三体中的数学多体公理化科学思维及其他.docx
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三体中的数学多体公理化科学思维及其他
三体中的数学
——多体，公理化、科学思维及其他
南开大学灵南科幻协会张凯栗
写在前面
本文曾在5月29号在人人上发表并小范围传播了一次，原本是一篇数学文化的论文。
这是我大修几近重写的一个版本，想和大家重新分享一次阅读与思考《三体》的体验，此后的讨论也均以此处文本为准。
首先说明，我学习物理，本文目的在于科普，但会以论文的要求来要求自己，准确第一，绝对遵从于数理实际。
而通俗排在第二位，本文邪恶地只用了一个公式，力求让没看过三体原著或非数理专业人士也能有所收获，并强烈建议读者读完后维基相关词条。
但也敬请读者仔细厘清我的观点与数理事实的区别。
文章有些长，（观众：
X,这还叫有些长么……）但层次还算明晰，可以直奔每节的最后了解大意。
写作原因，科幻与科普
科幻小说的定义一直在学界论说纷纭，较为权威的一个定义认为，科幻小说是一种描述科学对社会影响事件的文学作品。
在以三体（新版更名为《地球往事》三部曲）为首的一批作品的推动下，科幻小说在当今越来越受到主流的重视。
硬科幻是科幻重要的流派，其最大特点就是重视技术内核。
在典型的硬科幻中，科学不是噱头，其进展与细节是小说不可或缺的成分。
种种的细节描写细致精到，又天马行空，正是这样的技术内核让我们大呼过瘾。
然而这样的小说，尤其是“点子”丰富如三体者，或许需要一些专业背景知识。
你会发现，在掌握其背后的科学后再重新审视，你会有完全不同的感受。
科幻反映着一种科学到社会的关系，并且常常肩负着一种科普与传道的责任，每一篇成功的科幻小说都是科学理论的再发挥再创造，并且是以一种令大众乐意接受的方式传播着科学思想。
就这样，我希望我的文字能让读者更好的体验科幻的魅力，同时普及一些数学物理的基本思想。
还要指出的是，科幻与正统科学毕竟是有区别的，这在下文还会指出。
多体问题的科幻设定
三体一是系列的第一部，整个三部曲，三体文明两百多轮的毁灭与重建，人类文明与三体文明相隔4光年的恩怨情仇，都起源于三体这一最根本的设定。
小说之中关于三体文明的描述是这样的：
“太阳的运行之所以没有规律，是因为我们的世界中有三颗太阳，它们在相互引力的作用下，做着无法预测的三体运动、当我们的行星围绕着其中的一颗太阳做稳定运行时，就是恒纪元；当另外一颗或两颗太阳运行到一定距离内，其引力会将行星从它围绕的太阳边夺走，使其在三颗太阳的引力范围内游移不定时，就是乱纪元；一段不确定的时间后，我们的行星再次被某一颗太阳捕获，暂时建立稳定的轨道，恒纪元就又开始了。
这是一场宇宙橄榄球赛，运动员是三颗大阳，我们的世界就是球！
”
三颗恒星相互间的运动，是完全无法预测的。
三体文明就在这种极端恶劣的条件下顽强地生存者。
文明一次次地毁灭，又一次次的新生……
把一个再简单不过的科学概念与文明的整体命运联系在一起，这是大刘在文学上了不起的成就。
读者在文明的一次次毁灭与重建中会对这个文明产生真正强烈的共鸣与怜悯。
但问题的焦点在于，三体运动的“不可预测”。
后文中三体文明发展到了相当高的水准后，用了最强大的计算机也未能完全解决这个问题，相反他们被判处了死刑：
他们证明，三体问题不可解。
这是很出乎一般读者意料之外的一个结果：
看似非常简单的一个东西，天体之间万有引力，怎么就不可解呢？
所以对这里的不可解，还要做详细的阐述。
规范术语，什么是解
我将专门用一节来划定我们将要讨论的东西是什么。
