应用泛函分析复习小结文档格式.docx
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第二节实数的完备性
2.1有理数的稠密性
2.2实数的完备性定理
定义2.1（闭区间套）
设{[an,bn]}（n=1,2,L,）是一列闭区间，an<
bn，如果它满足两个条件：
1）渐缩性，即[a1,b1]⊃[a2,b2]⊃L⊃[an,bn]⊃L;
2）区间长度数列{bn−an}趋于零，即lim（bn−an）=0
n→∞
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定理2.1（区间套定理）
设{[an,bn]}为实数轴上的任一闭区间套，其中an与bn都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属
∞
于一切闭区间[an,bn]（n=1,2,L），即ξ∈∩[an,bn]，并且
n=1
liman=limbn=ξ
n→∞n→∞
利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理2.2），这个定理的名称的含义在第二
章中解释。
我们先介绍一个有关的概念。
命题2.1设{xn}是一个数列，则limxn=a的充分必要条件是：
{xn}的每一个子列都收敛而且有相同的极限值a.
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定理2.2（列紧性定理）√
任何有界数列必有收敛子列
定义2.3设{xn}是一个数列，如果当m,n→∞时，有xm−xn→0，那么就说{xn}是一个基本
数列或柯西数列。
定理2.3柯西（Cauchy）收敛原理（完备性定理）√
数列{xn}收敛的充分必要条件是，它是一个基本数列。
定理2.4（单调收敛定理）√
单调有界数列（即单调增有上界数列或单调减有下界数列）必然收敛
定义2.4（确界）设A是一个数集，M是A的一个上（下）界。
如果对任意的ε>
0，必存在
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A中的数xε，使得xε>
M−ε（xε<
M+ε），那么就称M为数集A的上（下）确界。
定理2.5确界存在定理（不讲）
由上（下）界的数集必有上（下）确界。
定义2.5（覆盖）设[a,b]是一个闭区间，Α={σa|a∈I}是一个区间族，其中区间σa可以是开
的，闭的或者半开半闭的，而指标集I可以是有限集，也可以是无限集。
如果[a,b]中的每一点必
含于区间族Α的某一区间σa之中，那么就称Α覆盖区间[a,b]，或者区间[a,b]被Α覆盖。
定理2.6（有限覆盖定理）（不讲）
若闭区间[a,b]被区间族Α覆盖，则能从Α中选出有限个开区间覆盖[a,b]。
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上面我们介绍了刻画实数完备性的六个定理，它们是按这样的逻辑顺序进行的：
从定理
2.1（区间套定理）出发，推出定理2.2（列紧性定理），又从定理2.2推出定理2.3柯西（Cauchy）
收敛原理（完备性定理），又从定理2.3推出定理2.4（单调收敛定理），又从定理2.4推出定理2.5确
界存在定理），最后，从定理2.5推出定理2.6（有限覆盖定理）
第三节可数集与不可数集
3.1映射
定义3.1设A与B是两个非空集合，如果按照一定的法则f，对于A中的每个元
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x，都存在B中的一个确定的元y与x相对应，那么我们称f为定义A上取值于B中的
一个映射，记作y=f（x）。
y称为x在映射f下的象，对于固定的y，A中适合关系式
y=f（x）的x的全体称为y的原象。
集A称为映射f的定义域，f（A）={f（x）|x∈A}称为
映射f的值域，一般f（A）⊂B。
为方便起见，今后常将把从集A到f（A）⊂B的映射写成
f:
A→B
特别，若B是一个数集，此时映射f称为泛函；
若A与B都是数集，f就是通常
的函数。
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3.2可数集与不可数集，集合的势
定理3.1有理数集是可数集。
定理3.3可数个可数集的并是可数集。
定理3.4区间[0,1]中的点是不可数的。
第四节直线上的点集与连续函数
本节先讨论直线上的点集的基本性质，然后，在此基础上研究
4.1开集、闭集及其性质
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4.2开集的构造
4.3点集上的连续函数，函数的一致连续性
4.4函数列的一致收敛性
定义4.1设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点，我们把直线上包含a的任一区间（α,β）称为点a的邻域；
设a是E中的点，如果存在着a的一个邻域
（α,β）整个包含于E内，则称a是E的内点；
如果点集E的每一点都是它的内点，则称
E是一个开集。
定理4.1开集具有下列的性质：
1）空集Φ与直线R的本身都是开集；
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2）任意多个开集的并是开集；
3）有限多个开集的交是开集.
