人教版中职数学基础模块上册第二章不等式教案.docx
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人教版中职数学基础模块上册第二章不等式教案
2.1.1实数的大小
【教学目标】
1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小．
2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．
3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质．
【教学重点】
理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想．
【教学难点】
用作差比较法比较两个代数式的大小．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法．通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法．
【教学过程】
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40km/h．若用v（km/h）表示汽车的速度，那么v与40之间的数量关系用怎样的式子表示？
右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50km/h．若用v（km/h）表示汽车的速度，那么v与50之间的数量关系用怎样的式子表示？
学生根据生活经验回答情境问题．
答：
v≤40．
答：
v≥50．
从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性．
新
课
研究实数与数轴上的点的对应关系．
观察：
点P从左向右移动，对应实数大小的变化．
呈现结论：
数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大．
a＞b⇔a－b＞0
a＝b⇔a－b＝0
a＜b⇔a－b＜0
含有不等号（＜，＞，≤，≥，≠）的式子，叫做不等式．
练习1在数学表达式：
①－5＜1；②2x＋4＞0；
③x2＋1；④x＝6；
⑤y≠4；⑥a－2≥a
中，不等式的个数是（）．
（A）2（B）3（C）4（D）5
练习2把下列语句用不等式表示：
（1）y是负数；
（2）x2是非负数；
（3）设a为三角形的一条边长，a是正数；
（4）b为非正数．
例1比较下列各组中两个实数的大小：
（1）－3和－4；
（2）
和
；
（3）－
和－
； （4）12.3和12
．
解
（1）因为
（－3）－（－4）＝－3＋4＝1＞0，
所以－3＞－4；
（2）因为
－
＝
－
＝
＞0，
所以
＞
．
例2对任意实数x，比较（x＋1）（x＋2）与（x－3）（x＋6）的大小．
解因为（x＋1）（x＋2）－（x－3）（x＋6）
＝（x2＋3x＋2）－（x2＋3x－18）
＝20＞0．
所以（x＋1）（x＋2）＞（x－3）（x＋6）．
练习3
（1）比较（a＋3）（a－5）与（a＋2）（a－4）的大小；
（2）比较（x＋5）（x＋7）与（x＋6）2的大小．
例3比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小．
解因为（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）
＝（x4＋2x2＋1）－x4－x2－1
＝x2≥0，
所以（x2＋1）2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时，等式成立．
练习4
（1）比较2x2＋3x＋4和x2＋3x＋3的大小；
（2）比较（x＋1）2和2x＋1的大小．
师：
实数与数轴上的点的关系是怎样的？
点A对应的实数与点B对应的实数各是多少？
哪个大？
生：
实数与数轴上的点是一一对应的．
点A表示实数3，点B表示实数－2，点A在点B右边，3＞－2．
当点P在不同的位置，学生分别比较点P对应的实数与点A，点B对应实数的大小．
个别学生口答，其他学生评价，遇到问题，小组讨论解决．
教师引导，学生口答．共同完成
（1）和
（2）．
学生完成（3）（4）．
学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．
学生复习（a＋b）2的展开式．
学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．
通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．
在复习初中知识的基础上加以提升．
因为例题1较为简单，讲解两个，剩余两个让学生练习，使学生在参与中学习使用作差比较的方法．但仅限于使用，不必强调要求学生掌握这个方法．