事实上许多问题看似扑朔迷离，使用规范化的科学描述后才能进行有效的讨论，否则就是鸡同鸭讲。
多体问题并不是刘慈欣的首创，它在数学，物理发展史上占据着非常重要的地位。
多体问题，在物理实际上，指的就是已经多个物体的初始速度、位置与质量，求各物体随时间推移运动变化情况。
经典力学领域里中相互作用由万有引力给出。
需要指出的是，刘慈欣在这里玩了一个文字游戏，对于三颗恒星与三体行星这一系统，这实际上是一个四体问题。
也不知道是大刘的无心之失还是有意为之，既然叫三体都叫习惯了也改不过来，（四体明显不好听……）就随遇而安吧。
但是，由于行星质量相对恒星太小，可以忽略行星对恒星运动的作用，可以将这作为三个恒星运动的三体问题，再加上一颗行星在引力的作用下绕三星运动。
这是典型的简化模型的手段。
为了解决多体问题，我将其细分为数学抽象与物理实际两个层面，同时，遵循“解是什么——解是否存在——怎样解”的逻辑来进行思考。
首先，科学中“解”有着丰富的含义。
尤其是三体问题出现了“不可解”这种说法之后，我们更应该对这个词语小心。
一种常见的想法是，多体问题是有“解”的，随便即可构造几组“解”出来，比如在两星引力平衡的拉格朗日点就能找到，这方面人类已做了相当多的了解。
可以参见大牛Matrix67的《N体问题的30个周期性解》（
构造出来的特解存在已经能够说明多体问题可解么？
显然不是。
第一，从逻辑上讲，证伪一个命题，只需反证出他有一个错误；但要反过来说明命题成立，就不能再使用“举例”出特解的方法。
第二，也是本质的，“解存在”和“可解”实质是两个不同的概念！
不能混淆。
“可解”的含义可以这样说明，我们希望能拿到关于此后物体运动关于时间的精确函数，即，和特解相对应的，对这个经典力学系统求出它的通解。
我们只要知道任何一个时空断面下系统的位置、质量、速度，那就能解出系统在今后任一时间的所有运动状态。
如果能做到这一步，这才叫“可解”。
这是我对可解二字的解读，其中透露出浓重的决定论意味。
可解是人类理性对自己提出的高要求，这是数学与理性之美的很好诠释。
让我们来继续规范我们要讨论的东西是什么。
多体问题要求物体运动变化状况，一般来说，即求q（t）,q为物体在参考系中的位矢，其一阶导为速度，二阶导为加速度，q（t）即可反映出物体的所有运动变化情况。
那么，我们的问题就可以说成，对于一个N体问题，已知初位置、初速度且相互作用满足经典的引力二次平方律，求各物体的q（t）.这就完成了物理建模的第一步。
第二步是建立方程，对于这样的问题经典力学有许多方法进行处理，并且相互之间都是全同的，为了便于理解而采用高中的牛顿体系来建立，我庄严宣布这是本文的唯一一个方程式，形式也很好懂：
即每物体受到的合力等于其他物体对其引力之和。
γ（伽马）为常数。
需要注意q是矢量。
这是一个典型的二阶常微分方程组。
方程的含义很好懂，但要说明的是，牛顿体系虽然建立容易，但其以“力”为中心的研究方法并不是本质的。
分析力学中会使用全新的观点来审视，拉格朗日或哈密顿体系绕开了约束力而直接使用广义坐标来处理问题，会使问题简便很多，体现出强大的适用性。
之所以在这还是使用牛顿来表述，主要是方便理解，同时虽然表述不同，在数学上都是二阶常微分，对下面的诠释没有影响。
所以，在数学上，多体问题指的就是这一组微分方程的解。
解的存在性
厘清了标准，剩下就按逻辑来按部就班了。
但在此还是继续就解的存在性进行深入。
本节要论证的是，多体问题的解必定存在，且唯一。
这与不可解并不矛盾。
还是分为物理与数学两个层次。
在实际中，用滑稽但正确的话来说，最简单的证明就是，它就在那里，不证自明。