定义4.2设E是直线R上的任一点集，a是直线上的任意一点（不一定属于E）。
如果a的任一邻域（α,β）中含有E中不同于a的点，则称a为E的极限点（或聚点）。
定理4.2点a是集E的极限点的充要条件是存在E中的点列{an}（an≠a），使
liman=a
定义4.3设E为直线上的点集，由E的所有极限点构成的集称为E的导集，记
作E'
，称集EUE'
为E的闭包,记作E。
若集E的余集EC=R\E为开集，则称E为闭集.
定理4.3非空集E是闭集的充要条件是E'
⊂E
定理4.4集合E为闭集的充要条件是E=E。
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定理4.5闭集具有下列基本性质
1）空集Φ与全直线R是闭集；
2）任意多个闭集的交是闭集；
3）有限多个闭集的并是闭集.
定义4.4设G是直线R上的一个有界开集，如果开区间（α,β）满足条件：
1）（α,β）⊂G
2）α∉G,β∉G
则称（α,β）为开集G的一个构成区间。
定理4.6（开集的构造原理）设G为直线上的任意非空有界开集，则G可以表
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示为至多可数个互不相交的构成区间之并，即
G=U（αk,βk）
k∈I
其中I为有限的或可数的指标集.
定义在区间上的连续函数的概念几乎可以逐字逐句的推广到直线的点集上去。
定义4.5设E是直线R上的点集，f（x）是定义在E上的一个函数（即映射
E→R），x0是E中的任意一点。
如果对于E中任何收敛于x0的点列{xn}，都有
limf（xn）=f（x0）
xn→x0
那么称函数f（x）在点x0连续。
如果f（x）在E中每点都连续，那么称f（x）在集E上连续。
定理4.7设F是直线R上的有界闭集，f（x）是定义在F上的连续函数，则
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（1）f（x）在集F上必有界，
（2）并且能取得它的最大值（上确界）与最小值（下确界）。
定义4.6
设f（x）定义在点集E⊂R上，如果对于任意的ε>
0，都能找到δ（ε）>
0
（注意δ（ε）与点x无关），使得对于E中的任意两点x1与x2，只要
x1−x2
<
δ，就有
f（x1）−f（x2）
ε
（1.13）
成立，则称函数f（x）在集E上一致连续。
定理4.8
设f（x）在有界闭集F⊂R上连续，那么f（x）在F上必一致连续。
定义4.7设{fn（x）}是定义在点集E⊂R上的函数列。
如果存在E上的函数f（x），
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对于任意给定的ε>
0，都能找到正整数N（ε），使得当n>
N（ε）时，不等式
fn（x）−f（x）<
对于所有x∈E的成立，那么就称fn（x）在集E上的一致收敛于f（x）。
定理4.9定义在点集E⊂R上的函数列{fn（x）}一致收敛于f（x）的充要条件是：
对
于任给的ε>
0，存在正整数N（ε），使得当m,n>
fm（x）−fn（x）
（1.17）
对于所有x∈E的成立.