初步学习用作差比较法判断两个代数式的大小．
小
结
作差法的步骤：
作差→变形→定号（与0比较大小）→结论．
作
业
必做题：
教材P33，练习A组第3题；
选做题：
教材P34，练习B组第2
（2）（5）（6）题．
2.1.2不等式的性质
【教学目标】
1．掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形解决简单的问题．
2.掌握应用作差比较法比较实数的大小．
3．通过教学，培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好思维品质．
【教学重点】
不等式的三条基本性质及其应用．
【教学难点】
不等式基本性质3的探索与运用．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合法与分组探究教学法．通过引导学生回顾玩跷跷板的经验，师生共同探究天平两侧物体的质量的大小，引导学生理性地认识不等式的三条基本性质，并运用作差比较法来证明之．通过题组训练，使学生逐步掌握不等式的基本性质，为后面运用不等式的基本性质解不等式打下理论基础．
【教学过程】
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
【课件展示情境1】
创设天平情境问题：
观察课件，说出物体a和c哪个质量更大一些？
由此判断：
如果a＞b，b＞c，那么a和c的大小关系如何？
从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习的积极性．
新
课
新
课
新
课
性质1（传递性）
如果a＞b，b＞c，则a＞c．
分析要证a＞c，只要证a－c＞0．
证明因为a－c＝（a－b）＋（b－c），
又由a＞b，b＞c，即a－b＞0，b－c＞0，
所以（a－b）＋（b－c）＞0．
因此a－c＞0．
即a＞c．
【课件展示情境2】
性质2（加法法则）
如果a＞b，则a＋c＞b＋c．
证明因为（a＋c）－（b＋c）＝a－b，
又由a＞b，即a－b＞0，
所以a＋c＞b＋c．
思考：
如果a＞b，那么a－c＞b－c．是否正确？
不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变．
推论1如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明因为a＋b＞c，
所以a＋b＋（－b）＞c＋（－b），
即a＞c－b．
不等式中任何一项，变号后可以从一边移到另一边．
练习1
（1）在－6＜2的两边都加上9，得；
（2）在4＞－3的两边都减去6，得；
（3）如果a＜b，那么a－3b－3；
（4）如果x＞3，那么x＋25；
（5）如果x＋7＞9，那么两边都，得x＞2．
小组合作探究：
学生4人一组，把不等式5＞2的两边同时乘以任意一个不为0的数，观察不等号的方向是否变化．
多试几次，你发现什么规律了吗？
性质3（乘法法则）
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc．
证明因为ac－bc＝（a－b）c，
又由a＞b，即a－b＞0，
所以当c＞0时，（a－b）c＞0，即ac＞bc；
所以当c＜0时，（a－b）c＜0，即ac＜bc．
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等号的方向改变．
思考：
如果a＞b，那么－a－b．
练习2
（1）在－3＜－2的两边都乘以2，得；
（2）在1＞－2的两边都乘以－3，得；
（3）如果a＞b，那么－3a－3b；
（4）如果a＜0，那么3a5a；
（5）如果3x＞－9，那么x－3；
（6）如果－3x＞9，那么x－3．
练习3判断下列不等式是否成立，并说明理由．
（1）若a＜b，则ac＜bc．（）
（2）若ac＞bc，则a＞b．（）
（3）若a＞b，则ac2＞bc2．（）
（4）若ac2＞bc2，则a＞b．（）
（5）若a＞b，则a（c2＋1）＞b（c2＋1）．（）
学生思考、回答得出性质1．
引导学生判断：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向是否改变？
学生口答，教师点评．
学生猜想结果后，小组内合作探究、交流，教师巡回指导．
学生代表进行口答，其他学生评价．
练习2前3个小题由学生思考后口答；后3个小题同桌之间讨论，回答．
创设一种情境，给学生提供了想象的空间，为后续学习做好了铺垫．
让学生在“做”数学中学数学，真正成为学习的主人．把课堂变为学生再发现、再创造的乐园．
对不等式的性质及时练习，进行巩固．
把猜想作为教学的出发点，启发学生积极思维，探索规律．
性质３学生容易出错，用练习及时巩固，通过相互评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点．
小
结
要点：
不等式的三条基本性质．
方法：
作差比较法.