自然界中不难找到多体问题的运动实例，所有的天体运动实际上都是多体运动模型，宏观上服从经典力学，较简单的地月日三体模型，太阳系模型，微观的服从量子力学的多体问题，如晶体、原子模型……事实上，多体问题出现在物理学的每个角落。
要直观一点的可以像《三体一》中的情节那样，3个铁球，用磁悬浮屏蔽掉重力。
大自然是最伟大的魔术师，这种表演分明就是在告诉人类，看，这就是解。
这样论证的含义是其含义是，实际运行过程中物体所表现出来的轨迹自然是此问题的一组解。
要论证实际中解的唯一性，思路和上面其实是一样的，因为在我们的现实中，就这么一组解。
但我有必要进行特别说明。
可能会有人反驳，存在这样一种情况，在另外一个时空中，完全相同的初条件，会有另一个结果。
这样解就不是唯一的。
我们只看到了我们的这一组解，所以有这样的结论。
这是大家所喜闻乐见的平行宇宙的一种变体，诸如穿越这样的话题让你们对此并不陌生。
平行宇宙的涵义很丰富，甚至在量子力学中都有专门的多世界诠释可以看做平行宇宙的一种，但我还是得说，绝大部分关于平行宇宙的说法，都是不科学的。
（需要说明，本人对逻辑与哲学涉猎不多，论证可能有问题，敬请注意。
不感兴趣的同学可直接跳过）
“这不科学”这句话有点被用滥了，我在这里想表达的是，平行宇宙违反了科学的可证伪性。
可证伪性是科学哲学中一个很重要的逻辑概念，即理论必须容许逻辑上可能的反例，也就是说，他有错的可能。
一个不可能出错，总是正确的理论是非科学，我们不跟你玩。
平行宇宙无论如何能把话编圆了，因为我们的实际宇宙只有一个，无法去检验另一个宇宙的情况，所以想咋说咋说，这种理论的流氓之处就在于此，你无法证明。
这种非科学处处可见，不用举例了。
科学理论除了公理作为不证自明的第一因外，都需要具有可证伪性。
一般说来，对于不可证伪的理论都是不加以研究的，因为缺乏实际讨论的意义——这玩意已经被预设为“不能出错”了。
同时，不可证伪的理论还是缺乏指导意义的，理论的正确性在其被推翻时被确立——比如经典力学在高速时被相对论力学取代，反过来就确立了自身在宏观低速条件这一适用范围的正确性。
没法推翻自然谈不上这一切。
总而言之，不可证伪的理论，不科学。
细心地人会发现，公理同样不可证伪。
关于此话题的论辩可以参见波普尔及其他科学哲学流派的观点，由于所学未深，在此就不深入了。
对于平行宇宙来说，由于其和现行的科学体系并不矛盾（讲得都是另一个世界的问题），所以将其作为一条公理加入现行科学体系是一件疯狂但并不是不合理的事——算是热爱穿越者的最后一条稻草？
（但鉴于对因果律的破坏可能还是不太靠谱，此话题可以下次继续说），奥卡姆剃刀在此是否适用还值得商榷。
以上说明了，多体问题的解在实际中是存在且唯一的。
假设上面关于平行宇宙的说辞没有说服你，但下面的数学解释还是会让你承认，即使平行宇宙我不能推翻，但解真心只有一个。
数学多体问题是对物理多体问题的抽象与量化，其表现形式就是那个微分方程。
既然写成那样自然就任人宰割了：
一句话，常微分方程中的柯西－利普希茨定理（Cauchy-LipschitzTheorem），又称皮卡-林德勒夫定理（Picard-LindelöfTheorem）直接说明了常微分方程的解是唯一存在的。
证明在此不列出，很短很好理解。
这个定理是决定论意志的体现，我们从这个定理出发可以得出，这个方程所限定的过程必定会按照规定的一条路径发展下去。
我们从任何一点开始，后面函数的变化彻底决定于这一刻。
我们在写出方程的时候已经决定了一切。
继续深入，这是本文第二次出现决定论的描写，可以看出，两处的说法毫无二致：
经典力学与微分方程其意味实际上是一脉相承的，而我要指出，经典力学与微分方程，与其背后遵循的机械决定论的哲学思想是完全一体的。