定理4.10设{fn（x）}是E上的一个连续函数列，如果在E上它一致收敛于函数f（x），那么极限函数f（x）也在集E上连续。
定理4.11设{fn（x）}是区间[a,b]上的连续函数列，若{fn（x）}在[a,b]上一致收敛于f（x），则极限函数f（x）在[a,b]上可积，并且
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∫bf（x）dx=lim∫b
fn（x）dx
（1.18）
a
n→∞a
或写成
bb
∫a[limn→∞fn（x）]dx=limn→∞∫afn（x）dx
第五节点集的勒贝格测度与可测函数
本节将简要地介绍点集的勒贝格测度与可测函数的基本理论，它不但是建立勒贝
格积分的必要准备，而且在其他的学科（如概率论与随机过程）中也经常用到。
5.1从黎曼积分到勒贝格测度
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命题5.1如果f（x）在区间[a,b]上连续，那么f（x）在[a,b]上必R可积。
5.2点集的勒贝格测度
定义5.1设G为直线上的有界开集，定义G的测度为它的一切构成区间的长度之
和，也就是说，若G=U（αk,βk），其中（α,βk）是G的构成区间，则
k
mG=∑（βk−αk）
（1.23）
定义5.2
设F为直线上的有界闭集，F⊂（a,b），则G=（a,b）\F是有界开集，定义
F的测度为
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mF=（b−a）−mG
（1.24）
定义5.3设E为直线上的任一有界点集，我们称所有包含E的开集的测度的下确
界为集E的外测度，记作m∗E：
m∗E=inf{mG|G⊃E,G为开集}
而把所有含于E中的闭集的测度的上确界称为集E的内侧度，记作m∗E：
m∗E=sup{mF|F⊂E,F为闭集}
定义5.4设E直线上的有界点集，若m∗E=m∗E，则称E为勒贝格可测集，简称
为L可测集，它的外测度与内侧度的共同值称为E的勒贝格测度，简称为L测度，
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记作mE
mE=m∗E=m∗E
定理5.1设X=（a,b）为基本集，E,E1与E2为X的子集。
1）若E可测，则其余集EC也可测；
2）若E1,E2可测，则E1UE2,E1IE2,E1\E2均可测；
又若E1IE2=Φ，则
m（E1UE2）=mE1+mE2
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5.3可测函数
定义5.5设E为直线上的可测集（有界或无界），f（x）是定义在E上的实值函数，如
果对于任何实数α，集合
E（f≥α）={x|f（x）≥α,x∈E}
都是勒贝格可测的，那么称f（x）是E上的勒贝格可测函数，简称为可测函数。
定理5.4函数f（x）在可测集上可测的充要条件是对于任何实数α与β，集合
E（α≤f<
β）={x|α≤f（x）<
β,x∈E}
是L可测的。
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定理5.5函数f（x）在可测集E上的可测的充要条件是下列条件之一成立：
1）E（f>
α）={x|f（x）>
α,x∈E}是可测集；
2）E（f≤α）={x|f（x）≤α,x∈E}是可测集：
3）E（f<
α）={x|f（x）<
α,x∈E}是可测集：
4）对于直线上的任何开集G，它的原象f−1（G）是可测集，其中α是任意实数。
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第二章距离空间
第一节距离空间的基本概念
定义1.1设X是任一集合。
如果对于X中任意两个元素x与y，都对应一个实数
ρ（x,y），并且满足条件：
1）非负性，ρ（x,y）≥0且ρ（x,y）=0当且仅当x=y；
2）对称性，ρ（x,y）=ρ（y,x）；
3）三角不等式，对任意的x,y,z∈X，有
ρ（x,y）≤ρ（x,z）+ρ（z,y）
则称ρ（x,y）为x与y之间的距离，而称X为以ρ（x,y）为距离的距离空间或度量空间。
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例1.1n维欧氏空间Rn
设Rn表示n维向量
x=[x1,x2,L,xn]
的全体所组成的集合，其中xi,i=1,2,L,n都是实数，如果x=（x1,x2,L,xn），
y=（y1,y2,L,yn）∈Rn，定义
n
ρ（x,y）=∑（xi−yi）2
（2.4）
i=1
条件1）与2）显然成立。
为了证明条件3）成立，现证明重要的Cauchy不等式：
（2.5）
∑aibi
≤∑ai2
∑bi2
其中ai,bi,i=1,2,L,n都是实数。
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例1.2连续函数空间C[a,b]
令C[a,b]={x（t）|x（t）为[a,b]连续函数}
在C[a,b]上定义
ρ（x,y）=max
x（t）−y（t）
（2.6）
t∈[a,b]
现在我们来证明ρ（x,y）是距离。
例1.3有界数列空间m。
