过程中，异面直线AE与。

。

所成的角是先增大后减小，所以选项A不正确;

二面角\-DC-E的平面角不是定值，所以选项8不正确;

因为F是\C的中点，所以F到平面A.EB的距离是C到平面\EB的距离的一半,

因DC//EB,平面&EB,平面&EB,所以〃平面\BE,

所以C到平面AEB距离的等于D到平面AEB的距离,

又因为DELEB,DELEA^,E&cEB=E,

所以庞上平面A[EB,易知DE=^[i，所以点。

到平面A幽的距离为占，

即点F到平面A.EB的距离恒为龙，所以选项C正确；2

因为庞上平面\EB,£）Eu平面DEBC,所以平面\EBV平面DEBC,

平面\EBry平面DEBC=EB,在平面凡命中，作1EB,垂足为H,

则±平面DEBC,直线AC与平面EBCD所成角为以如,

因为当且仅当A在平面EBCD的投影为E点时，取到等号，

此时直线AC与平面EBC。

所成角最大，所以选项。

正确.

故选：

CD

【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角，线面角、二面角的大小以及空间中点到面的距离，属于中

档题.

三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.

13.若复数z=,贝ij|z|=.

【答案】V2

【解析】

【分析】

利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出|z|的值.

【详解】vz=l+£=!

（l±O=_.^+1^=1_.i因此，|z|=J]2+（_l）2=e

故答案为：

V2-

【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.

14.已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为5000,4000,3000.现采用分层抽样的方法调

查该地区中小学的“智慧阅读”情况在抽取的样本中，若初中学生人数为80,则高中学生人数应为.

【答案】60

【解析】

【分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可.

【详解】解：

设高中学生人数为以，

解可得，77=60.

故答案为：

60

【点睛】本题主要考查了分层抽样的简单应用，属于基础题.

15,已知/■（》）=sin[|（X+1）—右cos弓（X+1）],则/■⑴+/

（2）+/（3）+...+/（2020）=

【答案】^3

【解析】

【分析】

7T

化简得/（x）=2sin-x,利用周期即可求出答案.

【详解】解：

/（%）=sin[y+1）]-cos[y+1）]=2sin%,

函数/'（x）的最小正周期为6,

/./（D+/

（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）=0,

/

（1）+/

（2）+/（3）+...+/（2020）=/

（1）+/

（2）+f（3）+f（4）=右，

故答案为：

.

【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题.

16.已知|ab|=2,|=|AB=lt动点M满足_2AM•AB+8=0-当宓•瓦取到最小值时，|苞4的最大值为.

【答案】

（1）.-：

；

（2）.号+1.

【解析】【分析】建系转化为直线与圆的位置关系可得解.

UUUI

AC岫1

［详解］Qpt®i.AB=lx2cos/R4C=l,cosZBAC=-,即ZS4C=60°,

AC2

以A为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂线为V轴建立平面直角坐标系,

则A（0,0）,3（2,0）,

设AC所在的直线方程为y=gc,C的坐标为（"7%）,由平面向量数量积的坐标运算可得

uiruur（1A21

C4-CB=4r-2?

=4t——一一，

l时4

故当f=L时，宓.瓦取得最小值；

4

设点M的坐标为（"）,由最J牒.朋+8=o,得（X—3丫+/=1,

即点肱的轨迹是以N（3,0）为圆心，1为半径的圆；

故|应|的最大值为GV+l=j'—3]+俘"J+1=^+1

故答案为：

返+1.

42

【点睛】数形结合：

化向量等式为代数方程，再由方程表达的形“圆”及点，找到新的形与形的关系.这是一道典型的数形结合题.

四、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.为研究某植物园中某类植物的高度，随机抽取了高度在[30,100]（单位：

cm）的50株植物，得到其

高度的频率分布直方图（如图所示）.

（1）求。

的值；

（2）若园内有该植物1000株，试根据直方图信息估计高度在［70,90）的植物数量.

【答案】

（1）0.028；

（2）280.

【解析】

【分析】

频率分布直方图中矩形面积和为1可得。

的值；

算出高度落在［70,90）的植物的频率可得.

【详解】

（1）（0.004+0.006+0.024+0.030+a+0.008+0.008）x10=1,

解得a—0.02；

（2）高度落在［70,90）的植物的频率为0.028x10=0.28,

高度在［70,90）的植物数量为0.28x1000=280株

【点睛】此题为统计基础题，考查频率分布直方图的含义.

18,如图，四面体ABC。

中，平面ABC,BC±AB,AC=BD=5,CD=V41-

（2）求A到平面BCD的距离.

12

【答案】

（1）10；

（2）y.