实际上，经典力学的全套知识全部服从于决定论，运动状态，所处位置都是完全确定的结果。
常微分方程是对牛顿力学的表述，因此描述常微分方程的解唯一确定并不奇怪。
“常微分方程的理论是为了研究一切具有确定性、有限维性和可微性的演化过程。
”
这是VladimirArnold的教材《常微分方程》引言里的话，概括得相当精到。
经典力学的发展催生了拉普拉斯机械决定论，这三者之间并不存在矛盾，哲学的决定论，物理的经典力学，数学的常微分方程，三者其实是一体的表述。
对多体问题来讲，这是一个纯经典力学的范畴，其最终解的确定性并不奇怪。
其中并没有哲学的困境。
决定论不支持自由意志；讲求完全的因果推导，开始是一个纯粹的哲学命题，而在牛顿力学之后，决定论在事实上统一了整个科学界，达到极点的机械决定论观点认为，宇宙在开始既已完全决定，从任一时间断面开始，以后整个宇宙，任何系统的改变都可以得知。
这是一个伟大的、极其普适的“万有”理论，听听都能够让人热血沸腾。
然而，经典力学以外的物理学大都超过了常微分方程的范畴，机械决定论的观点在现代量子力学等非决定论体系的发展下已经可以被认为失效，拉普拉斯妖这个科幻中常常出现的精灵也被宣告不成立。
量子领域由于基石的不确定性根本上与决定论相抵触，其数学形式也完全不同，决定论在微观领域失去了依托……
可以说，科学正在逐步走出决定论的哲学观。
但宇宙究竟是否是确定的，不确定性的本质究竟是什么，科学现在无法得出答案，在更深层的基本原理被发掘前，我们无法确定决定论的对错，而对此问题的讨论最终都会导向哲学层次，人类内心信念问题不是物理所要研究的范畴。
引申太远，本节说明了解的存在且唯一性，并且用大量篇幅讲解了非科学的不可证伪性和激动人心的决定论关系。
解析解与数值解
前面那个微分方程忘了么？
我们来继续唠。
对于这个方程：
j=1时，只有一个物体，按照牛一律，保持静止或做匀速直线运动。
j=2时，经典的理论力学两体问题，这玩意每个学物理的都要会算。
约翰.伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）首先解决。
以两物体共同质心为参考点，则除非两物体恰好在连线上相向运动。
则每个物体都会沿一条以质心为焦点的圆锥曲线。
依初始条件，可以分为椭圆、双曲线、抛物线。
好了，到j=3了。
事情开始起变化。
对于三体问题，3个2阶常微分方程，q在三维空间每个方向都有分量，完全解这个方程组，我们需要18个积分。
恩，对的，18个。
如果采取分析力学的方法是9个广义坐标，9个广义动量。
听说那个叫正则方程的玩意能通杀理力？
然后你就会发现，只有10个参数，不够……
隐去苦逼的技术细节，反正你用随便什么方法，牛顿第一积分，正则方程，哈密瓜（好吧其实是顿）原理，哈雅方程，只要不是那几种特解，亲，你都是解不出来的。
一个方程解一个未知数的铁律不是你想摆脱就能摆脱的。
那，怎么办？
伟大的数学家和物理学家们表示不甘心。
娶不到解析解，那就只有退而求其次，和数值解凑合了。
正常的方法做不出来，这意味着我们得不到它的解析解。
即，我们没有一个像求根公式一样的东西，构造出一个完整的随时间变化的函数来描述整个系统。
其形式一般是大家都喜闻乐见的解析式，从表达式中你能得到任何你想要的东西。
没有解析解其实是绝大多数微分方程都会碰到的问题（三体问题是其中最早被研究的），
所以取而代之的是各种近似求解，级数展开以及各种技术手段。
通过这样的方式，我们能得到微分方程的数值解。