设m表示所有的有界数列
x=（ξ1,ξ2,L,ξn,L）
（其中ξi≤kx,i=1,2,L，kx是常数）所构成的集合。
如果x=（ξ1,ξ2,L,ξn）∈m，
y=（η1,η2,L,ηn）∈m，定义
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ρ（x,y）=sup
ξi−ηi
（2.7）
i
类似于例1.2，容易验证ρ（x,y）是距离，从而m按这个距离构成距离空间。
例1.4离散距离空间。
设X为任一非空集合，定义
0,
x=y
（2.8）
ρ（x,y）=
x≠y
1,
容易验证ρ（x,y）满足距离的三个条件，于是X按照ρ（x,y）成为距离空间。
由于X中任两个不同点间的距离均等于1，因此常称X为离散距离空间。
定义1.2设X是一个距离空间，xn,x∈X,（n=1,2,L），如果当n→∞时，ρ（xn,x）→0，
则称点列{xn}按距离ρ收敛于x，而x叫做点列{xn}的极限，记作
limxn=x或xn→x,（n→∞）
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定理1.1设X是距离空间
1）X中任何收敛点列{xn}的极限是唯一的；
2）若点列xn→x,（n→∞），则{xn}的任何子列xnk→x,（k→∞）
定义1.3设X是距离空间
1）如果x0∈X,r>
0，则称集合
S（x0,r）={x|x∈X,ρ（x,x0）<
r}
是以x0为中心，r为半径的开球，或x0的一个邻域；
称集合
S（x0,r）={x|x∈X,ρ（x,x0）≤r}
是以x0为中心，r为半径的闭球。
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2）设A⊂X，如存在一个开球S（x0,r），使得
A⊂S（x0,r）
则称A是X中的有界集。
定理1.2设X是距离空间，则X的任何收敛点列必是有界的。
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第二节距离空间中的开集、闭集与连续映射
本节将直线上点集的有关概念以及定一在直线上的连续函数的概念推广到距离
空间中去。
由于许多概念的定义及定理的证明几乎可以逐字逐句地移植，因此，我
们省略了某些定理的证明，留给读者作为练习自行补足。
2.1距离空间中的开集和闭集
定义2.1设X为距离空间。
G⊂X,x0∈X，如果存在x0的邻域S（x0,r）⊂G，则称x0
为G的内点。
如G的每个点都是内点，则称G为开集。
例2.1任一开球S（x0,r）是开集。
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定理2.1距离空间X中的开集具有下列性质：
1）空集Φ于全空间X是开集；
2）任意多个开集的并集是开集；
3）有限个开集的交是开集.
定理2.3设X是距离空间，则F⊂X是闭集的充要条件是℘F=X\F是开集。
定理2.4距离空间X中的闭集具有下列性质：
1）空集Φ与全空间X都是闭集；
3）有限个闭集的并集是闭集.
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2.2距离空间上的连续映射
定义2.3设X与Y都是距离空间，分别以ρ与ρ1为距离，T:
X→Y,x0∈X，如果对任意的ε>
0，存在δ>
0，使得当ρ（x,x0）<
δ时，有
ρ1（Tx,Tx0）<
则称映射T在x0连续。
若T在X中每一点都连续，则称T为X上连续映射。
如果Y=R，则称T为连续函数。
此时，常将T为记作f或g。
例2.4设X是距离空间，x0为X中一个固定点，则
f（x）=ρ（x,x0）
是连续函数。
定理2.5设X,Y都是距离空间，T:
X→Y，则下列命题是等价的。
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1）T在x0∈X连续；
2）对于Tx0的任一邻域S（Tx0,ε），必存在x0的邻域S（x0,δ），使得
T（S（x0,δ））⊂S（Tx0,ε）
3）对于X中任一点列{xn}，若xn→x0，则必有
Txn→Tx0
第三节距离空间的可分性与完备性
我们知道，有理数在实数中的稠密性以及实数的完备性在数学分析中起着重要的
作用，本节将这两个概念推广到一般的距离空间中去。
3.1距离空间的可分性
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定义3.1设X为距离空间，A与B都是X的子集，如对于任意的x∈A，存在
{xn}⊂B使xn→x，则称B在A中稠密。
如果A=X，则称B在X中处处稠密。
显然，B在A中稠密与下面两个命题之一是等价的：
1）对任意的x∈A，x的任何邻域中都含有B中的点。
2）A⊂B，特别地如A=X，则B=X。
定义3.2设X为距离空间，如X中存在一个处处稠密的可数子集，则称X是可
分的距离空间。
定义3.3设X为距离空间
1）如点列{xn}⊂X，满足limρ（xm,xn）=0，即任取ε>
0，存在正整数N，使得当
m,n→∞
m,n>
N时，有ρ（xm,xn）<
ε，则称{xn}为
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