【解析】

【分析】

（1）由DA1.平面ABC可得DA±AB,DALAC,在Rt^CAD,RtVDAB.Rt^ABC中利用勾股定理求出AD、AB，BC,可以判断△3CD是直角三角形，即可以求出面积.

（2）由

（1）可证平面ABD1.平面BCD,过点A作AE±BD,可证AEJ_平面BCD,在RtNDAB^,利用面积相等求AE即可.

【详解】

（1）因为平面ABC,所以DA±AB,DALAC,

在Rt^CAD中，AD^y/DC2-AC2=^41-25=4，

在我八如8中，AbNdeP-DI=J25-16=3,

在Rt^ABC中，BC=jAC2-序=J25-9=4’

由DC2^DB2+BC2得ZDBC=90°，

所以SRrn=-BDBC=-x4x5=10.

△少22

（2）过点A作AE±BD，垂足为E,

由

（1）知3C_L平面仙。

，

因为BCu面8CD,所以平面ABD±平面BCD,

又因为平面ABOc平面BCD=BD,

所以AE上平面BCD,可知AE即为点A到平面BCD的距离，

--eADAB12

在我fVDAB中，AE==—.

【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，勾股定理，面面垂直的判断和性质，三角形面积公式，属于中档题.

19,在平面四边形ABC。

中，AB逐AD,ZADB=ZCDB=2ZABD.

（1）求匕场£＞；

BD=2,求眼。

。

的面积.

（2）若ac=V7，

【答案】

（1）30°；

（2）—；

2

【解析】

【分析】

（1）由图，△ABQ中，根据正弦定理，即可求得cosZABD=—,进而可知ZABD=30°:

2

（2）由

（1）ZABD=30°可知，如疯）为直角三角形，进而求得AD=1,然后在△ACO中，根据余

弦定理，可求得CD=2,根据AACD的面积公式，代入数值即可得结果.

【详解】解：

（1）由题，在眼如中，根据正弦定理，

AB_AD

sinZADB~sinZABD'

因为AB=73AD，ZADB=2ZABD.

所以0sinZABD=sinZADB，

cosZABD=—，2

:

.ZABD=30°.

（2）由

（1）可知，ZABD=30°.

ZADB=ZCDB=2ZABD=60°,

△ABD中，匕4=90。

，BD=2,:

.AD=1,

△AC。

中，AC=a/7，

iI（~^r）2_7i

cosZADC==cos（60°+60°）=——,

24.CD2

解得CD=2或CD=—3（舍），

/.aACD的面积S=L・l.2.sinl20o=电.22

AD

【点睛】本题主要考查通过正、余弦定理解三角形，以及数形结合的思想，考查学生计算能力，属于基础题.

20,已知四棱锥P-ABCD,£41平面ABC。

，底面ABC。

为等腰梯形，AB//DC,AB=2DC,

Ji

AD=—DC，肱是PB中点.

2

（1）求证：

CM7/平面PAD；

（2）求证：

PD±BC

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】

（1）找到必的中点N,连接枷，ON,证明四边形切VDC是平行四边形，CMHDN,进而证明CM//平面PAD；

（2）连接。

与的中点H,通过勾股定理，得AD±DH,即AD1BC,又因为PA上平面ABCD,BCu平面ABC。

，所以PALBC,进而证明BCJL平面人叨，所以PD±BC.

【详解】解：

（1）证明：

取的中点连接肋V,DN,

△BLB中，肱是PB中点.「.MN//A3且MN=-AB,

2

又...等腰梯形ABC。

中，ABUDC,AB=2DC,

:

.MN//CD,且MN=CD,

•••四边形切VOC是平行四边形，

:

.CM//DN,

CM仁平面BID，ZWu平面PAD，

:

.CM〃平面PAD.

（2）证明：

连接。

与AB的中点H,

根据题意，等腰梯形ABCZ）中，ABUDC,AB=2DC,四边形BCDH是平行四边形，

:

.BC//DH.

设AB=2a,贝WC=AH=a,AD=BC=—a,

2

:

.AEr+DH2=AH2，

:

.ADYDH,

■.BC//DH,:

.ADLBC,

■.■PA±平面ABCZ）,BCu平面ABCD,-.PALBC,

-.•PAC\AD=A,R4u平面APD,ADu平面APD，

:

.BC±平面APZ）,

QPDu平面APD,

.-.PD±BC.

【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理，考查了数形结合的思想，属于中档题.

21.

F（x）=f（x）-g（x）.

已知函数f（x）=3sinx+J§cosx,g（x）=max^2sin%,2y/3cosxj,

（1）求g

71

（2）求F（*）在一-—

的单调递增区间;

（3）若xg[%!

x2],F（x）<-a/3,求X2-Xj的最大值.

（）a,a>b,

（注：

maxg,=〈）

[/?

b>a.

.tt〃1「7"4"

【答案】

（1）3；