比较通俗的对数值解的理解是，知道初始条件后，运用一定的手段（有限元、有限差分法、边界元法……研究进入一定层次后对这些名词都不会陌生）能得出在一定误差以内的，在之后某个时间上的运动状态的数值。
其基本表现形式就是一组组单一的自变量和对应的解。
可以说解析解是算，而数值解是凑。
其误差范围取决于时间间隔与近似方式，近似方式一般有一定的精确范围，一定t范围内误差较小，超过这一范围误差可能会非常大。
数值解的本质是数值模拟。
在此必须要强调的是，从原则上来讲，只要计算能力足够强，我们完全能把误差降低到任意小的地步。
按照数学对无限小的定义，近似解与精确解没有任何区别。
再然后，以极其强大的计算能力作支撑，通过对任意小范围内任意数值的精确求解，
单一的数值对应，与给定区间上的函数，也没有任何应用上的区别。
这一切的障碍就是技术问题，而在纯理论中，技术问题就不是问题——算是一种赤裸裸的暴力美学吧。
回到三体书中（扯了半天终于回归了科幻主题，罪过罪过）这种暴力美学虽然不能最终解决这一问题，但却对实际有着很大的意义，因为穷文明之力，算一道数学题还是相对轻松的。
这对指导自己对恶劣环境做好抵御有着重大意义。
《三体》书中描写到192号三体文明最终证明了三体问题的不可解，并已经知道了星球毁灭的命运，最后在不可抗拒的天灾中最后毁灭。
他们知道了恒星呼吸与最后双日凌空的毁灭结局，却无力改变。
和宇宙比，文明的力量还是太小，这是一种绝望的抗争。
数学层次上，多体问题的微分方程虽然不能求出解析解，但我们能把数值解的误差做到任意小，在实际意义上两者是等价的。
在此提醒，以上结论来自于纯数学。
混沌，物理实际中的多体
理想很丰满，现实很骨感，抽象出来的数学模型和物理实际还是有区别的。
在这能聊到的话题就很多了。
首先是混沌。
混沌这个概念近来研究得非常多，而通常我们对其的理解有一定的偏差。
首先必须提出的是，混沌是一个决定系统里才会有的现象。
通常对混沌系统的理解是它是不确定的，会有随机结果出现，这一点说的不太正确，混沌系统会产生类随机现象，其原因是非线性系统存在的耦合机制使其对初始条件十分敏感，初始条件稍有偏差也会造成完全不同的结局。
但是其本质还是一个决定系统，即，假如两次输入数据是完全理想的完全相同，则会得到完全相同的结果。
与之不同的是量子的非决定系统，完全相同的初始条件，其结果没有保证。
这也是最根本的区别。
混沌出现在非线性系统里，多体运动与气象模型就是混沌研究最早也最典型的两个例子。
庞加莱对三体问题最卓越的贡献就在于，他证明了系统初始条件的敏感性，这是混沌系统最早的研究。
而最著名的混沌现象要数蝴蝶效应了。
蝴蝶效应来源于美国气象学家洛伦茨60年代初的发现。
在《混沌学传奇》与《分形论——奇异性探索》等书中皆有这样的描述：
“1961年冬季的一天，洛伦茨（E‧Lorenz）在皇家麦克比型电脑上进行关于天气预报的计算。
为了考察一个很长的序列，他走了一条捷径，没有令电脑从头运行，而是从中途开始。
他把上次的输出直接打入作为计算的初值，但由于一时不慎，他无意间省略了小数点后六位的零头，然后他穿过大厅下楼，去喝咖啡。
一小时后，他回来时发生了出乎意料的事，他发现天气变化同上一次的模式迅速偏离，在短时间内，相似性完全消失了。
进一步的计算表明，输入的细微差异可能很快成为输出的巨大差别。
这种现象被称为对初始条件的敏感依赖性。
在气象预报中，称为‘蝴蝶效应’。
……”“洛伦茨最初使用的是海鸥效应。
”“洛伦茨1979年12月29日在华盛顿的美国科学促进会的演讲：
‘可预言性：
一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗?