注意点：
不等式的两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向必须改变．
回顾、总结、矫正、提高．帮助学生形成本节课的知识网络．
作
业
必做题：
教材P36，练习A组；
选做题：
教材P37，练习B组．
2.2.1区间的概念
【教学目标】
1.理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示出来．
2.通过教学，渗透数形结合的思想和由一般到特殊的辩证唯物主义观点．
3.培养学生合作交流的意识和乐于探究的良好思维品质，让学生从数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心．
【教学重点】
用区间表示数集．
【教学难点】
对无穷区间的理解．
【教学方法】
本节课主要采用数形结合法与讲练结合法．通过不等式介绍闭区间的有关概念，并与学生一起在数轴上表示两种不同的区间，学生类比得出其它区间的记法．在此基础上引导学生用区间表示不等式的解集，为学习用区间法求不等式组的解集打下坚实的基础．
【教学过程】
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
教师提问：
（1）用不等式表示数轴上的实数范围；
（2）把不等式1≤x≤5在数轴上表示出来．
学生思考、回答，并在练习本上作出图象．
复习初中所学旧知，有助学生在已有知识的基础上建构新的知识．
新
课
新
课
设a，b是实数，且a＜b．
满足a≤x≤b的实数x的全体，叫做闭区间，记作[a，b]，如图．
a，b叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示．
全体实数也可用区间表示为（－∞，＋∞），符号“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．
例1用区间记法表示下列不等式的解集：
（1）9≤x≤10；
（2）x≤0.4．
解
（1）[9，10]；
（2）（－∞，0.4]．
练习1用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：
（1）－2≤x≤3；
（2）－3＜x≤4；
（3）－2≤x＜3；（4）－3＜x＜4；
（5）x＞3；（6）x≤4．
例2用集合的性质描述法表示下列区间：
（1）（－4，0）；
（2）（－8，7]．
解
（1）{x|－4＜x＜0}；
（2）{x|－8＜x≤7}．
练习2用集合的性质描述法表示下列区间，并在数轴上表示这些区间：
（1）[－1，2）；
（2）[3，1]．
例3在数轴上表示集合{x|x＜－2或x≥1}．
解如图所示．
练习3
已知数轴上的三个区间：
（－∞，－3），（－3，4），（4，＋∞）．当x在每个区间上取值时，试确定代数式x＋3的值的符号．
教师讲解闭区间，开区间的概念，记法和图示，学生类比得出半开半闭区间的概念，记法和图示．
用表格呈现相应的区间，便于学生对比记忆．
教师强调“∞”只是一种符号，不是具体的数，不能进行运算．
学生在教师的指导下，得出结论，师生共同总结规律．
学生抢答，巩固区间知识．
学生代表板演，其它学生练习，相互评价．
同桌之间讨论，完成练习．
教师只讲两种区间，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫．
学生理解无穷区间有些难度，教师要强调“∞”只是一种符号，并结合数轴多加练习。
三个例题之间，穿插类似的练习题组，使学生掌握不等式记法，区间记法，数轴表示三者之间的相互转化．逐层深入，及时练习，使学生熟悉区间的应用．
小
结
填制表格：
集合
区间
区间名称
数轴表示
{x|a＜x＜b}
{x|a≤x≤b}
{x|a≤x＜b}
{x|a＜x≤b}
集合
区间
数轴表示
{x|x＞a}
{x|x＜a}
{x|x≥a}
{x|x≤a}
师生共同完成表格．
通过表格归纳本节知识，有利于学生将本节知识条理化，便于记忆。
作
业
必做题：
教材P39，练习A组．
选做题：
教材P40，练习B组第1题．
2.2.2一元一次不等式（组）的解法
【教学目标】
1.了解一元一次不等式（组）概念，掌握一元一次不等式（组）的解法．
2.通过教学，体会数形结合、类比等数学思想方法．
3.通过对不等式有关概念的学习，培养学生的知识迁移能力和建模意识，以及合作学习的意识．
【教学重点】
一元一次不等式（组）的解法．
【教学难点】
用数轴确定不等式（组）的解集．