’”
多体力学的物理模型来自万有引力，气象模型来自于热对流，这在物理上都有着非常坚实而清晰地基础，其数学形式也是非常简单的。
研究者们最感到意外的就是，这样简单的看似决定化的理论，其行为却无法预测。
混沌的随机是“内随机”，系统本身的禀赋，而不是来自于外界条件的干扰。
外界的不确定性太多太多，我们建立模型时一般所采取的措施，是将尽量多的因素纳入系统讨论，实在讨论有困难的尽可能保持不变，这样将外界误差控制到最小。
但混沌系统不同，它的随机效果来自于系统内部。
之所以会有这样的现象，其根源还是在于非线性系统上。
实际中非线性系统远远要多于理想化的线性系统。
非线性项在非常小的邻域内的取值变化，对系统整体可能会产生非常大的影响。
蝴蝶效应，就此产生。
限于篇幅我们不对混沌做更深的阐述，回到三体问题上来，这就是一个典型的非线性系统，混沌系统会将初始条件的最细微的差别无限放大，随着时间的推移，这最开始的一点变化会使整个系统的运动完全不同。
之后是数学抽象的近似性。
我们的数学模型无论再怎么完美无缺，也会面临着如何与现实对接的问题。
数学默认的空间无限可分与实数的稠密性就能说明，就恒星间的距离这个初始条件，它自然有一个真实的数据，但我们取到绝对正确的这个数据的概率是0.我们数学公式中所用的数据永远都是不精确的，我们不可能得到真实的数据。
而这在混沌系统里是致命的：
再小的偏差也会无限放大，使我们的预测最终失去意义。
从物理学的实际来说，测量工具也不可能无限精确下去，数据总会在某一位发生截断，这样也会导致实际与理论不符。
在线性系统中虽然我们也无法取到那一点的值，但根据其结构我们能非常方便地给出其拟合模型，而非线性系统无法做到这一点，非常接近的两组输入数据没有任何使输出数据同样接近的保证。
这样，由于输入的数据不准，虽然纯数学中我们用暴力美学得到了实用中等价的结果，但在实际中，输出端不能得到“完美预测”。
拽点词的话，无法建立全息的数学模型，在抽象过程中的信息丢失与混沌效应导致了三体问题的不可解。
这算是对纠结了这么久的问题的一个初步回答。
此外，物理实际中还会遇到一些问题，在此一并提出来。
首先会碰到的一个问题是，仅仅使用万有引力，合适么？
读者的潜台词或许是，相对论呢，相对论呢？
（笑）。
我在之前的讨论中一直没有考虑到相对论效应。
但由于相对论力学的体系其本质也是决定论的，上面的讨论依然有效，改变的只是运算难度，所以即使考虑相对论，在数学上数值模拟依然能做到一致的效果（微扰的东西更复杂，仅此而已，上面说过，技术问题就不是问题），最终还是因为混沌与丢失信息，结论与前述完全相同。
说完相对论，说说量子了。
首先，如果你真正在恒星际间考虑粒子间的量子效应，就真的近似于胡搅蛮缠了——我能想到的不确定性原理对问题的影响。
是根据海森堡不等式，物体的动量与位置这组对易量其不确定度的乘积必定大于一个常数。
这同样会造成我们无法得到最精确的初始条件，这和前面的效果是一样的——不过更好玩的是，由于是大于一个常数，所以，误差不是任意小了。
不管是10的负27还是30次方，这否定了通过技术手段达到任意近似值的可能性。
由于多体问题明显只有几种非常特殊的特解能够“稳定”存在，这个稳定指的是他能保持一个周期性的轨道，而我们通常在理论力学中提到的稳定性，与这不同，是指一个微扰使物体偏离原始轨道后，如果轨迹随时间偏离不会越来越大，那就是稳定的。
典型的反比中心势能场（按二次平方律的引力、库仑力等）就是稳定的。
而依这样的标准，围绕三体做运动的行星轨道是否是稳定的？
作为一道思考题供思考吧。
以上是我所思考到的实际中的多体问题。
有必要指出，以上的讨论范畴依然很是在理想状态下。
在理论上我预言了预测结果不准，但这个不准的程度实际上是值得商榷的。
首先可以确定，测量就测量天体间距离来说，其误差所占的比例其实比你日常的测量小得多——因为基数太大。
同时，蝴蝶效应需要一段时间来把误差逐步放大，也就是说在开始一段时间内其误差实际上是很小的。
所以，如果我们尽力减小测量误差（穷文明之力自然能做到），则在相当长的一段时间内混沌现象都太过明显，预测依然能保持相当高的准确度。
当误差大于某个阈值后重新校准并计算，这样能把误差始终控制在一个范围之内。
这应该是三体文明的最佳策略，即使最后被不可抗拒的天灾所灭绝，但这是文明对残酷的宇宙最好的抗争。
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