【教学方法】
本节课主要采用讲练结合法．首先介绍一元一次不等式的有关概念，接着介绍一元一次不等式的解法及相应的步骤，这是解一元一次不等式组的基础．最后引导学生在数轴上用区间表示各不等式的解集，在此基础上求出相应不等式组的解集．
【教学过程】
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
展示本章的章前语关于全球通和神州行的服务资费问题．
问题1如果只考虑本地通话的费用，则通话时间为多少时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用？
解设本地通话时间为xmin，由题意得
0.6x＜50＋0.4x．
解这个不等式的步骤依次为
0.6x－0.4x＜50，（移项）
0.2x＜50，（合并同类项）
x＜250．（两边同除以0.2，
不等号的方向不变）
所以，在本地通话时间小于250min时，神州行方式的费用小于全球通方式的费用．
设置实际生活情境问题。
教师适当点拨，直至得出不等式．
此次活动中，教师应重点关注：
讨论要有足够的时间和空间，学生在小组讨论交流时，发表自己的想法．
情景在课本中起导入新课作用，考虑学生实际情况（分析应用题的能力尚欠缺）和题目难度，应设置层层递进的问题，以降低难度．
新
课
新
课
新
课
1．一元一次不等式．
未知数的个数是1，且它的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．
例1解不等式2（x＋1）＋
＞
－1．
解由原不等式可得
12（x＋1）＋2（x－2）＞21x－6，（原式两边乘6）
12x＋12＋2x－4＞21x－6，（分配律）
12x＋2x－21x＞－12＋4－6，（移项）
－7x＞－14，（合并同类项）
x＜2．（不等式性质）
所以，原不等式的解集是{x|x＜2}，即（－∞，2）．
解一元一次不等式的步骤：
S1 去分母；
S2 去括号；
S3 移项；
S4 合并同类项，化成不等式（ax＞b）（a≠0）的形式；
S5 不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为{x|x＞
}（或{x|x＜
}）．
练习1求下列不等式的解集：
（1）x＋5＞2；
（2）
－
≥
．
2．一元一次不等式组．
一般地，由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
问题2某塑料制品加工厂为了制定某产品第四季度的生产计划，收集到该产品的信息如下：
（1）此产品第四季度已有订货数4000袋；
（2）每袋需要原料0.1吨，可供原料410吨；
（3）第四季度生产此产品的工人至多有5人，每人的工时至多504工时，每人每工时生产2袋．
请你根据以上的数据，决定第四季度可能的产量．
解：
设该产品第四季度产量为x袋：
由题意知
解得4000≤x≤4100．
所以，第四季度该产品的产量应不少于4000袋且不多于4100袋．
例2 解下列不等式组：
（1）
（2）
解：
（1）由原不等式组可得
即
所以x≤－5．
即原不等式的解集为{x|x≤－5}．
（2）由原不等式
即
所以 －12＜x≤－1．
即原不等式组的解集为{x|－12＜x≤－1}．
解一元一次不等式组的步骤：
S1 求这个不等式组中各个不等式的解集；
S2 求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．
练习2解不等式组：
学生根据初中所学知识，在教师指导下，集体口答完成．
教师强调不等式解集的书写格式．
结合例1，师生共同总结解一元一次不等式的步骤．
学生完成练习，相互评价．
学生在教师的指导下，分析问题2，结合以前知识，解决问题．
教师强调x的取值范围应当同时满足3个不等式．
师：
解由几个不等式组成的不等式组，就是求这几个不等式的解集的公共部分．
教师指导学生利用数轴求解不等式组的解集．
学生在教师的引导下，完成第
（2）题．
师生共同总结解一元一次不等式组的步骤．
学生独立完成，小组交流后，全班订正．
依据不等式有关性质，对不等式进行同解变形．
类比一元一次方程的解法，总结步骤．
学生通过练习由易到难，掌握一元一次不等式的解法．
让学生从已有的数学经验出发，从生活中建构数学模型，体现了数学生活化、生活数学化的思想．
通过练习，巩固一元一次不等式组的解法．
小
结
解一元一次不等式的步骤；
解一元一次不等式组的步骤．
作
业
必做题：
P43，练习A组；
选做题：
P44，练习B组．
2.2.3一元二次不等式的解法
（一）
【教学目标】
1.理解一元二次不等式的概念；掌握一元二次不等式的解法，体会一元二次方程与一元二次不等式的关系．
2.进一步理解用数轴表示不等式解集的方法，体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想方法，提高运算能力和逻辑思维能力．
3.激发学习数学的热情，培养勇于探索、勇于创新的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想．
【教学重点】
一元二次不等式的解法．
【教学难点】
将一元二次不等式转化为同解的不等式组．
【教学方法】
本节课主要采用启发式教学法．首先通过旅馆客房的租金问题引入一元二次不等式的解法问题，然后，介绍一元二次不等式的有关概念，教学生学习用化归的思想，把一元二次不等式转化为同解的一元一次不等式组．从而求出其解集．
【教学过程】
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．解一元二次方程：
（1）x2－15x+50=0；
（2）x2-x-12=0．
2．解一元一次不等式组：
（1）
（2）
（3）
（4）
教师展示问题，学生快速解答．
复习一元二次方程及一元一次不等式组的解法，为本节课的学习打下基础．
新
课
新
课
新
课
问题一家旅社有客房300间，每间客房的日租金为30元，每天都客满，如果一间客房的日租金每增加2元，则客房每天出租会减少10间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，可以保证每天客房的总租金不少于10000元．
解设每间客房的日租金增加x个2元，即客房的日租金为（30＋2x）元，这时将有300－2x房间租出．
（300－2x）（30＋2x）≥10000，
－20x2＋600x－300x＋9000≥10000，
x2－15x＋50≤0，
（x－5）（x－10）≤0，
本不等式等价于不等式组：
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
解不等式组（Ⅰ），得5≤x≤10；
解不等式组（Ⅱ），得其解集为空集．
所以原不等式的解集为[5，10]．
即旅社将每间客房的日租金提高40到50元时，可以保证每天客房的总租金不少于10000元．
1．一元二次不等式的概念．
只含有一个未知数，未知数的最高次项的次数是2，且系数不为0的整式不等式叫做一元二次不等式．
它的一般形式是
ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．
练习1判断下列不等式是否是一元二次不等式：
（1）x2－3x＋5≤0；
（2）x2－9≥0；
（3）3x2－2x＞0；（4）x2＋5＜0；
（5）x2－2x≤3；（6）3x＋5＞0；
（7）（x－2）2≤4；（8）x2＜4．
2．解一元二次不等式．
例1解下列不等式：
（1）x2－x－12＞0；
（2）x2－x－12＜0．
解因为
∆＝（－1）2－4×1×（－12）＝49＞0，
方程x2－x－12＝0的解是x1＝－3，x2＝4，
则x2－x－12＝（x＋3）（x－4）＞0．
同解于一元一次不等式组：
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
不等式组（Ⅰ）的解集是{x|x＞4}；
不等式组（Ⅱ）的解集是{x|x＜－3}．
故原不等式的解集为{x|x＜－3或x＞4}．
练习2解一元二次不等式：
（1）（x＋1）（x－2）＜0；
（2）（x＋2）（x－3）＞0；
（3）x2－2x－3＞0；
（4）x2－2x－3＜0．
教师引导，师生共同进行分析，解题，教师规范地板书解题过程．
学生在教师指导下，分析一元二次不等式的定义．
学生对比一元二次方程理解一元二次不等式的概念．
学生口答，进行解题．
教师分析：
怎样把一元二次不等式转化成一元一次不等式组？
学生根据实数乘法法则，在教师的引导下，分析出等价的一元一次不等式组．
学生仿照例1
（1），独立完成例1
（2）．
学生独立练习，部分学生板演．
本问题中的题目难度较大，所以教师要进行恰当地引导．
知识呈现的序列性，从易到难，使学生“列不等式”的能力实现螺旋上升．
采用生活情境作为导入内容，然后层层推进，步步设问，环环相扣，直至推出不等式的概念及解法．
通过练习，辨析一元二次不等式．
教师讲解一元二次不等式的
升级会员 